辽宁省朝阳市第六高级中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析

辽宁省朝阳市第六高级中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当Sn取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：A【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式，可求得公差d=2，从而可得其前n项和为Sn的表达式，配方即可求得答案．【解答】解：等差数列{an}中，a1=﹣9，a2+a8=2a1+8d=﹣18+8d=﹣2，解得d=2，所以，Sn=﹣9n+=n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25，故当n=5时，Sn取得最小值，故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查其通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．2.．x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，则数据3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数和方差分别是（）A．和S2 B．3和3S2C．3+5和9S2 D．3+5和9S2+30S+25参考答案：C【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】根据数据的平均数和方差公式即可求解．【解答】解：根据数据平均数和方差公式可知，若y=ax+b，则数据y和x的平均数和方程之间的关系为：，，∵y=3x+5，∴，方差，故选：C．【点评】本题主要考查平均数和方差的计算，要求熟练掌握满足线性关系的两个数据之间平均数和方差之间的关系，直接计算即可求值．3.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知如图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的棱的长度中，最大的是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先由三视图可知该几何体是一个四棱锥，分别求出其各棱长，即可确定结果.【详解】由三视图可知该几何体一个四棱锥，其直观图如图所示，其中，；，所以最长的棱的长度为.故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图，根据三视图还原几何体即可，属于常考题型.5.已知函数>0，则的值A．一定大于零 B．一定小于零 C．等于零 D．正负都有可能参考答案：B略6.设全集，，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B7.已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称 B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间单调递增 D．在单调递减参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】根据函数图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，易得到函数y=sin2x的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式，然后利用函数的对称性，单调性判断选项即可．【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为y=sin2（x+）=sin（2x+）．对于A，当x=﹣时，y=sin（﹣）≠0．图象不关于点（﹣，0）中心对称，∴A不正确；对于B，当x=﹣时，y=sin0=0，图象不关于x=﹣轴对称，∴B不正确对于C，y=sin（2x+）的周期是π．当x=时，函数取得最大值，x=﹣时，函数取得最小值，∵?，∴在区间单调递增，∴C正确；对于D，y=sin（2x+）的周期是π．当x=时，函数取得最大值，∴在单调递减不正确，∴D不正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换，其中熟练掌握图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键8.将2名教师6名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和3名学生组成，不同的安排方案共有

(A)240种

(B)120种

(C)40种

(D)20种参考答案：C略9.（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（）A.

B.

C.

D.参考答案：A

所以选A。3.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.【答案】【解析】10.已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：D【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和公式和诱导公式化简即可．【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=2cos（﹣x）=，∴cos（﹣x）=，故选D．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了学生对基础知识的掌握．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015?澄海区校级二模）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取．参考答案：15【考点】：分层抽样方法．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据三个年级的人数比，做出高一所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高一所占的比例，得到要抽取的高一的人数．解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高一在总体中所占的比例是，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高一抽取×50=15，故答案为：15．【点评】：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．12.设单调函数的定义域为D，值域为A，如果单调函数使得函数的值域也是A，则称函数是函数的一个“保值域函数”．已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”，是的一个“保值域函数”，则__________．参考答案：1【分析】根据反函数性质以及“保值域函数”定义可得的值域等于的定义域，再根据对应区间单调性分类讨论值域取法，最后根据对应关系确定a,b，解得结果.【详解】根据“保值域函数”的定义可知；如果函数是函数的一个“保值域函数”，那么的值域就等于的定义域．所以，的值域等于的定义域；的值域等于的定义域．因为函数与互为反函数，所以的定义域等于的值域．因此的值域等于的定义域．函数，所以在是单调递减，在是单调递增．（1）当时，，消元得到，解得，舍去；（2）当时，，整理可得，解得，故【点睛】本题属于定义题，有点难．需要在审题过程中把题干上给的定义读懂，理解透彻，灵活运用，对学生能力要求高．本题需要注意两点：（1）复合函数中内涵数的值域等于外函数的定义域，所以能够得出的值域就等于的定义域；（2）互为反函数的两个函数，一个函数定义域等域另一个的值域，这个性质是解本题的关键．本题易错的是遗忘了定义中对函数单调的要求．13.展开式中常数项为

参考答案：14.已知分别是内角的对边，，则

．参考答案：115.已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，给出下列命题：①的值为；②函数在定义域上为周期是2的周期函数；③直线与函数的图象有1个交点；④函数的值域为.其中正确的命题序号有

.参考答案：①③④16.正方体中，与平面所成角的正弦值为

参考答案：17.不等式的解集为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)平面内两定点的坐标分别为，P为平面一个动点，且P点的横坐标.过点P作垂直于直线，垂足为，并满足.（1）求动点P的轨迹方程.（2）当动点P的轨迹加上两点构成的曲线为C.一条直线与以点为圆心，半径为2的圆相交于两点.若圆与轴的左交点为F，且.求证：直线与曲线C只有一个公共点.参考答案：（1）设，则：

所以：，即：，

-----4分（2）由(1)知曲线C的方程为,圆M的方程为，则

设①当直线斜率不存在时，设的方程为：，则：，因为，所以：，即：因为点A在圆M上，所以：代入上式得：所以直线的方程为：（经检验x=-2不合题意舍去），与曲线C只有一个公共点.

------5分经检验x=-2不合题意舍去所以x=2

-------6分②当直线斜率存在时，设的方程为：，联立直线与圆的方程：，消去得：所以：

------------8分因为：，且所以：又因为：，所以：代入得：，化简得：--------10分联立直线与曲线C的方程：，消去得：

----12分因为：，所以，即直线与曲线C只有一个公共点

19.（本小题满分13分）已知函数.(Ⅰ)当时，求函数在，上的最大值、最小值；(Ⅱ)令，若在上单调递增，求实数的取值范围.参考答案：解:(Ⅰ)时,，由

，可以看出在取得极小值,在取得极大值…5分而由此,在上,在处取得最小值,在处取得最小值…6分(Ⅱ)…7分在上恒有考察的对称轴为(i)当,即时，应有解得:，所以时成立…………9分(ii)当,即时，应有即:

ks5u解得…………12分综上：实数的取值范围是…13分20.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知切⊙于点，割线交⊙于两点，∠的平分线和分别交于点.

求证：（1）；

（2）参考答案：解：（1）⊙于点，------2分，------4分，

------5分（2）------6分∽，------7分同理∽，------8分------9分------10分21.已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，利用三角形面积计算公式=，即ab=4．联立解出即可．（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可．【解答】解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣ab，∵=，化为ab=4．联立，解得a=2，b=2．（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，2sinBcosA=4sinAcosA，当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立，解得，b=，∴b2=a2+c2，∴，又，∴．综上可得：A=或．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？参考答案：考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：先利用平面中的知识求出∠ABC=180°﹣45°﹣15°=120°．再利用余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosα，求出对应的时间，根据正弦定理，可得结论．．解答： 解：设用t小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇．在△ABC中，AC=14t，BC=10t，AB=4.5，设∠ABC=α，∠BAC=β，∴α=180°﹣45°﹣15°=120°

根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosα