三年级上册倍的认识倍的认识反思

三年级上册倍的认识-倍的认识反思倍的认识反思

基于乘法意义的“倍”的认识教学

——人教版教材“倍的认识”教学思考与实践

浙江省嘉兴市南湖区教研室费岭峰

一、“倍”是什么？

“倍”产生于量与量之间的比较，其实质是除法中“等分”意义的扩展。与分数一样，其同样是基于量的“等分”基础上的一种数学表达，是数学模型化思想的典型体现。如“甲是乙的3倍”，既可以理解为“红气球的个数是蓝气球个数的3倍”；也可以理解为“第二行的圆片数是第一行圆片数的3倍”；当然还可以理解为“甲车运的货物重量是乙车运的货物重量的3倍”、“小红做作业用的时间是小明的3倍”等等。这里的“蓝气球的个数”、“第一行的圆片数”、“乙车运货量”、“小明的作业时间”等均可以理解为单位“1”，“3”即是以单位“1”为标准的“3份”，其3倍关系可以用以下图式模型来表示：

甲量：

乙量：

1倍量

3倍量

二、学生对“倍”的认识基础

因为要备“倍的认识”一课，笔者翻阅了一些使用较广的新课程实验教材后发现，北师大版、苏教版、浙教版等课标实验教材，均是在学生认识了“除法”之后教学“倍的认识”这节内容的，唯独人教版教材在学生学习“除法”知识前编排了这节课。那么，学生对“倍”的认识基础是怎样的呢？笔者对一所农村乡镇中心小学和一所中心城区实验小学各一个班的学生进行了课前调查。调查内容如下：

问题1：

第一行有：□□；

第二行有：□□□□□□；

问第二行正方形的个数是第一行的倍。问题2：

你知道“3的2倍”是什么意思吗？前测结果如下：

表一：农村乡镇中心小学学生调查汇总表

表二：中心城区实验小学学生调查汇总表

从调查情况来看，学生对“倍”的概念认识，农村学校的学生基本没有，中心城区实验小学的学生也比较弱，只有近1/3的学生有“倍”的直观经验，意义则基本不知道。事实上，如同“倍”这样学生认识基础相当薄弱的知识点，在小学数学知识内容中不太多。

三、基于乘法意义的“倍”的认识教学实践

“倍的认识”这节内容，人教版教材安排在学生学习了表内乘法“7的乘法口诀”之后，“求一个数的几倍”解决问题之前，很明显，其教学基础是乘法意义，目的是为“求一个数的几倍”的解决问题教学服务的。教材例题如右下图：

例2以三个小朋友用小棒摆正方形的情况，根据2个4根、3个4根与1个4根间的联系，引出“一个数的几倍的含义”，这是典型的借助乘法意义来理解“倍”概念的方式；例3引导学生用摆小圆片的形式，建立“求一个数的几倍是多少”的计算思路，实质是为解决问题构建“思维模式”。

与人教版教材相配套的《教师用书》提出相应的教学建议：一要用现实生活中的实例，让学生感到“一个数的几倍”的存在，并体验到它的含义与作用，真正理解“一个数的几倍”具体描述什么内容；二要反复用学具操作，在脑海里建立“第一行有几个，第二行有多少个同样多的几个，就是几的多少倍”的表象，然后得出用乘法计算的结论。意图很清楚，均在为解决“求一个数的几倍是多少”的问题教学服务。

从教材编写的内容和教师用书的教学建议来看，人教版教材因为在教学“倍”的概念之前，还没有教学“除法”的相关内容，因此无法借助除法意义来理解“倍”的等分含义，借助乘法意义和学生已有的生活经验来理解“倍”。通过直观操作和图示分析完成“倍”的概念的建构，成了唯一途径。于是在设计这节内容时，我们确定了以下教学

