山西省太原市重型机器厂第一中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析

山西省太原市重型机器厂第一中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数在复平面上对应的点位于（

）

A．第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限参考答案：B2.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于（

）A．10B．8C．6D．4参考答案：B3.设，向量，，且，则（）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．4.已知ABCD是四面体，O是△BCD内一点，则＝(＋＋)是O为△BCD重心的()A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件参考答案：C略5.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2

名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（

）A．10

B．20

C．30

D．40参考答案：B6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=BC=1，BB1=2，则异面直线A1B和AD1所成角的余弦值为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】连结，可证明是平行四边形，则，故的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值，利用余弦定理可得结果.【详解】连结，由题得，故是平行四边形，，则的余弦值即为所求，由，可得，，故有，解得，故选D.7.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A． B． C．1 D．2参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出可行域内使直线OM斜率取最小值的点M，由两点求斜率公式得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得M（3，﹣1），∴直线OM斜率的最小值为k=．故选：A．8.若，α是第三象限的角，则=（）A． B． C．2 D．﹣2参考答案：A【考点】半角的三角函数；弦切互化．【专题】计算题．【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．9.若点P的直角坐标为，则它的极坐标可以是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】设点的极坐标为，计算出和的值，结合点所在的象限求出的值，可得出点的极坐标.【详解】设点的极坐标为，则，.由于点位于第四象限，所以，，因此，点的极坐标可以是，故选：A.【点睛】本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.10.函数的(

)A．极大值为

B．极小值为

C．极大值为

D．极小值为参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列命题正确的是__________．①两条直线没有公共点，则这两条直线平行或互为异面直线；②如果两个平面有三个公共点，那么它们重合；③一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行；④两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；⑤过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行．参考答案：①解：①正确．②错，可能两个平面相交．③错，当一条直线与平面内所有直线均无公共点时，直线与平面平行．④错，两直线可能相交．⑤错，只能作出一个符合要求的平面．12.F1、F2是椭圆的左、右两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF1F2是等边三角形，则a2＝________.参考答案：12略13.复数（i为虚数单位）的共轭复数是__________．参考答案：【分析】先由复数的除法运算化简，再根据共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以，其共轭复数为.故答案为14.过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为________．参考答案：1:3:515.如果，，那么是的

▲

.(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空)参考答案：充分不必要略16.设

．参考答案：略17.已知点在同一个球面上,若，,则过两点及球心的球的截面图形中两点间劣弧长是 参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分16分）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内．（１）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（３）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？参考答案：（1）（种）（2）（种）（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：种∴满足条件的放法数为：1+10+20=31（种）19.已知等差数列{an}中，a3=5，a6=11，数列{bn}前n项和为Sn，且Sn=bn﹣．（1）求an和bn；（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用d=及an=a3+（n﹣3）d计算即得等差数列{an}的通项公式；当n≥2时利用bn=Sn﹣Sn﹣1化简整理可知bn=3bn﹣1，进而可知数列{bn}是首项、公比均为3的等差数列，计算即得数列{bn}的通项公式；（2）通过（1）可知cn=（2n﹣1）3n，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则d===2，∴an=a3+（n﹣3）d=2n﹣1；∵Sn=bn﹣，∴当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=（bn﹣）﹣（bn﹣1﹣）=（bn﹣bn﹣1），整理得：bn=3bn﹣1，又∵b1=b1﹣，即b1=3，∴数列{bn}是首项、公比均为3的等差数列，于是bn=3?3n﹣1=3n；（2）由（1）可知an=2n﹣1、bn=3n，则cn=anbn=（2n﹣1）3n，∵Tn=1?3+3?32+5?33+…+（2n﹣1）?3n，∴3Tn=1?32+3?33+5?34+…+（2n﹣3）?3n+（2n﹣1）?3n+1，两式相减得：﹣2Tn=3+2（32+33+34+…+3n）﹣（2n﹣1）?3n+1=3+﹣（2n﹣1）?3n+1=﹣6﹣（2n﹣2）?3n+1，∴Tn=3+（n﹣1）?3n+1．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．20.已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对?x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；复合命题的真假；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；分类讨论．【分析】先解命题，再研究命题的关系，函数y=ax在R上单调递增，由指数函数的单调性解决；等式ax2﹣ax+1＞0对?x∈R恒成立，用函数思想，又因为是对全体实数成立，可用判断式法解决，若p且q为假，p或q为真，两者是一真一假，计算可得答案．【解答】解：∵y=ax在R上单调递增，∴a＞1；又不等式ax2﹣ax+1＞0对?x∈R恒成立，∴△＜0，即a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，∴q：0＜a＜4．而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．①若p真，q假，则a≥4；②若p假，q真，则0＜a≤1．所以a的取值范围为（0，1]∪21.（12分）某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知y与x之间具有线性相关关系．天数（x）12345营业额（y）13678

（1）求营业额y关于天数x的线性回归方程；（2）试估