江苏省宿迁市龙河中学2022年高三数学文联考试题含解析

江苏省宿迁市龙河中学2022年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.德国数学家洛萨·科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1。如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1。现在请你研究：如果对正整数n（首项），按照上述规则实施变换（1可以多次出现）后的第八项为1，则n的所有可能的对值为

A．2，3，16，20，21，128

B．2，3，16，21

C．2，16，21，128

D．3，16，20，21，64参考答案：A2.如果执行右边框图，，则输出的数s与输入的N的关系是（

）A.

B.C.

D.参考答案：A3.若等差数列满足，则的最大值为A．

B．

C．

D．参考答案：B，有解4.设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：不经过区域D上的点，则的取值范围是

（

） A． B． C． D．参考答案：C5.已知点P为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点P落在的内部，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.实数的大小关系正确的是（） A．a＜c＜b B． a＜b＜c C． b＜a＜c D． b＜c＜a参考答案：考点： 对数值大小的比较．专题： 计算题．分析： 根据指数函数的特殊点（0，1）与对数函数的特殊点（1，0）即可作出判断．解答： 解：∵0＜＜0.30=1，0.3＜1=0，＞=1．∴b＜a＜c故选C．点评： 本题主要考查指数函数与对数函数的特殊点，但需具备函数的思想才能把形如这样的实数转化为它们的特殊点解决．7.中，若且，则的形状是(

)A.等边三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.直角三角形参考答案：C略8.甲箱子里装有个白球和个红球，乙箱子里装有个白球和个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为，摸出的红球的个数为，则（

）A．，且

B．，且C.，且

D．，且参考答案：D可取，；，，，，，故选D.

9.定义在R上的函数的反函数为，且对任意的x都有若ab=100,则

（

）

A．2

B．3

C．4

D．6参考答案：D略10.由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）A． B．2﹣ln3 C．4+ln3 D．4﹣ln3参考答案：D【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得．【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3﹣）dx+=（3x﹣lnx）+2=3﹣ln3﹣1+2=4﹣ln3．故选D．【点评】本题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

.参考答案：4略12.已知函数，.若,，使,则实数的取值范围是________________.参考答案：13.等比数列{an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=．参考答案：64【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据等比数列的通项公式分别化简a1+a2=3，a2+a3=6后得到首项和公比的两个关系式，分别记作①和②，然后②÷①即可求出公比，把公比代入①即可求出首项，根据求出的首项和公比，利用等比数列的通项公式求出a7的值即可．【解答】解：由a1+a2=a1（1+q）=3①，a2+a3=a1q（1+q）=6②，②÷①得：q=2，把q=2代入①得到a1=1，则a7=26=64．故答案为：6414.若数列中的最大项是第项，则=___________参考答案：4

本题主要考查了数列的通项及不等式组的求解，计算量比较大，难度中等。由于数列{n（n+4）（）n}中的最大值是第k项，则有，那么，整理得，可得，解得≤k≤+1，由于k∈N，则取k=4，故填4；15.我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S、周长c与内切圆半径r之间的关系为。类比这个结论，在空间中，如果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为R，那么凸多面体的体积V、表面积S＇与内切球半径R之间的关系是

。参考答案：16.某班有72名学生，现要从中抽取一个容量为6的样本，采用等距系统抽样法抽取，将全体学生随机编号为:01，02，……,72，并按编号顺序平均分为6组（1－12号，13－24号…），若第二组抽出的号码为16，则第四组抽取的号码为__________.参考答案：40略17.数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：，若存在正整数，使，，则____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设a，b∈（﹣1，1），证明：＜|1+|．参考答案：【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）把a=5代入，然后由根式内部的代数式大于等于0，求解绝对值的不等式得答案；（Ⅱ）把要证的不等式转化为2|a+b|＜|4+ab|，然后利用平方作差证得答案．【解答】（Ⅰ）解：由|x+1|+|x+2|﹣5≥0，得x≤﹣4或x≥1．∴A={x|x≤﹣4或x≥1}；（Ⅱ）证明：∵，而4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=a2（4﹣b2）+4（b2﹣4）=（b2﹣4）（4﹣a2），又∵a，b∈（﹣1，1），∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，故．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了绝对值不等式的解法，训练了利用作差法证明不等式，是中档题．19.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）若N是AB上一点，且，求证：CN//平面AB1M；（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．参考答案：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC．

……1分因为AC=BC=2，，所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．

……2分又因为AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1．

……3分因为AM平面ACC1A1，所以BC⊥AM．

……4分

（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP，则NP∥CC1，且∽．……………5分于是有．由已知，有．因为BB1=CC1．所以NP=CM．所以四边形MCNP是平行四边形．