目标：

结合具体情境，使学生感受到“倍”作为一个表示两量之间关系的数学表达方式的存在。

借助动手操作、解决问题的过程，使学生经历“倍”的意义建构过程，初步理解“一个数的几倍”表示“几个这个数”的含义。

借助对“倍”的意义理解的深入，帮助学生建构“倍”的数学模型，体会“倍”的性质，并能利用“倍”的模型解释两个量之间的关系。

教学过程设计及实践如下：

教学导入：借助主题情境图，以乘法背景引出“倍”

呈现情境图，引导学生结合情境解读信息，并思考：小红摆1个正方形，用了4根小棒，那么小丁摆3个这样的正方形，该用几根小棒？

媒体呈现3个分开摆的正方形，确认需要12根小棒：这样摆3个正方形，为什么是用了12根小棒，你是怎样想的？

引出“3个4根”，揭示：3个4根，还可以说成4的3倍主体探究：借助操作演示和直观图例，帮助学生建构“倍”的数学意义1．在“1倍量不变，几倍量变化”的情境中初步理解“倍”的意义。“2的4倍”的认识。

在黑板上用圆片直接呈现：第一行：○○

第二行：○○○○○○○○

请学生说说这两行圆片数量的关系。当有学生说到“倍”时，教师顺势板书问题：“第二行的个数是第一行个数的倍”。先由学生说出结果，然后解释。重点抓住“3倍”和“4倍”两种结果引导，关注“2个圆片”的应用。

生1：因为第二行比第一行多6个，6个中有3个2，所以是3倍。

请这位学生结合圆片图介绍。你为什么要2个2个去数呢？

生1：因为第一行有2个，所以我就2个2个去数了。师：他告诉我们，这里第一行的个数是个标准。感谢他。

生2：因为第一行有2个，把它作为标准，去数第二行的个数，数出了4个2个。教师请这位学生把这种想法在图中表示出来，并请全班一起数。这位学生先在第一行上圈了一个圈，再把第二行上的圆片2个2个地圈起来。学生跟着一起数：一个2个，2个2个，3个2个，4个2个。

生2：第二行有4个2个，所以第二行个数是第一行的4倍。

师引导确认：像这样第一行2个，第二行中有4个2个，我们就可以说成“第二行的个数是第一行个数的4倍”。

“2的5倍”的认识。

情境变化：第一行圆片数不变，在第二行再摆上2个圆片，并问：“现在第二行的个数是第一行个数的几倍？”

“2的6倍”的认识。

情境再变：第一行圆片数不变，在第二行中又摆上2个圆片，再问：“现在第二行的个数是第一行个数的几倍？”

“2的几倍”的整体认识。

媒体把刚才的3组材料依次呈现在屏幕上，请学生整理思考：我们来回顾一下，这里第二行个数是第一行个数的4倍、5倍、6倍分别是怎样来的？又分别表示什么意思呢？重点抓住“几个2”，就是“2的几倍”。

2．在“1倍量变，几倍量不变”的情境中体验“倍”。“3的4倍”的认识。

顺接着第一组材料，第二行12个圆片数不变，在第一行上摆上1个，情境变成：

提出问题：现在第二行的个数是第一行个数的几倍呢？请学生解释“4倍”。生：先圈第一行，有3个。以3个为标准，去数第二行的个数，一个3个，2个3个，3个3个，4个3个。共有4个3个，所以第二行的个数是第一行个数的4倍。

教师结合学生的回答板书：4个3，3的4倍。“4的3倍”的认识。

情境再变：第二行个数不变，在第一行上再摆上1个圆片，问：“现在第二行的个数又是第一行个数的几倍？”

