广东省河源市中学实验学校2021年高三数学文月考试卷含解析

广东省河源市中学实验学校2021年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋1参考答案：A略2.曲线在x=1处的切线方程为

（

）

A．y=x

B．y=x－1

C．y=x+1

D．y=－x+1参考答案：B3.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,

且g(3)=0.则不等式的解集是

A．（－3,0)∪(3,+∞)

B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞,-3)∪(3,+∞)

D．(－∞,－3)∪(0,3)

参考答案：4.若是平面内夹角为的两个单位向量，则向量的夹角为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D，，，，所以的夹角的余弦值为，所以，选D.5.已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．

B．

C．

D．参考答案：B，，则，所以，所以.

6.已知数列{an}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣}，则数列{an}的个数为（）A．729 B．491 C．490 D．243参考答案：B【考点】数列的应用．【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】令bi=，则对每个符合条件的数列{an}，满足====1，且bi∈{2，1，﹣}，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{bn}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{an}．由此能求出结果．【解答】解：令bi=（1≤i≤8），则对每个符合条件的数列{an}，满足====1，且bi∈{2，1，﹣}，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{bn}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{an}．记符合条件的数列{bn}的个数为N，由题意知bi（1≤i≤8）中有2k个﹣，2k个2，8﹣4k个1，且k的所有可能取值为0，1，2．共有1+C82C62+C84C44=491个，故选：B．【点评】本题考查数列的相邻两项比值之和的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．7.执行如图所示的程序框图,输出的值为 A． B． C． D．参考答案：D8.已知两个单位向量与的夹角为，则与互相垂直的充要条件是（）A．或

B．或C．或

D．为任意实数参考答案：A略9.若，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.已知，若恒成立，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为

．

参考答案：

12.已知角a（-π<<0）的终边与单位圆交点的横坐标是，则的值是

。参考答案：13.关于下列命题①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是；④函数在闭区间上是增函数；写出所有正确的命题的题号：________。参考答案：略14.在极坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=，l的极坐标方程为__________．参考答案：ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；函数思想；分析法；坐标系和参数方程．分析：先把点的极坐标化为直角坐标，再求得直线方程的直角坐标方程，化为极坐标方程．解答：解：在直角坐标系中，过点M（，）的直线l与极轴的夹角α=的直线的斜率为，其直角坐标方程是y﹣1=（x﹣1），即x+y﹣+1=0，其极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0，故答案为：ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1=0，点评：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出直角坐标系中直线的方程是解题的关键．15.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=4，若点P是边BC上的动点，且P到AB，AC距离分别为m，n，则的最小值为．参考答案：

【考点】基本不等式．【分析】根据题意，作出△ABC的图形，分析可得PE=PB，PF=PC，结合题意分析可得m+n=2，由此可以变形为=（）（）=（5++），由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，如图所示，过点P做PE⊥AB，PF⊥AC，则PE=m，PF=n，又由AB=AC，∠BAC=120°，则∠ABC=∠ACB=30°，则PE=PB，PF=PC，即m=PB，n=PC，又由PB+PC=BC=4，即m+n=2，则=（）（）=（5++）≥，即的最小值为，此时m=2n．故答案为：．16.展开式中不含x4项的系数的和为

．参考答案：0【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】给二项式中的x赋值1，得到展开式的所有项的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为4求出展开式中x4的系数，利用系数和减去x4的系数求出展开式中不含x4项的系数的和．【解答】解：令x=1求出展开式的所有的项的系数和为1展开式的通项为令得r=8所以展开式中x4的系数为1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故答案为：0【点评】本题考查解决展开式的系数和问题常用的方法是赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．17.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。若，请你根据这一发现，求解下列问题：（1）函数的对称中心为

;（2）计算：

．参考答案：【知识点】函数的值；函数的零点；导数的运算．B1B9B11（1）

（2）2012

解析：（1）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴f′（x）=x2﹣x+3，f''（x）=2x﹣1，令f''（x）=2x﹣1=0，得x=，∵f（）=+3×=1，∴f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为，（2）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为，∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×1006=2012．故答案为：，2012．【思路点拨】（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数的对称中心．（2）由的对称中心为，知f（x）+f（1﹣x）=2，由此能够求出．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若时，不等式成立，求a的取值范围.参考答案：（I）；（II）[－1,2]【分析】（Ⅰ）利用零点法，进行分段，然后求解不等式的解集；（Ⅱ）根据，进行分类，当时，原不等式等价于，即，这样可以求出的取值范围；当时，原不等式等价于这样可以求出的取值范围，综上所述求出的取值范围.【详解】（I）当时，原不等式即，即.当时，，解得，∴；当时，，无解；当时，，解得，∴；综上，原不等式的解集为（II）由得（*）当时，（*）等价于即，所以恒成立，所以当时，（*）等价于即，所以恒成立，所以综上，的取值范围是【点睛】本题考查了解绝对值不等式，以及不等式恒成立时，求参数的取值范围问题，进行分类讨论是解题的关键.19.已知函数.（1）当时，求函数的定义域；（2）若关于的不等式的解集是，求实数的取值范围.参考答案：（1）不等式或，得.（2）∵，此题可转化为，由均值不等式，∴得.20.（本小题满分14分）已知函数，.已知函数有两个零点，且.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）证明随着的减小而增大；（Ⅲ）证明随着的减小而增大.参考答案：（Ⅰ） （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）见解析（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）时

在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.（2）时，

由，得.当变化时，，的变化情况如下表：＋0－↗↘这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：1°；2°存在，满足；3°存在，满足.由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.所以，的取值范围是.（Ⅱ）证明：由，有.设，由，知在上单调递增，在上单调递减.并且，当时，；当时，.由已知，满足，.由，及的单调性，可得，.对于任意的，设，，其中；，其中.因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.又由，得.所以，随着的减小而增大.（Ⅲ）证明：由，，可得，.故.设，则，且解得，.所以，.

①令，，则.令，得.当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增.因此，由①可得随着的增大而增大.而由（Ⅱ），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大.21.（本题满分14分）记函数的定义域为，的定义域为，（1）求：

（2）若，求、的取值范围。参考答案：（1），（2），由，得，则，即，

。22.（本小题满分15分）某篮球运动员每次在罚球线投篮投进的概率是0.8，且各次投篮的结果互不影响．（1）假设这名运动员投篮3次，求恰有2次投进的概率（结果用分数表示）；（2）假设这名运动员投篮