一次函数的图象与三角形面积专题

专题：一次函数的图象与三角形面积问题类型1已知图象求三角形的面积例1.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AD∥y轴，点A的坐标为(5，3)，已知直线l：y＝eq\f(1,2)x－2.(1)将直线l向上平移m个单位长度，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值；(2)在(1)的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC交于点E，求△ABE的面积．解：(1)m＝eq\f(5,2).(2)∵四边形ABCD是边长为2的正方形，AD∥y轴，点A的坐标为(5，3)，∴点E的横坐标为5－2＝3.把x＝3代入y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，得y＝eq\f(1,2)×3＋eq\f(1,2)＝2，∴点E的坐标为(3，2)，∴BE＝1，∴S△ABE＝eq\f(1,2)×2×1＝1.针对练习：1.已知一次函数y＝2x＋4.(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；(2)y的值随x值的增大而增大；(3)求图象与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标；(4)在(3)的条件下，求出△AOB的面积．解：(1)函数图象如图所示．(3)A(－2，0)，B(0，4)．(4)由(3)可知，OA＝2，OB＝4，∴S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OB＝eq\f(1,2)×2×4＝4.2.已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(3，－3)，且与直线y＝4x－3的交点在x轴上．(1)求这个一次函数的解析式；(2)此函数的图象经过哪几个象限？(3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．解：(1)对于直线y＝4x－3，当y＝0时，x＝eq\f(3,4).即它与x轴的交点坐标为(eq\f(3,4)，0)．根据题意，直线y＝kx＋b经过点(3，－3)，(eq\f(3,4)，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝－3，,\f(3,4)k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(4,3)，,b＝1.))∴此一次函数的解析式为y＝－eq\f(4,3)x＋1.(2)此函数的图象经过第一、二、四象限．(3)此函数的图象与y轴的交点坐标为(0，1)，与x轴的交点坐标为(eq\f(3,4)，0)，∴此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×1＝eq\f(3,8).3．如图，已知直线y＝－eq\f(1,3)x＋1与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，点P(x，y)为线段BC上一个动点(点P不与B，C重合)，设△OPA的面积为S.(1)求点C的坐标；(2)求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)△OPA的面积能等于eq\f(9,2)吗？如果能，求出此时点P坐标；如果不能，说明理由．解：(1)当x＝0时，y＝－eq\f(1,3)x＋1＝1.∴点B的坐标为(0，1)．当y＝0时，－eq\f(1,3)x＋1＝0，解得x＝3.∴点A的坐标为(3，0)．过点C作CE⊥x轴，垂足为E，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠BAO＋∠CAE＝90°，AB＝CA.又∵∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠CAE.在△ABO和△CAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AOB＝∠CEA，,∠ABO＝∠CAE，,AB＝CA，))∴△ABO≌△CAE(AAS)．∴AE＝BO＝1，CE＝AO＝3.∴OE＝AO＋AE＝4.∴点C的坐标为(4，3)．(2)过点P作PF⊥x轴，垂足为F，设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将B(0，1)，C(4，3)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1，,4k＋b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝1.))∴直线BC的解析式为y＝eq\f(1,2)x＋1.∴S＝eq\f(1,2)OA·PF＝eq\f(1,2)×3×(eq\f(1,2)x＋1)＝eq\f(3,4)x＋eq\f(3,2)(0＜x＜4)．(3)不能．理由如下：当S＝eq\f(9,2)时，eq\f(3,4)x＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2)，解得x＝4.∵0＜x＜4，∴△OPA的面积不能等于eq\f(9,2).类型2已知面积求一次函数的解析式例2.已知一次函数的图象过点(0，3)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则其解析式为(C)A．y＝1.5x＋3B．y＝－1.5x＋3C．y＝1.5x＋3或y＝－1.5x＋3D．y＝1.5x－3或y＝－1.5x－3针对练习：4．已知一条直线与平面直角坐标系中两坐标轴交于点M(0，－3)和点N(a，0)，且此直线与两坐标轴围成的三角形面积为12，则a的值是±8．5．已知直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，且把△ABO分为面积之比为2∶1的两部分，求直线l的函数解析式．解：由题意可得，A(－3，0)，B(0，3)．当S△AOC∶S△BOC＝2∶1时，过点C作CF⊥OA于点F，CE⊥OB于点E，易知S△AOB＝eq\f(9,2)，则S△AOC＝3，S△BOC＝eq\f(3,2).∴eq\f(1,2)AO·CF＝3，即eq\f(1,2)×3CF＝3.∴CF＝2.同理可得，CE＝1，∴C(－1，2)．∴直线l的函数解析式为y＝－2x；当S△AOC∶S△BOC＝1∶2时，同理可得，C(－2，1)．∴直线l的函数解析式为y＝－eq\f(1,2)x.综上，直线l的函数解析式为y＝－2x或y＝－eq\f(1,2)x.类型3已知面积求点的坐标例3.如图，直线y＝kx＋6(k≠0)与x轴、y轴分别交于点E，F，点E的坐标为(－8，0)，点A的坐标为(－6，0)，点P(x，y)是线段EF上的一个动点．(1)求k的值；(2)求点P在运动过程中△OPA的面积S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当△OPA的面积为9时，求点P的坐标．解：(1)∵直线y＝kx＋6过点E(－8，0)，∴0＝－8k＋6，解得k＝eq\f(3,4).(2)由(1)得直线EF的函数解析式为y＝eq\f(3,4)x＋6.∵点P(x，y)在直线y＝eq\f(3,4)x＋6上，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(3,4)x＋6)).∴S△OPA＝eq\f(1,2)OA×eq\b\lc\(\rc\)(\a\