情境变成：第一行：○○○○

第二行：○○○○○○○○○○○○

先请学生同桌交流“为什么是3倍”，然后作反馈交流。

生：第一行有4个。以4个为标准，去数第二行的个数，第二行中有3个4个，所以第二行的个数是第一行个数的3倍。

结合学生的回答板书：3个4个，4的3倍。“几的几倍”的整体认识。

整体呈现讨论刚才讨论的3组材料，重点引导学生关注：以第一行的圆片个数为标准去数第二行的圆片个数，第二行中有几个标准就是第一行的几倍。

练习：看一看，圈一圈，填一填第一行：○○○○○○

第二行：○○○○○○○○○○○○第二行圆片个数是第一行的倍

第一行：○○○○○○○○○○○○第二行：○○○○○○○○○○○○第二行圆片个数是第一行的倍

第一行：○○○

第二行：○○○○○○○○○○○○

学生先独立完成，再说理。

教学延伸：借助练习作业，初步建构“倍“的模型，感悟“倍”的本质练习：圈一圈，想一想，填一填第一组：

第一行：★

第二行：☆☆☆☆

问：第二行的☆数是第一行的★数倍。

第二组：第一行：★★第二行：☆☆☆☆☆☆☆☆

问：第二行的☆数是第一行的★数倍。

第二组：第一行：★★★第二行：☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

问：第二行的☆数是第一行的★数倍。

重点引导学生解释“为什么都是‘4倍’”。

师：这里第一行的个数、第二行的个数都不一样，怎么结果却都是4倍呢？生1：第1题中，第一行1个，第二行得1个1个数，正好是4个1，所以是4倍；第2题，第一行2个，第二行得2个2个数，正好是4个2，所以也是4倍；第3题，第一行3个，第二行得3个3个数，正好是4个3，所以也是4倍。

生2：第二行都是4个几。

师：你的意思是说，你们数的时候，第二行总是4个第一行的个数。所以第二行的个数都是第一行个数的4倍。

师：照这样想，第一行1个，那么第二行就是——生：4个1。

师：也就是1的4倍。第一行5个，那么第二行就是——生：4个5。师：也就是——生：5的4倍。

师：第一行10个，那么第二行就是——生：4个10。师：也就是——生：10的4倍。„„

师小结：原来这里第二行的个数是第一行个数的4倍是指——第一行摆几个，第二行摆的个数始终是4个几个。

四、实践后的再思考

1．基于乘法意义的“倍”的认识教学具有可行性。

因为有乘法意义作背景，整节课的教学中，突出“倍”概念中“几个几”的意义理解，学生从直观材料的观察到“倍”的模型的提炼，也显得比较自然而有效。教学中，学生较好地建构了“倍”的概念，也形成了“倍”概念中“几个几”的概念表象。笔者对所教班级学生进行了课后检测。

表三：中心城区实验小学学生后测情况汇总

调查结果表明，通过以上的教学实施，学生对“倍”的概念基本掌握，且有好多学生在表达“3的2倍”时，能够正确画出“图示”。这说明其对“3的2倍”的模型基本建立。

图示1

图示2

图示3

2．基于乘法意义的“倍”的认识教学，同样是一个遵循学生逻辑认识基础上、有效引导学生理解“倍”的本质内涵的教学过程。

“倍”的本质含义虽然是“‘几倍量’中包含几个‘一倍量’”，但如同除法是乘法的逆运算一样，由于除法是基于乘法而产生的，两者存在着密不可分的关系，所以从乘法意义出发去引导学生理解“倍”的含义，也有其可行性。那么，基于乘法意义的“倍”的认识教学，以怎样的教学层次推进比较符合学生的认识逻辑呢？以上实践从三个层次的教学推进作了很好的演绎，现简要作一分析：

第一层次，“一倍量”不变，“几倍量”变。这是顺应乘法意义认识过程的。因为乘法是相同加数累加的简便表达，于是在“倍”的认识中，“一倍量”的累加，从认识上来说，还是比较符合学生乘法学习背景的，有利于学生建立起初步的“倍”的概念。以第一行“2个”为标准，2个2个地数，第二行有“4个2个”，所以是“2个的4倍”；当第二行增加一个“2个”，则变成了“5个2个”，所以是“2个的5倍”。以此类推，“2个的6倍”、“7倍”的概念建立也就自然不难形成。

