湖南省衡阳市南岳区第二中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析

湖南省衡阳市南岳区第二中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=x2cosx的导数为（

）A．y′=x2cosx-2xsinx

B．y′=2xcosx+x2sinx

C．y′=2xcosx-x2sinxD．y′=xcosx-x2sinx参考答案：C2.已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若，则|AB|=(

)

A.6

B.7

C.5

D.8参考答案：D3.给出以下一个算法的程序框图（如图所示）：

该程序框图的功能是（

）A．求出a,b,c三数中的最大数

B．求出a,b,c三数中的最小数C．将a,b,c按从小到大排列

D．将a,b,c按从大到小排列参考答案：B4.设等差数列的前n项和为，是方程的两个根，则=A．

B．5

C．

D．﹣5参考答案：A5.过的焦点作直线交抛物线与两点，若与的长分别是，则（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略6.不等式表示的平面区域是以直线为界的两个平面区域中的一个，且点在这个区域内，则实数的取值范围是

A.

B.C.

D.参考答案：D略7.过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足,则直线AB有（

）A．0条

B．1条

C．

2条

D．3条参考答案：B8.已知是（

）

A.等边三角形

B等腰三角形

C直角三角形

D以上都不对参考答案：D9.设集合，则A∩B=（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】分别求出集合A和集合B，利用集合间的交集运算可得答案.【详解】解：故选A.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.10.下列结论正确的是（）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使=λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“?＜0’’C．“若θ=，则cosθ=”的否命题为“若θ≠，则cosθ≠”D．若命题p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1＞0参考答案：C【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据向量共线定理判断A，向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“?＜0，且向量，不共线”，可判断B，条件否定，结论否定，可判断C；命题p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1≤0，可判断D．【解答】解：若向量∥，≠，则存在唯一的实数λ使=λ，故A不正确；已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“?＜0，且向量，不共线”，故不正确；条件否定，结论否定，可知C正确；若命题p：?x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2﹣x+1≤0，故D不正确．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若,且,则__________________；参考答案：1略12.已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的表面积为．参考答案：14+6+10π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由前后两部分组成：前面是一个直三棱柱，后面是一个半圆柱．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体由前后两部分组成：前面是一个直三棱柱，后面是一个半圆柱．∴该几何体的表面积S=3×2+3×+2×+π×22+π×2×3=14+6+10π．故答案为：14+6+10π．13.“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列中，____________；若，则数列的前项和是________________（用表示）．参考答案：13；

14.定积分=___________．参考答案：略15.圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标

．参考答案：（2，﹣3）【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念，即可得到所求圆心坐标．【解答】解：将圆x2+y2﹣4x+6y=0化成标准方程，得（x﹣2）2+（y+3）2=13∴圆表示以C（2，﹣3）为圆心，半径r=的圆故答案为：（2，﹣3）【点评】本题给出圆的一般方程，求圆心的坐标．着重考查了圆的标准方程与一般方程的知识，属于基础题．16.连掷两次骰子分别得到的点数为m和n，记向量与向量的夹角为，则的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D17.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设.（1）若，试判定集合A与B的关系；（2）若，求实数组成的集合C.参考答案：19.（本题满分12分）在中，是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知．（1）求角的大小；（2）若＝，且△ABC的面积为，求的值.参考答案：解：（1）又为三角形内角，所以………………4分（2），由面积公式得：…………6分由余弦定理得：………10分由②变形得………12分20.（2016秋?湛江期末）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且c?cosA+a?cosC=2b?cosA．（Ⅰ）求cosA；（Ⅱ）若，b+c=4，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理、和差公式与诱导公式即可得出．（Ⅱ）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：c=2rsinC，a=2rsinA，b=2rsinB（其中r为外接圆半径）．…（1分）代入c?cosA+a?cosC=2b?cosA得：sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosA即：sin（A+C）=2sinBcosA?sin（π﹣B）=2sinBcosA．…（3分）∴sinB=2sinBcosA，…（4分）∵B∈（0，π）∴sinB≠0．∴．…（Ⅱ）由余弦定理，即（b+c）2﹣3bc=7…（7分）上式代入b+c=4得bc=3．…（8分）∴．所以△ABC的面积是．…（10分）【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式及其诱导公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.如图多面体ABC-A1B1C1，，棱垂直平面ABC，且.（1）证明：.（2）求直线AB1与平面A1B1C1所成角的正弦值.参考答案：(1)见解析.(2).【分析】（1）作,的中点分别为，连接，设，证明，即可证得：，同理可证得：，即可证明面，问题得证。（2）建立空间直角坐标系,为的中点，设，求得平面的法向量为，结合及向量夹角公式即可求得：，问题得解。【详解】（1）作,中点分别为，连接，设则,，可算得.在三角形中，，即同理可得又面,

又面.（用向量证明也可以）（2）如图建立空间直角坐标系,为的中点，设，则设平面的法向量为，因为，，所以所以，不妨设，则所以，又所以直线与平面所成角的正弦值为:所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明及转化能力，还考查了利用空间向量求线面角的正弦值，考查计算能力，属于中档题。22.如图，在四棱锥P-ABCD中，棱PA⊥底面ABCD，且，，，E是PC的中点．（1）求证：DE⊥平面PBC；（2）求三棱锥的体积．参考答案：(1)见解析(2)试题分析：(1)取中点,连接,利用线面垂直的性质，得到，进而得到平面,又根据三角形的性质，证得，即可证明平面；(2)解:由(1)知,是三棱锥的高,再利用三棱锥的体积公