湖南省衡阳市 市船山英文学校2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析

湖南省衡阳市市船山英文学校2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点所在区间是A.B.C.D.参考答案：C略2.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为(

)

A.

B.1

C.

D.参考答案：D3.若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.的虚部为 B.C.为纯虚数 D.z的共轭复数为参考答案：C【分析】先得到复数的代数形式，然后根据复数的有关概念对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由题意得．对于A，由得复数的虚部为，所以A不正确．对于B，，所以B不正确．对于C，由于，所以为纯虚数，所以C正确．对于D，的共轭复数为，所以D不正确．故选C．【点睛】本题考查复数的有关概念，解题的关键是得到复数的代数形式和熟悉复数的相关概念，属于基础题．4.

参考答案：A略5.在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（

）A．平行四边形

B．矩形

C．梯形

D．菱形参考答案：C6.等比数列的公比,则等于（

）A. B.-3 C. D.3参考答案：C【分析】通过观察，可将分母的每个数提出一个公比，再进行求解【详解】故选：C【点睛】本题考等比数列性质的应用，属于基础题7.已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是(

)A．1cm3

B．2cm3

C．3cm3

D．6cm3参考答案：A8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，弧田是中国古算名，即圆弓形，最早的文字记载见于《九章算术·方田章》.如图所示，正方形中阴影部分为两个弧田，每个弧田所在圆的圆心均为该正方形的一个顶点，半径均为该正方形的边长，则在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据圆的面积公式和三角形面积公式求得弧田的面积，除以整个正方形面积可得解。【详解】设正方形的边长为则一个弧田的面积为所以两个弧田的面积为所以在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为所以选A【点睛】本题考查了几何概型概率计算公式的简单应用，属于基础题。9.对于常数m，n，“m＞0，n＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及双曲线的定义判断即可．【解答】解：，若“m＞0，n＞0”，则“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线，是充分条件，若“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线”，则mn＞0，即m＞0，n＞0或m＜0，n＜0，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查双曲线的定义，是一道基础题．10.已知a，b∈R*，若向量=（2，12﹣2a）与向量（1，2b）共线，则+的最大值为（）A．6 B．4 C．3 D．参考答案：A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；基本不等式．【分析】利用向量共线定理可得a+2b=6．再利用基本不等式（x+y）2≤2（x2+y2）即可得出．【解答】解：∵向量与向量共线，∴12﹣2a﹣4b=0，化为a+2b=6．∵a，b∈R+，∴+≤===6．当且仅当2a+b=a+5b，a+2b=6，即b=1，a=4时取等号．∴+的最大值为6．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线是直线，是平面，给出下列命题：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确命题的序号

参考答案：①③略12.已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝_______.参考答案：－4略13.直线过点那么该直线的倾斜角为

.参考答案：13514.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（），（），则△AOB（其中O为极点）的面积为

。参考答案：315.有5粒种子，每粒种子发芽的概率均为，在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率为__________参考答案：16.=_______________.参考答案：略17.

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先设切点坐标为（t，t3﹣3t），利用导数求出在x=t处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（2）把判断方程f（x）=m何时有三个不同的实数根的问题，转化为判断两个函数何时有三个不同交点的问题，数形结合，问题得解．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，设切点坐标为（t，t3﹣3t），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），化简得t3﹣3t2=0，∴t=0或t=3．∴切线的方程：3x+y=0或24x﹣y﹣54=0．（2）由f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上f（x）单调递增，在[﹣1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f（﹣1）=2，在R上f（x）的极小值为f（1）=﹣2．函数方程f（x）=m在R上有三个不同的实数根，即直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点，由f（x）的大致图象可知，当m＜﹣2或m＞2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象没有交点；当m=﹣2或m=2时，y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有两个交点；当﹣2＜m＜2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点．因此实数m的取值范围是﹣2＜m＜2．19.设是正项数列的前项和且，（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）已知，求的值。参考答案：（1）当时，即得解得或（舍去）………4分（2）当时，由得两式相减得即，所以…………6分又所以，所以是以为首项，以2为公差的等差数列，则有………………8分（3）…………10分所以两式相减得………………12分所以.……………………14分20.圆M的圆心在直线上，且与直线相切于点A（2，-1）， （1）试求圆M的方程； （2）从点P（3，1）发出的光线经直线反射后可以照在圆M上，试求发出光线所在直线的斜率取值范围。参考答案：（1）由题意知：过A（2，-1）且与直线垂直的直线方程为： ∵圆心在直线：上，∴由即M（1，-2），且半径，∴所求圆的方程为：。（2）圆M关于直线对称的圆为，设发出光线为。 化简得，由得， 所以发出光线所在直线的斜率取值范围为。21.（本小题满分12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为，现从一批该日用品中随机抽取件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（Ⅰ）若所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，等级系数为的恰有件，求、、的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为的件日用品记为，，，等级系数为的件日用品记为，，现从，，，，中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相同的概率.参考答案：解：（Ⅰ）由频率分布表得即，因为抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，所以………2分等级系数为的恰有件，所以………4分从而所以………6分（Ⅱ）从日用品中任取两件，所有可能的结果为：，，

，………………9分设事件表示“从日用品中任取两件，其等级系数相等”，则包含的基本事件为：共个，又基本事件的总数为，故所求的概率………12分略22.某初级中学有三个年级，各年级男、女生人数如下表：

初一年级初二年级初三年级女生370z200男生380370300已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在初三年级中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任选2名学生，求至少有1名女生的概率；（3）用随机抽样的方法从初二年级女生中选出8人，测量它们的左眼视力，结果如下：1.2，1.5，1.2，1.5，1.5，1.3，1.0，1.2．把这8人的左眼视力看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.1的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（1）先根据抽到初二年级女生的概率是0.19，即可求出z值，（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件可以列举出所有，共有10种结果，满足条件的事件是至少有1名女生的基本事件有7个，根据概率公式得到结果．（3）首先做出样本平均数，把数据进行比较与样本平均数之差的绝对值不超过0.1的数有4个数，总的个数为8，得到概率．【解答】解：（1）∵=0.19，∴z=380（2）设所抽样本中有m个女生，因为用分层抽样的方法在初三年级中抽取一个容量为5的样本，所以，解得m=2也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作S1，S2，B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）