……6分所以CN//MP．

……7分因为CN平面AB1M，MP平面AB1M，

……8分所以CN//平面AB1M．

……9分（Ⅲ）因为

BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，所以

以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．…10分因为

，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，，，．

……11分设平面的法向量，则，．即

令，则，即．

……12分又平面MB1C的一个法向量是，

所以

．

……13分由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以

二面角A-MB1-C的大小为．

……14分20.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC，AC=．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求直线CF与平面BDEF所成的角；（3）求异面直线AF与BD所成的角．参考答案：考点：直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）根据菱形的性质和等腰三角形“三线合一”，证出FO⊥AC，结合BD⊥AC且FO∩BD=O，即可证出AC⊥平面BDEF；（II）由（I）知∠CFO就是直线CF与平面BDEF所成的角，根据四边形ABCD．四边形BDEF都是含有60°角的菱形，算出Rt△OFC是等腰三角形，由此可得直线CF与平面BDEF所成角等于45°；（III）设H为CF的中点，连结OH，由三角形中位线定理和异面直线所成角的定义，得到直线AF与BD所成的角等于OH、BD所成的锐角或直角．利用线面垂直判定定理证出BD⊥平面AFC，从而得到BD⊥OH，由此即可得到异面直线AF与BD所成的角等于90°．解答：解：（I）∵菱形ABCD的对角线交点为O，∴O是AC的中点∵FA=FC，∴FO⊥AC又∵BD⊥AC，FO∩BD=O，∴AC⊥平面BDEF…（4分）（II）∵AC⊥平面BDEF，得OF为CF在平面BDEF内的射影∴∠CFO就是直线CF与平面BDEF所成的角∵四边形ABCD．四边形BDEF都是菱形，∠DAB=∠DBF=60°∴OC=AC=，BD=AC=1，可得OF=BD=∴Rt△OFC中，OF=OC，得∠CFO=45°，即直线CF与平面BDEF所成角等于45°（III）设H为CF的中点，连结OH，可得∵OH是△AFC的中位线，∴AF∥OH，可得OH、BD所成的锐角或直角等于直线AF与BD所成的角．∵BD⊥AC，BD⊥OF，AC∩OF=O，∴BD⊥平面AFC又∵OH?平面AFC，∴BD⊥OH，得OH、BD所成角为直角，因此可得异面直线AF与BD所成的角等于90°．点评：本题在特殊多面体中证明线面垂直，并求直线与平面所成角、异面直线的所成角．着重考查了菱形的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题．21.在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，DB=DC=4，∠BDC=90°，P在线段BC上，CP=3PB，M，N分别为AD，BD的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面MNP；（Ⅱ）若AB=4，求直线MC与平面ABC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）推导出MN∥AB，MN⊥BC，PN⊥BC，由此能证明BC⊥平面MNP．（Ⅱ）由AB⊥QD，得QD⊥平面ABC，连接AQ，取AQ的中点E，连接EM，EC，得到∠MCE就是直线MC与平面ABC所成角，由此能求出直线MC与平面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵MN是△ABD的中位线，∴MN∥AB．…（2分）又AB⊥平面PBC，∴MN⊥平面PBC．∴MN⊥BC．①…（4分）取BC的中点Q，连接DQ，则DQ⊥BC．由PN是△BDQ的中位线知PN∥DQ，∴PN⊥BC．②…（6分）由①②，得BC⊥平面MNP．…（7分）解：（Ⅱ）∵AB⊥平面PBC，∴AB⊥QD．而BC⊥QD，∴QD⊥平面ABC．…（9分）连接AQ，取AQ的中点E，连接EM，EC．在△AQD中，EM是中位线，∴EM∥QD．∴EM⊥平面ABC．…（10分）∴∠MCE就是直线MC与平面ABC所成角．…（11分）连接CN，则，，在Rt△MCE中，，∴直线MC与平面ABC所成角的正弦值为．…（15分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22.设函数，其中a≠0．（Ⅰ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P关于直线的对称点在y=f（x）的图象上，求m的值；（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x+1），讨论F（x）的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（I）先得出点P关于直线的对称点（1，0），由题意可得f（1）=0，求出m的值；（II）先求函数定义域，然后对函数求导，再对字母m分类讨论：当m≥0时，当m＜0时．分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设曲线y=G（x）上存在两点P、Q，满足题意，则P、Q只能在y轴的同侧，再利用△OPQ是以O为直角顶点的直角三角形，求出a的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】解：（I）令ln（x﹣1）=0，得x=2，∴点P关于直线的对称点（1，0），∴f（1）=0，m+4+m=0，m=﹣3．（II）F（x）=f′（x）+g（x+1）=mx2+2（4+m）x+8lnx，（x＞0）．∴F′（x）=2mx+（8+2m）x+==，∵x＞0，∴x+1＞0，∴当m≥0时，8+2mx＞0，F′（x）＞0，此时，F（x）在