核反应堆屏蔽层

问题重述核反应堆屏蔽层是用一定厚度的铅把反应堆四周包围起来，用以阻档或减弱反应堆发出的各种射线。在各种射线中，中子对人体伤害极大，因此，屏蔽设计，主要是了解中子穿透屏蔽的百分比（或概率），这对反应堆的安全运行是至关重要的。首先考虑一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程：中子以初速度v和方向角0a射入屏蔽层内，运动一段距离后，在X处与铅核碰撞之后，中子获得新的速0度及方向qe1），再运动一段距离后，与铅核第二次碰撞，并获得新的状态（v,豊）等等，经若干次碰撞后，发生以下情况之一则终止运动过程：⑴弹回反应2堆；2（2）穿诱屏蔽层；（3）第i次碰撞后，中子被屏蔽层吸收。要求用数学建模方法解决中子穿透屏蔽层百分比问题，并对如何防护穿透屏蔽层的中子提出自己的建议。本文需解决的问题有：1•假设屏蔽层D=3d,在大数定理的意义下，中子穿透屏蔽层的百分比多少？2•在实际应用中，要求中子穿诱屏蔽层的概率极小，数量级为10-6~10-10，即穿入屏蔽层的中子若为几百万个，也只能有几个中子穿过屏蔽层。问题是多厚的屏蔽层才能使它被穿的概率小于10-6?3•根据上述估计，并查阅相关文献，尝试为日本福岛核泄漏事件的核危机善后工作提出约2000字的建议。问题分析此题研究的是中子穿透核反应堆屏蔽层的问题。一般情况下核反应堆是一个圆柱型建筑，屏蔽层里面充满介质，以防护放射性物质泄漏。在本题中我们认为防护层里面均匀分布着的介质只有一种物质，也就是铅层。而且把问题简化为中子穿透的是理想的铅制平板。中子在屏蔽层的运动到有明显的随机性，所以种子的运动过程是一个随机过程。中子的运动规律是根据大量中子的运动状况总结出来的，是一种统计规律。蒙特卡罗模拟，实际上就是模拟相当数量的粒子在介质中的运动状况，是粒子的统计规律得以重现。不过，这种模拟是利用随机数实现的。对于问题一：为了求得在大数定理意义下，中子穿透屏蔽层的百分比，在这里我们采用蒙特卡洛方法来解决此问题，在模拟的过程中，主要是分析中子在任意两相邻碰撞时刻的位置旋转角度及能量的变化，首先确定中子的初始状态，及分析中子下一次碰撞点的位置服从指数分布，其平均值为d，这样可以根据位移与屏蔽层D的大小关系判断中子是被弹回吸收和继续发生碰撞；然后确定碰撞类型，若为弹性碰撞且碰撞次数没有超过10次则继续下一次的碰撞，超过10次则直接被吸收，最后确定碰撞后的能量与运动方向，从而可得到一个中子的随机游动的序列参数。在借助计算机程序进行仿真模拟之前我们还可对中子的透射率进行估计。对于问题二：为了求得多厚的屏蔽层才能使它被穿的概率小于10-6，要求们考虑到实际情况在穿透率已知的情况下求解屏蔽层的厚度。我们可以考虑在问题一的基础上来解决此问题。我们考虑到实际情况，要求透率小于10-6时，求解铅屏蔽墙的厚度。由于每次碰撞中子的速度都会将低，从而引起能量的减小，从问题一中我们可得在大数定理下通过大量模拟实验，中子的对屏蔽层D的穿透量趋向一稳定的值，即为我们所要求的概率值，在这里我们可将中子穿过厚度为D的屏蔽层看做一次独立事件，假设所要求的屏蔽墙的厚度记为mD，通过计算多个独立事件同时发生的概率便可以求出m的值，进而可求出屏蔽层的厚度。模型假设假设中子在两次碰撞之间按直线运动而且粒子之间无相互作用。假设屏蔽层是理想均匀的平板。假设离子间的碰撞是弹性的。假设中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间游动的距离服从指数分布，d为两次碰撞之间中子的平均游动距离。假设在第10次碰撞后，中子速度下降到某一很小的数值而终止运动（被吸收）。四参数设置及说明符号符号说明bm(e)s m中子被第m个铅原子的反弹截面bm(e)a m中子被第m个铅原子的吸收截面pm单位体积铅原子的数量xm中子的第m次碰撞Em中子第m次碰撞后的能量sm中子第m次碰撞后的位置9m中子第m次碰撞散射角A是铅原子核质量与中子质量之比9c质心系散射角p中子穿透铅层的概率方位角