第二层次，“几倍量”不变，“一倍量”变。这实质上已经有“等分”的意思了，因

为有了第一层次对“倍”的产生过程的经历和“一倍量”作为标准的理解，此时，引导学生以“一倍量”为标准，去分解“几倍量”同样符合学生的认识逻辑。因为第一行有3个，现在以第一行的“3个”为标准去数第二行的个数，变成了“4个3个”，所以第二行的个数是第一行个数的“4倍”。这个“4倍”的直观表象也就是“3个的4倍”。同理，当第一行个数增加到“4个”时，第二行的个数便是第一行的“3倍”，也就是“4个的3倍”。以此为延伸，练习中出现第一行的个数为“6个”、“12个”、“1个”的变化，第二行与第一行的倍数关系变成了相应的“2倍”、1倍、12倍。

第三层次，“一倍量”、“几倍量”同时变，倍数不变。这其实是一个帮助学生初步建构“倍”的数学模型的层次。“倍”是什么？“倍”其实是一种量与另一种量的比较关系。“一个量是另一个量的4倍”，并不表示一个量一定是多少，或另一个量一定是几，两个量之间只要存在着“‘几倍量’中包含4个‘一倍量’”的关系存在，那么，这两个量之间就一定是“4倍”关系，并可以用下面的图式来表示：

1

4

而这也正是“倍”的概念的本质内涵。

因为有了直观操作与图例说明等符合学生认识逻辑的学习引导，有了乘法意义的背景支持，学生虽然没有除法“等分”意义的知识储备，但也已足够认识“倍”的基本含义了。倍的认识教后反思

倍的认识教后反思

——任健国“倍的认识”是学生初次接触，由于倍的概念较抽象，学生不容易理解，所以，我在教学中，以创设情境、借助多媒体，充利用图例，将抽象的知识转化成学生能看得见、摸得着得东西，从而激活了学生的学习兴趣，并以情境贯穿整节课的教学，同时从以下几个层次展开教学，有利于突出重点，突破难点：

注重了把抽象的知识具体化。在教学中，设计大量的图文并茂的情景，激发了学生的学习兴趣和探究意识，学生通过具体的情景，理解倍的概念，对所学知识的理解和掌握较好。

注重方法渗透。在本课中我多次安排学生动手操作的环节，让学生通过摆一摆、画一画等活动，让学生在学习中边学边练，加深了对所学知识的理解与运用。

较好地处理课尾。课尾往往是学生注意力最容易分散、学习效率比较低下的时候，因此我在练习的设计上，通过“倍”的擂台赛的形式，一下子和学生拉近了距离，激发了学生参与的欲望，让每一个学生都跃跃欲试，并引导学生快速说出谁是谁的几倍，让学生掌握了方法，巩固了知识。

学生在理解倍的含义时，对几个几的理解不好。例如：第一行有△△△，第二行□的个数是△4倍。有的同学在第二行画出这样的图例：□□□□□□□□□□□□说成第二行□的个数是3个4。学生把以谁为标准没有弄清，导致这样的事情发生。

总之，全课设计始终围绕学生的活动展开，意在调动学生参与学习方面所做的努力，以学生为主体，教师为学生的引导者、参与者与组织者，让学生在自由、快乐和民主的气氛中学习知识，使学生通过自己的活动理解“倍”的概念形成的全过程。倍的认识教后反思

《倍的认识》教后反思

《倍的认识》是二年级数学第六单元的内容。这节课给我的感触很深。下面我通过回顾本节课的教学，做以下反思：

一、通过圈一圈的活动，激发学生探究。

在课的开始，我让学生通过圈一圈这个活动，使学生理解倍的概念，知道还有倍这种数量关系。激发学生探究的欲望。

二、通过圈一圈、摆一摆等活动，得出“求一个数的几倍是多少”的计算方法。

这节课我分了三个层次展开教学：第一层次是：让学生通过圈一圈这个活动，引出倍的概念，初步感知一个数的几倍的含义。第二层次是让学生通过动手摆一摆，引导求一个数的几倍也就是就几个几是多少，从而得出就一个数的几倍是多少的计算方法。第三个层次是运用这个计算方法来解决一些实际的问题。

