湖南省常德市石门县官渡桥中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省常德市石门县官渡桥中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列的首项为3，为等差数列且，若，则（

）A．0

B．3

C．8

D．11参考答案：B略2.等比数列中，，函数，则（

）A．26

B．29

C.212

D．215参考答案：D3.对于直角坐标系内任意两点P1（x1，y1）、

P2（x2，y2），定义运算，若M是与原点相异的点，且，则∠MON

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B4.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先由渐近线过点，得到与关系，进而可求出结果.【详解】因为双曲线的一条渐近线经过点，所以，即，即，所以.故选C【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.5.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项．【解答】解：设圆柱高为h，则底面半径为．由题意知，S=πh2，∴h=，∴V=π（）2?h=．故选D．【点评】本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．6.某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为

A．12

B．24

C．24

D．12参考答案：A略7.ABCD是空间四边形，已知AB=CD，AD=BC，但AB1AD

M、N分别为对角线AC、BD的中点，则(

)A.MN与AC垂直，MN与BD不垂直

B.MN与BD垂直，MN与AC不垂直C.MN与AC、BD都垂直

D.MN与AC、BD都不垂直参考答案：答案:C8.已知，则“”是“”的（

）条件

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既非充分也非必要参考答案：A

略9.已知奇函数满足，且当时，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.下列说法正确的是（

）A.设m是实数，若方程表示双曲线，则.B.“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.C.命题“，使得”的否定是：“，”.D.命题“若为的极值点，则”的逆命题是真命题.参考答案：B【分析】逐一分析每一个命题的真假得解.【详解】A.设是实数，若方程表示双曲线，则(m-1)(2-m)＜0，所以m＞2或m＜1,所以该命题是假命题；B.“为真命题”则p真且q真，“为真命题”则p,q中至少有个命题为真命题，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.所以该命题是真命题；C.命题“，使得”的否定是：“，”.所以该命题是假命题；D.命题“若为的极值点，则”的逆命题是“则为的极值点”，如函数，，但是不是函数的极值点.所以该命题是假命题.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和复合命题的真假，考查充要条件和导数，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y，满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞1，b＞2）的最大值为5，则的最小值为

．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得a+b=5，然后利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（1，1）．由z=ax+by（a＞0，b＞0），得y=﹣x+，由图可知，zmax=a+b=5．可得a﹣1+b﹣2=2∴=（）（a﹣1+b﹣2）=（5++≥（5+2）=．当且仅当4a=b+2，并且a+b=5即a=，b=时上式等号成立．∴的最小值为．故答案为：．12.已知，则________.参考答案：略13.已知函数则

_________

参考答案：14.展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于

.参考答案：18015.下图是计算的程序框图，判断框内的条件是_______.参考答案：【考点】复数乘除和乘方【试题解析】n=2016，是，，n=2017,否。

所以判断框内的条件是。16.（2015?潮南区模拟）计算（2x+）dx=

．参考答案：e2【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】先求出被积函数2x+的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可．【解答】解：（2x+）dx=（x2+lnx）=e2+lne﹣1﹣ln1=e2故答案为：e2【点评】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．17.在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，且所有项的系数和为256，则含的项的系数为_________．参考答案：8.【分析】根据已知求出n=8和a=1,再求含的项的系数.【详解】因为只有第5项的二项式系数最大，所以n=8.因为所有项的系数和为256，所以.设的通项为，令8-2r=6,所以r=1.所以含的项的系数为.故答案为：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线与直线在(0，0)点相切。

（1）求的值;

（2）证明：当时，.参考答案：解：（1）由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1.…………2分由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为，又，得a＝0.…………5分（2）(证法一)由均值不等式，当x＞0时，2＜x＋1＋1＝x＋2，故＜＋1.……7分

记h(x)＝f(x)－，则h′(x)＝＋－＝－＜－＝.…………9分令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0＜x＜2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)＜0，所以h′(x)＜0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)＜0.于是当0＜x＜2时，f(x)<.…………12分

(证法二)由（1）知f(x)＝ln(x＋1)＋－1.由均值不等式，当x＞0时，2＜x＋1＋1＝x＋2，故＜＋1.①令k(x)＝ln(x＋1)－x，则k(0)＝0，k′(x)＝－1＝＜0，故k(x)＜0，即ln(x＋1)＜x.②由①②得，当x＞0时，f(x)＜x.记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当0＜x＜2时，h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9＜x＋(x＋6)－9＝[3x(x＋1)＋(x＋6)(2＋)－18(x＋1)]<[3x(x＋1)＋(x＋6)－18(x＋1)]＝(7x－18)＜0.因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)＝0，所以h(x)＜0，即f(x)＜.19.（本小题满分14分）给定数列．对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，．（Ⅰ）设数列为，写出,,的值；（Ⅱ）设（）是公比大于的等比数列，且．证明：是等比数列；（Ⅲ）设是公差大于的等差数列，且．证明：是等差数列．参考答案：（Ⅰ），，．

-----3分（Ⅱ）因为，q＞1，所以是递增数列．所以，所以，即是等比数列．（Ⅲ）略．20.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=．①求的值．②若，求△ABC的面积S的最大值．参考答案：【考点】解三角形．【分析】①根据=﹣，利用诱导公式cos（﹣α）=sinα化简所求式子的第一项，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosA的式子，将cosA的值代入即可求出值；②由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的面积公式S=bcsinA表示出三角形的面积，把sinA的值代入得到关于bc的关系式，要求S的最大值，只需求bc的最大值即可，方法为：根据余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入，并利用基本不等式化简，把a的值代入即可求出bc的最大值，进而得到面积S的最大值．【解答】解：①∵cosA=，∴==；②，∴，，∴，，∴，．21.已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a．（Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数和切线的斜率和方程，设l与曲线y=g（x）相切于点（m，n），求出g（x）的导数，由切线的斜率可得方程，求得a的值；（Ⅱ）记F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣9x﹣3x2﹣a，求得导数和单调区间，极值，由题意可得方程f（x）=g（x）有三个不同实数解的等价条件为极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣9x的导数为f′（x）=3x2﹣9，f（0）=0，f′（0）=﹣9，直线l的方程为y=﹣9x，设l与曲线y=g（x）相切于点（m，n），g′（x）=6x，g′（m）=6m=﹣9，解得m=﹣，g（m）=﹣9m，即g（﹣）=+a=，解得a=；（Ⅱ）记F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣9x﹣3x2﹣a，F′（x）=3x2﹣6x﹣9，由F′（x）=0，可得x=3或x=﹣1．当x＜﹣1时，F′（x）＞0，F（x）递增；当﹣1＜x＜3时，F′（x）＜0，F（x）递减；当x＞3时，F′（x）＞0，F（x）递增．可得x=﹣1时，F（x）取得极大值，且为5﹣a，x=3时，F（x）取得极小值，且为﹣27﹣a，因为当x→+∞，F（x）→+∞；x→﹣∞，F（x）→﹣∞．则方程f（x）=g（x）有三个不同实数解的等价条件为：5﹣a＞0，﹣27﹣a＜0，解得﹣27＜a＜5．22.如图已知是一条直路上的三点，,，从三点分别遥望塔,在处看见塔在北偏东，在处看见塔在正东方向，在处看见塔在南偏东，求塔到直路的最短距离。参考答案：（I）证明：连结交于,连结

因为为中点，为中点,所以,又因为,所以;