湖北省武汉市武昌黄鹤楼中学2021年高二数学理联考试卷含解析

湖北省武汉市武昌黄鹤楼中学2021年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在ABC中，，则三角形的形状为

（

）A.直角三角形

B.等腰三角形或直角三角形

C.等边三角形

D.等腰三角形参考答案：B略2.函数的图象大致为（）A. B.C. D.参考答案：B函数的定义域为，排除选项A；当时，，且，故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，排除选项C；当时，函数，排除选项D，选项B正确．选B．点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

3.在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是A.

B.4

C.2

D.2参考答案：B4.已知平行四边形的三个顶点A.B.C的坐标分别是..，则顶点的坐标为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：B略6.直线l过点(0，2)且与双曲线x2–y2=6的右支有两个不同的交点，则l的倾斜角的取值范围是（

）（A）(0，arctan)∪(π–arctan，π)

（B）(0，arctan)（C）(π–arctan，π)

（D）(π–arctan，π)参考答案：D7.等比数列的前项和为，且4，2，成等差数列，若=1，则=(

)A.

7

B.

8

C.

15

D.

16参考答案：C8.已知实数x，y满足，则的最大值为A．4

B．3

C.0

D．2参考答案：A9.已知集合，，那么（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C10.等比数列中，已知，则此数列前17项之积为（

）A．

B．－

C．

D．－

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点P是椭圆上的一点，Q,R分别为圆和圆上的点，则的最小值是

参考答案：912.如果函数f（x）=lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点，那么实数a的范围是．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，利用导函数有两个极值点，列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=lnx+ax2﹣2x，函数的定义域：x＞0，可得：f′（x）=+2ax﹣2=，函数f（x）=lnx+ax2﹣2x有两个不同的极值点，可得：2ax2﹣2x+1=0，有两个不相等的正实数根，可得a＞0，并且△=4﹣8a＞0，解得a∈（0，）．故答案为：（0，）．13.设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，S4=λa4，则λ为．参考答案：【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可．【解答】解：∵等比数列{an}的公比q=2，∴由S4=λa4，得=λ23a1=8λa1，即15=8λ，故λ=，故答案为：【点评】本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列的通项公式以及前n项和公式，建立方程是解决本题的关键．14.当x∈R时，一元二次不等式x2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是．参考答案：﹣2＜k＜2【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可得k2﹣4＜0，解不等式可求k的范围．【解答】解：∵x∈R时，一元二次不等式x2﹣kx+1＞0恒成立，∴k2﹣4＜0，∴﹣2＜k＜2，故答案为：﹣2＜k＜2．15.若关于x的不等式ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），则m=．参考答案：2考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由二次不等式的解集形式，判断出1，m是相应方程的两个根，利用韦达定理求出m的值．解答：解：∵ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），，∴a＞0，1，m是相应方程ax2﹣6x+a2＜0的两根，解得m=2；故答案为：2．点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键．16.幂函数的图像经过点，则的解析式为

。参考答案：略17.高三年级位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是__________．②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是__________．参考答案：乙；数学①观察散点图可知，甲、乙两人中，语文成绩名次比总成绩名次靠前的学生是乙．②观察散点图，作出对角线，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙的成绩名次靠前的科目是数学．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，．（1）试讨论函数f(x)的极值点的个数；（2）若，且恒成立，求a的最大值．参考数据：1.61.71.741.8104.9535.4745.6976.050220260.4700.5310.5540.5582.303

参考答案：（1）见解析；（2）10【分析】（1）求出函数f（x）的导数，按①当a≤0时，②当a＞0时，分类讨论求解即可；（2）由于恒成立，利用，；，；，；因为，猜想：的最大值是，再证明＝符合题意即可.【详解】（1）函数的定义域为．，①当时，，在定义域单调递减，没有极值点；②当时，在单调递减且图像连续，，时，∴存在唯一正数，使得，函数在单调递增，在单调递减，∴函数有唯一极大值点，没有极小值点，综上：当时，没有极值点；当时，有唯一极大值点，没有极小值点．（2）由于恒成立，∴，；，；，；∵，∴猜想：的最大值是．下面证明时，．，且在单调递减，由于，，∴存在唯一，使得，∴．令，，易知在单调递减，∴，∴，即时，．∴的最大值是10．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值、最值，考查恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，属于难题．19.已知m∈R，设p：复数z1＝(m－1)＋(m＋3)i(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，q：复数z2＝1＋(m－2)i的模不超过．（1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．参考答案：（1）(－3，1)（2）(－3，－1)∪[1，5]

略20.一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下表：类别ABC数量432同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展．（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，直接利用古典概型求解即可．（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，∴，∴，∴其分布列为：ξ234p数学期望为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求函数f(x)的定义域；（2）当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围.参考答案：解：（1）当时，要使函数有意义，有不等式①成立，当时，不等式①等价于，即，∴；当时，不等式①等价于，∴无解；当时，不等式①等价于，即，∴；综上，函数的定义域为（2）∵函数的定义域为，∴不等式恒成立，∴只要即可，又∵（当且仅当时取等号）即，∴，的取值范围是.

22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中点．（1）求证：直线AM∥平面PNC；（2）求证：直线CD⊥平面PDE；（3）求三棱锥C﹣PDA体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，通过证明四边形MFNA为平行四边形，得AM∥NA，于是AM∥平面PNC；（2）由菱形性质可得CD⊥DE，由PD⊥平面ABCD可得PD⊥CD，故而CD⊥平面PDE；（3）利用公式VC﹣PDA=VP﹣ACD=计算．【解答】证明：（1）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，∵PM=2MD，AN=2NB，∴MF∥DC，MF=CD，又AN∥DC，AN==CD．∴MF∥AN，MF=AN，∴MFNA为平行四边形，即AM∥NA．又AM