五模型建立及求解5.1在大数定理的意义下，中子穿透屏蔽层的百分比用蒙特卡洛法模拟中子在铅层的运动情况蒙特卡洛法是基于粒子输运过程的随机统计特性的考虑，我们认为物理上的可观测量就是大量粒子的行为共同贡献的统计结果。因此，该方法就是考虑一个一个粒子的传输，模拟它们在物质中随机运动的历史，记录其在运动中对感兴趣的物理模拟量的贡献。在对单个粒子运动历史进行大量的重复模拟之后我们就可以对物理模拟量进行统计平均，得到所需要的物理结果。中子与铅层作用后，一部分会被吸收，另一部分经过多次反弹后会穿透铅层弹射出去。中子与铅层作用后可能会产生次级粒子，我们不考虑这些次级粒子的迁移。如果中子和铅层中第m个铅原子作用的全截面为Qm（E）=Qm（E）+Qm（E）tm sm amQm（E）和Qm（E）分别表示中子被第m个铅原子的反弹和吸收截面。sm am如果单位体积铅原子的数量记为p，则中子作用在单位体积内第m个铅原m子上的总截面为工m（E）=pQm（E）t mtm假如材料中有多种元素，该中子与材料作用的总截面为:工（E）=莎m（E）ttm在本文中，铅是屏蔽层中的唯一元素，假定中子与某一个铅原子反弹后的角分布表示为dQ（E）/dQ，当散射角分布对方位角p是各向同性时，方位角p可被积掉，得到微分反弹截面dQ（E）/d（cosG）。无论微分截面dQ（E）/dQ或者dQ（E）/d（cosO），我们都可以得到相应的理论公式。设在o点有一个能量为e的中子垂直入射到铅层中。我们记录这时该中子的状态位形为s=（x二0,E,cosO二1）,经过第一次碰撞后反弹到位置0000s=lx,E,cosO），再经过第二次碰撞后反弹到位置s=\x,E,cosO），如此我11112222

们1依次1记1下该中1子在铅层中运动历史上的位置的轨迹2： 22 2或者用012或者用012TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"X X ... X0 1 mE E ...E0 1 mcosO cosO ...cosO\o"CurrentDocument"0 1 m来表示。直到在s状态，该中子被铅层吸收，射出或弹回，或者在s处该中子的能mm量E低于某一阈值，则程序就停止跟踪。我们假设在第10次碰撞后，中子速m度下降到某一很小的数值而终止运动（被吸收），因此中子在铅层中至多碰撞十次。我们用程序具体模拟跟踪中子的运动历程sm-1初始位置已经给出，假定为冷=匕二0,E,cosO二1）。现在要由位置=（x,E,cosO）确定下一个状态位形s=9,E,cosO）。sm-1m-1m-1 m-1我们采用下面的步骤来确定状态s的各个参数：

