河南省商丘市翰府中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

河南省商丘市翰府中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则（

）A．

B．1

C．

D．参考答案：B2.命题“?x2＞1，x＞1”的否定是（）A．?x2＞1，x≤1 B．?x2≤1，x≤1 C．?x2＞1，x≤1 D．?x2≤1，x≤1参考答案：C【考点】全称命题；命题的否定．

【专题】规律型．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，∴命题“?x2＞1，x＞1”的否定是：?x2＞1，x≤1．故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．进比较基础．3.已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（）A．4 B． C．8 D．16参考答案：B【考点】7F：基本不等式．【分析】先求出ab=1，从而求出的最小值即可．【解答】解：由，有ab=1，则，故选：B．4.已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为()A．

4

B.

C．2

D．3参考答案：C6.在△ABC中，，c=4，，则b=（）A. B.3 C. D.参考答案：B【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据正弦定理即可计算解得b的值．【详解】∵，c=4，，∴，∴由正弦定理，可得：，解得：b=3．故选：B．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．7.若a∈[1，6]，则函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】求出函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增时，a的范围，以长度为测度，即可求出概率．【解答】解：∵函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增，∴≤2，∵a∈[1，6]，∴a∈[1，4]，∴函数y=x+在区间[2，+∞）内单调递增的概率是=，故选C．8.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为(

)A． B．（﹣2，1） C． D．参考答案：D【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），求出函数的周期，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），函数的周期为4，则f（﹣7）=f（8﹣7）=f（1）=﹣f（﹣1），又f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）==﹣f（﹣1），∴﹣＞﹣2，即，即解得a∈，故选：D．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9.设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，＝A．9

B．8

C．7

D．6参考答案：D，

，.故选D．10.已知命题，命题对于实数，是的必要不充分条件，则（

）A.“或”为假

B.“或”为真C.“且”为真

D.“且”为真参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数的实部为

．参考答案：0【考点】A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数的实部为0．故答案为：0．12.如图，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=

参考答案：因为，所以∠AEB=，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以,所以．13.在中，，，，则的值为______________.参考答案：14.在△ABC中，A、B、C成等差数列，则的值是________．参考答案：略15.已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是______．参考答案：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：s2=×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．16.在中，若，则的最大值是

．参考答案：，由余弦定理得，，即的最大值是，故答案为.

17.给出下列命题：（1）“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件；（2）“a=2”是“函数f(x)=在区间为增函数”的充要条件；（3）“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0相互垂直”的充要条件；（4）设a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C所对的边，若a=1.b=,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件。其中真命题的序号是______________(写出所有真命题的序号)参考答案：（1）（4）略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）定义域为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”．（1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在上是“凸函数”，求实数的取值范围；（3）对于区间上的“凸函数”，在上任取，，，……，．①证明：当（）时，成立；②请再选一个与①不同的且大于1的整数，证明：也成立．参考答案：（1）设，是上的任意两个数，则．函数在上是“凸函数”．（2）对于上的任意两个数，，均有成立，即，整理得若，可以取任意值．若，得，，．综上所述得．（3）①当时由已知得成立．假设当时，不等式成立即成立．那么，由，得．即时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．②比如证明不等式成立．由①知，，，，有成立．，，，，，从而得．19.（本小题满分12分）已知函数，且.（Ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；（Ⅱ）当时，求函数的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围参考答案：由题意得：；

(2分)(1)由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得，即，解得；

(4分)(2)设，则只需求当时，函数的最小值.令，解得或，而，即.

从而函数在和上单调递增，在上单调递减.当时，即时，函数在上为减函数，；当，即时，函数的极小值即为其在区间上的最小值，.综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.

(8分)(3)令，显然，则.构造函数，.令得，，，可知：在上单调递减，且，当无限减小时，保持恒负并无限接近于0，其图像在下方无限靠近轴负半轴；在上单调递增，当无限接近于0时，无限增大，其图像在左侧向上无限接近轴正半轴，由于极小值，所以在内存在一个零点；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极大值，在处取得极小值.当并无限靠近0时，无限减小，其图像无限靠近轴负半轴，当无限增大时，也由负值变为正值无限增大，在区间内也存在一个零点.函数的大致图像如图所示：根据条件与的图像存在三个交点，即方程有三个解，直线与函数的图像有三个公共点.因此或，即或，从而的取值范围是.

(12分)20.已知右焦点为的椭圆关于直线对称的图形过坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为.证明：直线与轴的交点为.参考答案：(1);(2)详见解析.（1）由题意得椭圆的焦点在轴上，∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，∴，∵，∴，解得.∴椭圆的方程为.（2）证明：易知直线的斜率必存在，设直线的方程为，代入得，由得，.设，，，则，，则直线的方程为.令得，∴直线过定点，又的右焦点为，∴直线与轴的交点为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、注意运用椭圆的定义，考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，化简很复杂易出错，属于难题.21.设函数f（x）=﹣ax，e为自然对数的底数（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）﹣a（x＞0，且x≠1），由题意可得f′（e2）=﹣a=，f（e2）==﹣，联立解得即可．（II）当b=1时，f（x）=，f′（x）=，由x∈[e，e2]，可得．由f′（x）+a==﹣+，可得[f′（x）+a]max=，x∈[e，e2]．存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立?x∈[e，e2]，f（x）min≤f（x）max+a=，对a分类讨论解出即可．【解答】解：（I）﹣a（x＞0，且x≠1），∵函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，∴f′（e2）=﹣a=，f（e2）==﹣，联立解得a=b=1．（II）当b=1时，f（x）=，f′（x）=，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]，．∴f′（x）+a==﹣+，∴[f′（x）+a]max=，x∈[e，e2]．存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立?x∈[e，e2]，f（x）min≤f（x）max+a=，①当a时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上为减函数，则f（x）min=，解得a≥．②当a时，由f′（x）=﹣a在[e，e2]上的值域为．（i）当﹣a≥0即a≤0时，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，因此f（x）在x∈[e，e2]上为增函数，∴f（x）min=f（e）=，不合题意，舍去．（ii）当﹣a＜0时，即时，由f′（x）的单调性和值域可知：存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）=0，且满足当x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．∴f（x）min=f（x0）=﹣ax0，x0∈（e，e2）．∴a≥，与矛盾．（或构造函数即可）．综上可得：a的最小值为．22.(本小题满分12分)某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件的利润与该产品首次出现故障的时间有关．某厂家生产甲、乙两种品牌，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50件，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2数量(件)2345545每件利润(百元)1231.82.9

将频率视为概率，解答下列问题：(I)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件，求其至少有一