三、学生通过自主探究，总结学习方法。

在创设圈一圈的情境，初步感知倍的感念，学生共同探讨，动手圈一圈，感知一个数的几倍的含义。接着通过自主探究、动手摆一摆这个活动，使学生在理解一个数的几倍的含义的基础上，找到解决求一个数的几倍的计算方法。最后又通过师生做拍手的游戏来加强练习了求一个数的几倍的计算方法。

课堂中存在着很多生成性的问题，这需要教师有一定的课堂应变能力。

1、结合学生在课堂上的理答情况和这节课之后对学生的课后了

解情况来看，尽管课堂上出现了一些和备课时出入的问题，但并没有影响教学目标的达程度。

2、各种教学行为的有效性

为了让学生理解一个数的几倍的含义，我让同学们通过看一看、圈一圈、说一说等活动来达成目标一。

动手操作方面:本节课按“理解一个数的几倍的含义——探究求一个数的几倍的计算方法——运用方法解决问题”的思路展开教学，通过动手圈一圈、动手摆一摆、动手拍一拍等活动，让学生最大限度的参与到探究新知识的教学过程中。整节课是以学生的参与活动为主线，通过学生的亲身体验，感知一个数的几倍的含义，感受数学来源于生活。

资源利用方面：充分利用多媒体，让学生从图中充分的了解到一个数的几倍的含义。充分利用学具，让学生从中找的解决问题的方法。

课堂问答方面：这主要体现在教师的问和学生的答，在这反面我有很多的不足，主要体现在有时我提的问题不够明确不够具体，学生不知从何答起。例如在这节课中我让学生验证小明和小亮说的对吗？我让学生圈一圈，由于我的要求提的不够明确。所以有一部分的学生圈错了。如果我加上都以他们自己的红花为一份，请你们圈出他们的蓝花分别占红花的几份？也许效果会好一些。还有在学生动手摆一个倍数的关系时，由于我没有重点强调摆的要求，所以有个别的学生不知道该怎样摆。

在这节课中不如意的地方还有很多:比如教师的语言不够简练、准确，专业理论不够强，导致自己的课堂引导不够到位，课堂的应变能力比较差，心理素质不够好，当学生回答的和老师想得不一样时，不知该如何处理等等。

教无定法，学无止境，所以，在以后的教学中我要加起自己的理论学习，用知识来武装自己，来丰富自己，力争做到看到了自己的语言简练准确，提高自己的课堂驾驭能力，同时还要有最大限度的挖掘学生的潜能的能了，能看到学生的发光点。还要不断的向有经验的教师学习，取其之长，补期之短。

【教学反思】

《倍的认识》教后反思

姓名：郝红娟单位:青年路小学三年级《倍的认识》课后反思

三年级《倍的认识》课后反思

我所教的这节课是第五单元《倍的认识》的第一课时。“倍”是在表内乘除法的基础上学习的，同时也为后面学习分数、百分数、比等知识打下了基础。

在这节课中，我主要是结合多个学习活动，让学生获得“倍”概念的直观体验，结合具体情境理解“几倍”与“几个几”的联系，从而建立倍的概念。

和XX小学三年四班的学生一起上完这节课，我反思我的这堂课有以下几点：

1、创编例题效果好。书上的例一是小兔子拔萝卜，有胡萝卜2根，红萝卜6根，白萝卜10根。我在备课时发现“胡萝卜”和“红萝卜”在表述时容易混淆，给学生的学习带来了不必要的障碍。这里我创编了小猴摘水果的情境，把萝卜变成了“香蕉、桃子和苹果”。课上学生通过例题的学习，很快掌握了“倍”和“几个几”之间的关系。

2、对“倍”概念的理解扎实。在我校教研组的帮助下，我更注重学生对“倍”概念的理解和表述。就像专家说的那样，数学思考和数学表达同样重要。这节课知识点不难，难在表达上，于是我从例题开始，给学生建立“香蕉是1个2，桃子有3个2，所以桃子是香蕉的3倍”这样一个清晰的表达方式，让学生在多次复述中理解“倍”的概念，建立“倍”与“几个几”之间的关系，同时会表达“倍数关系”。再通过苹果和香蕉比，以及后面跟进的三个习题，追问学生的“想法”，