首先确定坐标参数x。中子到达s状态点以前，经历过第m-1次碰撞后mm做匀速直线运动。其自由程y满足分布密度函数f(y)=工(E)exp-y£(EXmm-1 tm-1我们可以采用直接抽样法得到自由程的抽样值y一工(E严则x由下式给出tm则x由下式给出x二x+x二x+ycos0 二xm m-1 m-1— lngcosOm-1£(E) mm-1tm-1确定碰撞的性质(是吸)收还是反弹。£中子(与铅)原子发生散射的几率为(E)/p(m—1)=bm£(E)

m-1 m,s stm-1同样可以采用离散型随机变量的直接法抽取。若抽样结果为吸收，则停止跟踪回到s状态，开始对下一个中子进行跟踪；若抽样结果为反弹，则进入下0一步。确定中子散射角0和能量E。由于理论上一般给出的是质心系中的分截面mmm-1公式da(E)/d(cos0 m-1m-1角余弦cos0，cos0满足的分布密度函数为f(cosO)=叫)/11叫)d(COS0)cdcos0 -1dcos0 mcm理论上，反弹后的中子能量E由下式计算得到mE=丄EK1+r)+(—r)cos0]其中m2m-1 m其中A是铅原子核质量与中子质量之比。质心系散射角0可c以用下面公式换算为对应的实验室系的散射角0。cos以用下面公式换算为对应的实验室系的散射角0。cos0l=G+Acos0)/cl1+A2+2Acos0

、 c再根据下面的球面三角公式，通过实验室系散射角0来确定0。cos0cos0=cos0 cos0+sin0sin0cos申i i-1 l i-1 l其中p为方位角。由于我们考虑的中子散射过程是各向同性的，方位角(P是通过抽样p=2礎确定抽样值。用计算机模拟中子在铅层里的运动情况按照上面的计算步骤，我们就完成了从s到s状态的跟踪。重复上述中子i-1 i跟踪计算过程，直到中子在铅层中运动历程的终点。我们分别模拟了10000个中子的运动过程，并用matlab软件进行编程模拟10000个中子在铅层的运动情况，为求得稳定数据我们重复了十次实验，得出数据如下表

碰撞次数中子被屏蔽层弹回百分比（％）中子被屏蔽层吸收百分比（％）中子穿透屏蔽层百分比（％）第一次81.896.2311.88第二次81.866.0712.29第三次82.256.1011.68第四次81.516.2312.36第五次81.156.6416.62第六次80.856.1512.51第七次81.906.2111.95第八次81.626.1412.17第九次81.496.2312.37第十次81.896.2511.88平均81.6956.25511.771其中第十次的穿透率与其他值相比偏差太大，我们把它舍去。求得中子穿透铅层百分比的平均值为p=1£f（x）=11.71119 11其方差为S2=-^（f（x）-p）2=19111为了使我们求得的数据更加接近实际情况，我们再对20000个中子进行同样方法的模拟，得到下面数据碰撞次数中子被屏蔽层弹回百分比（％）中子被屏蔽层吸收百分比（％）中子穿透屏蔽层百分比（％）第一次80.916.5212.57第二次81.476.3312.20第三次81.276.4812.26第四次81.526.1912.29第五次81.676.2812.05第六次81.566.4012.54第七次81.336.58512.12第八次81.695.9212.40第九次81.496.2312.37第十次81.896.2511.88平均其平均值为p=丄艺f(x)=210「21其方差为S2二丄艺(f(x)-p)=2102”21通过对两次模拟得出的数据，我们也如下计算公式得出更加接近实际情况的的百分比_iL_ ]p-p+p+S2一s2」=21212通过对大量中子运动过程的跟踪，我们也很容易求出透射中子的能量和角分布。只要将能量E和极角6分成若干个小区间，如：E>E>E>...>E012min0=6 <0<0 < <6 =兀/2012M将透射中子的能量E和极角6记入图中对应区间，统计落入各个能量区间或角度区间的中子数，并画出直方图。这样我们就得到相应的反射中子的能量分布或角分布图形。5.2求传透率小于10一6时，屏蔽墙的厚度5.21问题二要求我们考虑到实际情况，要求透率小于10一6时，求解铅屏蔽墙的厚度。由于每次碰撞中子的速度都会将低，从而引起能量的减小，从问题一中我们可得在大数定理下通过大量模拟实验，中子的对屏蔽层D的穿透量趋向一稳定的值，即为我们所要求的概率值，在这里我们可