第三讲 手拉手模型

#手拉手模型专题训练两等边三角形或等腰直角三角形或两正方形共端点考虑手拉手模型:1、已知，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B.C重合),以AD为边作正方形ADEF,连接CF.圏⑶圏⑶如图1,当点D在线段BC上时，求证：①CF=BD；②CF丄BD.如图2,当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，线段CF与BD的上述关系是否还成立?请直接写出结论即可(不必证明).⑶如图3,当点D在线段BC的反向延长线上，且点A.F在直线BC的两侧，其它条件不变，线段CF与BD的上述关系是否还成立?若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由。2、在厶ABC中,AB=AC,ZBAC=90°，点D在射线BC上(与B.C两点不重合)，以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G.⑴若点D在线段BC上，如图1.依题意补全图1；判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；(2)若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE,AB=V2，则GE的长为并简述求GE长的思路。述求GE长的思路。3、如图1,在厶ABC中，CA=CB,ZACB=90°,D是厶ABC内部一点，ZADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90。得到线段CE,连接DE.①依题意补全图形；②请判断ZADC和ZCDE之间的数量关系，并直接写出答案。⑵在⑴的条件下，连接BE,过点C作CM丄DE,请判断线段CM,AE和BE之间的数量关系,并说明理由。⑶如图2,在正方形ABCD中,AB=、迈,如果PD=1,ZBPD=90°,请直接写出点A到BP的距离。4、图⑴中，C点为线段AB上一点，AACM,△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；如图(2)C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM相等吗?说明理由；如图(3)C点为线段AB外一点，AACM,△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由。5、⑴如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC,BC为边在AB的同侧作等边AAC皿和厶CBN，连接AN，BM.分别取BM,AN的中点E,F，连接CE，CF，EF.观察并猜想ACEF的形状，并说明理由。⑵若将⑴中的“以AC,BC为边作等边△AC皿和厶CBN”改为“以AC,BC为腰在AB的同侧作等腰△AC皿和厶CBN,”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗?若成立，加以证明；若不成立，请说明理由。6、如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D',旋转角为a.当点D'恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；如图2,G为BC中点，且0°VaV90°，求证：GD'=E'D；

小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，ADCD'与厶CBD'能否全等？若能,直接写出旋转角a的值；若不能说明理由.7、在等边三角形ABC中,AD丄BC于点D.⑴如图1,请你直接写出线段AD与BC之间的数量关系:AD=—BC⑵如图2,若P是线段BC上一个动点(点P不与点B、C重合),联结AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE,联结CE,猜想线段AD、CE、PC之间的数量关系,并证明你的结论；(3)如图3,若点P是线段BC延长线上一个动点，(2)中的其他条件不变，按照(2)中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出线段AD、CE、PC之间的数量关系.8、如图所示，在△ABC中，ZC=60°,AC>BC，又AABC'、△BCA',△CAB'都是△ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BD=BC.证明：△C'BD9ABDC；证明：AAC'D9ADBA；从厶ABC、△A'BC、△ABC、△ABC面积大小的关系上，能得出什么结论？⑷求证：S+S=S+S△ABCAABC'△BCA'△ACB'

9、如图，△ABC中，ZABC=90°,AC=2,以AC为边向右侧作等边三角形ACD.⑴如图1,将线段AB绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB，联结DB，则与DB长度相等的线段为(直接写出结论)；⑵如图2,若P是线段BC上任意一点(不与点C重合)，点P绕点A逆时针旋转60°得到点Q,求ZADQ的度数；画图并探究:若P是直线BC上任意一点(不与点C重合),点P绕点A逆时针旋转60°得到点Q,是否存在点P,使得以A、C、Q、D、为顶点的四边形是梯形,若存在，请指出点P的位置,并求出PC的长;若不存在,请说明理由.10、在口ABCD中，ZA=ZDBC,过点D作DE=DF,且ZEDF=ZDBA,连接EF、EC,N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.如图1,若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及ZDBA与ZMNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；⑵如图2,若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在⑴中得到的结论仍然成立,写出你确定的点M的位置，并证明(1)中的结论.卫PaD11、如图1,已知ZDAC=90°,△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60。得到线段CQ,连结QB并延长交直线AD于点E.如图1,猜想ZQEP=°；如图2,3,若当ZDAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想ZQEP的度数，选取一种情况加以证明；如图3,若ZDAC=135°,ZACP=15°，且AC=4,求BQ的长.

12、(10分)若厶ABC和厶ADE均为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点.⑴当厶ADE绕A点旋转到如图①的位置时，求证：CD=BE,AAMN是等边三角形;如图②，当ZEAB=30°,AB=12,AD=2・j3时，求AM的长.13、分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACDE和正方形BCDE，连结1112如图1,过点c作直线HG垂直于直线AB于点H,交DD•于点G.试探究线段GD与线段GD2的数量关系，并加以证明。⑵如图2，CF为AB边中线，试探究线段CF与线段DiD2的数量关系，并加以证明。图1團214、如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE(ABVAE)在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为a・在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG・当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出ZFCD的度数；如图3,如果a=45,AB=2，AE=4、迈，求点G到BE的距离

1^1■1^1■■壬：壬：15、如图1,△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D.F分别在AB、AC边上,此时BD=CF，BD丄CF成立。(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转0(0。<0<90°)时，如图2,BD=CF成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。⑵当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45。时，如图3,延长BD交CF于点G.求证：BD丄CF；当AB=4,AD=2V时，求线段BG的长。圍1图216、已知：在厶16、已知：在厶AOB与厶COD中，0A=0B,0C=0D,ZA0B=ZC0D=90。.则线段AD与0M之间的数量关系是___，位置关系是_；⑵如图2,将图1中的△COD绕点0逆时针旋转，旋转角为a(0°<a<90°).连结AD、BC,点M为线段BC的中点，连结0M.请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立。若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑶如图3,将图1中的△COD绕点0逆时针旋转到使ACOD的一边0D恰好与△AOB的边0A在同一条直线上时，点C落在OB上,点M为线段BC的中点。请你判断(1)中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明。17、如果两个等边三角形△ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明:△ABE9DBC；AE=DC.

AE与DC的夹角为60°；AE与DC的交点设为H,BH平分ZAHC.C重合)，以AD为边18、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点C重合)，以AD为边作菱形ADEF(A、D.E.F按逆时针排列)，使ZDAF=6