让学生在多次表述中强化了这一点。所以整节课下来，学生的表述非常清晰明了，突破了本课的重点。

3、多层次练习，使学习既有广度又有深度。这节课我设计了多个层次的练习。第一层次练习是3个小动物带来的问题，有先出标准量，再一组一组出比较量的；有一起出示的；有比较量在上，标准量在下的。第二层次练习是两道动笔练习：一是不成组出比较量的，在学生自己解决过程中，感受圈一圈的方法。二是三种量之间的比较，圆3，三角9，方块18，在不同的比较中引导学生关注“是谁和谁比”。第三个层次是在变化中体会“倍”的本质。一是标准量不变，比较量增加，体会“倍”的变化。二是改变标准量，感受“倍”的变化。第四个层次是动手操作，摆一摆、画一画。根据标准量和倍数关系，摆出比较量。在师生互动和生生互动中，应用倍的知识。同时让学生解读同学的作业，来加深理解和感悟。第五层次是提升挑战。一是加深理解倍和“份数”的关系。二是探索在不同事物背后隐藏的相同点。

4、课堂的不足：一是“圆3，三角9，方块18”这道题，当三角和圆比、方块和圆比时，学生没有出错，但是方块和三角比时，不论是试讲还是这节课都有大量学生出错。反思这部分内容是课堂的一个难点，我在处理时应该有所不同。可以把这部分设计改进一下：改成只出前两道题，再集中出示“方块是三角的几倍”，然后提问：“这次是谁和谁比？”先排除圆形这个多余条件，然后让同桌讨论一下，再找学生回答。这样有引导，有缓冲，学生就能解决这个问题了。二是

在第五层次的提升挑战中，第一题是小狗有2个萝卜，小兔有3个2根，我当时提问“如果小兔子有这样的6份，小兔子的萝卜时小狗的几倍”时，学生没有理解我的意思，不知道以谁为1份。课下我反思这个问题，发现是自己表达的不准确导致的，我前面一直说的是1个几和几个几，没有说份数，所以学生不理解，我应该把问题变为：“如果小兔有6个2，它的萝卜时小狗的几倍？10个2,100个2呢？”学生就不会出错了。这也让我明白教师语言要严谨、要前后一致。《倍的认识》的教学设计及反思

《倍的认识》的教学设计及反思

内容：人教版小学数学第三册P76例2、例3

教材分析：“倍的认识”是第六单元“表内乘法”的教学内容，是学生学习完7的乘法的口诀的基础上进行学习的。学习掌握了“倍”的知识，为今后利用乘法口诀解决“一个数的几倍是多少？”及“一个数是另一个数的几倍？”等数学问题打下基础。

