三年级奥数小学奥数裂项法一含答案-

裂项法(一)同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。(一)阅读思考111例如---==，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，3412把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：11n+1n——=-nn+1n(n+1)n(n+1)n+1-n1n(n+1)n(n+1)111即一=nn+1n(n+1)111或=——n(n+1)nn+1下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】例1.计算：1985义19861986*19871987*1988+……+1994x19951995义19961996*19971997分析与解答：TOC\o"1-5"\h\z111=—1985x198619851986111=—1986x198719861987111=-1987x198819871988……111=一1994x199519941995

111—1995x1996-19951996111—1996x1997-19961997上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。11111+++■…++1985x19861986x19871987x19881995x19961996x19971+1997111111111=—+-+-++-+198519861986198719871988199519961996111-+=199719971985例2.计算：例2.计算：1

1+211

+….+

1+2+31+2+3+…+100公式的变式1_21+2+…+nnx（n一1）当n当n分别取1,2,3,100时,就有1_21―1^21_21+2—273TOC\o"1-5"\h\z1_21+2+3—3x41_21+2+3+4—4x51_21+2+…+100—100x1011111-+++…+11+21+2+31+2+…+10022222=+++…++1x22x33x499x100100x10111111=2x(+++…++)1x22x33x499x100100x101111111111=2x(1——+———+———+■■■+——+-)22334991001001011=2x(1-)101100101200101199101111中这两个例3.设符号()、<>代表不同的自然数，问算式N=——+中这两个6()<>符号所代表的数的数的积是多少?TOC\o"1-5"\h\z111111分析与解：减法是加法的逆运算，-=—+——就变成"-—=,与6()<>6()<>111111前面提到的等式-—-7=-―-相联系，便可找到一组解，即工=-+—nn+1n(n+1)6742另外一种方法111设n、x、j都是自然数，且%丰y，当一=-+时，利用上面的变加为减的想法，nxyx-n得算式——nx1这里一是个单位分数，所以％-n一定大于零，假定%-n=t>0，则%=n+1，代yTOC\o"1-5"\h\zt1n2入上式得==-，即y=——+n。n(n+1)yt又因为y是自然数，所以t一定能整除n2，即t是n2的约数，有n个t就有n个y，111这一来我们便得到一个比一-=---更广泛的等式，即当％=n+1，nn+1n(n+1)n2111y=——+n，t是n2的约数时，一定有=+，即

tn%y11t——=nn+1n(n+1)n2111上面指出当％=n+1，y=一+n，t是n2的约数时，一定有一=-+-，这里tn%yn=6,n2=36，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。当t=1时，％=7，y=42当t=2时，％=8，y=24

当t=3时，x=9,y=18当t=4时，x=10,y=15当t=6时，x=12,y=10当t=9时，x=15,y=10当t=12时，x=18,y=9当t=18时，x=24,y=8当t=36时，x=42,y=7故（）和＜＞所代表的两数和分别为49,32,27,25。111111111+——+—+….十—+1义22X33X498X9999X100111111111计算：-十一+十十—■++++36101521283645552.【模拟试题】（答题时间：20分钟）.尝试体验：1.计算：11111+++++6678911051201111113.已知x、y是互不相等的自然数，当-=-+-时，求x+y。18xy【试题答案】计算:1+x2++■…+2x33x498x99+99x100【试题答案】计算:1+x2++■…+2x33x498x99+99x1001111—+———+———+...+-+-989999100991002.计算:11—+—+++++++++++3610152128364555667891105120=—++++++++L+=+上+A+A+二612203042567290110132156182210240=2x(^L+-L-+-L-+-L_+-L-+-L-2x33x44x55x66x77x8++8x99x1010x1111x1212x1313x1414x1515x16=2x(-161-1TOC\o"1-5"\h\z1113.已知，、y是互不相等的自然数，当-=-+时，求％+y。18xy%+y的值为：75,81,96,121,147,200,361。11+111因为18的约数有1,2,3,6,9,18,共6个，所以有。=="十'乙1818x(1+1)3636TOC\o"1-5"\h\z11+211==+1818x(1+2)542754+27=8111+311==+1818x(1+3)722472+24=9611+611——==+——1818x(1+6)1262121+126,14711+9