教学目标：

1、经历“倍”的初步形成过程，体验“一个数的几倍”的含义。

2、在形式多样的操作活动中，充分感知“倍”的具体含义，初步建立“倍”的概念，并利用倍的知识解决简单的实际问题。

3、培养学生的探索精神、动手操作能力和合作交流意识。

教学重点：建立倍的概念

教学难点：构建倍的思维模式

教学过程：

一、课前谈话

1、利用学生画几个几的作业，考一考学生。

2、拍一拍让学生拍出几个几

二、教学例2

由一双筷子引入

师：看老师手里拿的是什么？几双筷子？1双筷子有几根？是几个几？让学生比赛摆筷子

师：摆的时候要一双一双地摆，每一双之间有一定的间隔，让人们一下子就看出摆了几双。

师：你摆了几双？是几个几根？

师：如果把1双筷子2根小棒看作一份，

那么3双筷子就有这样的几份？

每一份都是2，是几个几？

3个2根也可以说成2的3倍。

这句话中有一个字很特别，是什么呢？

今天，我们就一起来学习——倍的认识

师：如果是4双筷子是几个几？也可以说成的倍。5双筷子呢？„„师：请同学们根据自己摆的同桌互相说一说，你摆了个根，也可以说成的倍。

同桌交流。

师指名学生个别说一说。

师：刚才我们通过摆小棒知到3个2根也可以说成2的3倍，那反过来说2的3倍就是几个几？

师：那2的4倍呢？

三、教学例3

师：我们对倍有了初步的认识，老师想考考你们了，敢接受挑战吗？活动一

第一行摆：○○○

第二行摆：

第二行摆几个呢？

指名一个学生上台摆。

师：你摆了几个几，你是怎么想的？

用什么方法计算？

师：你摆了几个几？为什么要这样摆？说说是怎么想的？怎样列式计算？活动三

师：如果我第一行添上一个圆片，现在是几个？

要使第二行还是第一行的3倍，要怎样摆圆片？

四、练习巩固

1、即时练习

完成“做一做”1，先让学生独立完成，再集体交流。

2、开放练习

师：老师送给同学2个笑脸，请你画出小旗，但画的小旗必须是笑脸的几倍。学生独立完成。在集体交流。

3、猜一猜

师：我拿同学的几副作品让大家猜一猜。

×××同学画的小旗是笑脸的5倍，猜一猜他画了几面小旗。

4、拍一拍

师：×××猜对了，老师为你鼓掌，老师拍了几次？你会拍出老师的1倍吗？

，请你拍出老师的4倍。

师再拍3次，让学生拍出老师的2倍。

师拍4次，让学生拍出老师的3倍。

师：你们也来考考老师吧？

五、小结

师：今天你学了什么？有什么收获？

师：今天我们学了倍的认识，其实倍就在我们身边，比如我们班8岁的同学请举手，老师的年龄是你们的4倍，猜一猜老师今年有几岁？谜底我们下节课再揭晓。倍的认识思辨

核心概念教学的不同路径

——从两堂“倍的认识”研究课辩起

主持人：陈洪杰

辩课：魏学兰张冬梅魏瑞霞李小玉刘晓萍

顾亚龙王海荣王爱华王静雅徐宁

整理：刘晓萍王静雅徐宁

一、教者说课

魏学兰：本节课我定了三个目标：一、通过操作，初步建立“倍”的概念，经历概念的形成过程，体会“一个数的几倍”的具体含义。二、让学生经历自主探索的学习过程，在操作和交流中获得成功的体验。最后一点是在观察、操作的基础上，培养学生的推理能力、语言表达能力。

基于以上目标，设计了以下教学环节：环节一，通过对比、分类，引导学生发现，学生摆的都用了老师的2个几根，从具体中抽象出2倍的概念。环节二，老师摆了一个正方形，学生照着老师的样子摆，让学生体会用了几个4根，就是老师的几倍。环节三是一个小变式练习，通过为阳阳改错，体会一份数也就是标准的重要性。环节四，老师摆不同的几根，学生摆的是老师的几倍不变，深化学生的思维和对倍的理解。在这个环节中，通过摆一摆、数一数、想一想，最后提升到算一算，慢慢地说或算出“一个数的几倍”这样的模型。然后是在练习中巩固“倍”。最后，带领学生到生活中找“倍”并初步认识“多倍”的问题。

陈洪杰：魏老师试图以操作活动，将倍的概念认识以及简单的求一个数的几倍问题都穿起来，让一个活动发挥多重教学效益，很有想法！

张冬梅：这堂课的第一版是这样的：首先从同样多引入，然后是3倍、6倍关系。接着我追问：你是怎么从图上一眼看出刚才

是3倍，现在是6倍的？学生有一个很粗浅的认识，圈出几份就是几倍。然后我提供一个变式：一份数不同，到底是2倍还是3倍？让学生关注一份数，圈几份不是随便圈的。之后和今天的一样：让学生猜红花的朵数，其实就是隐藏一份数。接着让学生感受变化，黄花的朵数是红花的几倍，让学生圈。最后安排练习。

后来一次在外上课，我发现已经学过倍的认识的学生，面对7朵紫花、56朵黄花求几倍的问题，都在7个7个地圈，没有一个孩子想到56里面包含8个

7。学过倍之后，学生达到从形到数的抽象了吗？没有！我今天要做的就是更多地帮助孩子实现从形到数的抽象。所以第一版，我让孩子摆圆片，只要求第二行的圆片个数是第一行的3倍。但今天的要求是：红圆片的个数是蓝圆片的3倍。这样一变，准备学具非常麻烦，为什么我还是改过来了？我期待孩子们能摆出变式的东西，不一定是整整齐齐的，而是从标准模式中走出来，走出形的束缚。当然，后来孩子们摆了，可能受之前老师展现的图形的影响，都摆成整齐划一的。所以我在黑板上学生摆的图形上，打乱了圆片的位置，追问是不是还是3倍关系。这个问题一抛出来，学生开始说“不对”，但之后静下心来，学生不用我提醒，就能从这么乱的图形中去数了，去找数量之间的关系了。我想，这才是倍的本质。

陈洪杰：我同意张老师对操作细节的改进！在有的倍的认识公开课中，有学生评价其他同学，会说“他没有圈好”“他没有摆整齐”，这样的话语恰恰说明学生没有理解倍是从“关系”层面上定义的，不受形的影响。

张冬梅：所以，第二版我就改变了：从研究2倍开始，3个小动物的花都有2倍关系吗？有！因为他们都是2份。之后抛出问题：它们的花片不一样，为什么都是2倍关系？其实这个问题是有难度的，要从不同中找相同。相同的是什么？红花是一份，蓝花是两份。正是这相同的东西才是倍的内涵，几倍就是包含了几个相同的一份数。这个环节正是孩子们对倍的认识的第一次转变。然后我保留了第一版中自己觉得精华的部分，几个来圈，猜一猜等。总之，我第二版的努力主要是指向帮助学生从形到数的提升。

二、百家争鸣

1.选择怎样的素材更符合学生的认知起点？

张冬梅：魏老师的课上有这样一道题：老师摆一个正方形，学生摆在下面的是4个三角形，学生摆的小棒数是老师的4倍，对吗？当时听到班上有很清晰很大声的回答：对！魏老师，您觉得产生这样一个场景的原因在哪里？

魏学兰：当时也有很多孩子小声说：不一定。其实在试讲的时候，这种情况是常见的。孩子的第一感觉就是三角形有4个，是4倍，他们只是考虑图形，没有考虑摆的小棒的根数。

张冬梅：既然试讲过程中已经发现，那么，你选择用正方形、三角形去表示这样的倍数，又让孩子们把图形转化成小棒的根数来思考，是否合适呢？

魏瑞霞：这个问题我来解释。魏老师第一次备课时，从孩子们喜欢的水果出发，爸爸摘了几个苹果，妈妈摘的是他的多少倍，类似于今天张老师使用的红花、蓝花。出现了什么现象呢？比如说把两个苹果看成一份，让孩子们照样子2个2个地圈一圈。试讲时，我们发现孩子们不是发自内心地把这几个看成一份，而是老师强加给孩子，要求他们看成一份。后来研读教材，发现人教版教材中使用小棒摆图形。一个正方形4根小棒，孩子会很自然地当作一个整体，当作一份，摆这样的2个、3个、4个正方形就很容易地看成两份、三份、四份。这样，孩子从心里接受了一份、两份、三份。正是基于孩子们已有的经验，我们才把学习素材改成了摆图形。这样促使学生的关注点落在两个量之间的比较上，又可以让学生经历从具体到抽象的过程，帮助学生理解和感悟“倍”概念的本质属性。

李小玉：我想问陈老师，第一个环节出示图形进行分类，孩子的认识只是局限在图形个数上，那么怎样从图形的个数上往根数上引导？如果你来设计这节课，你会怎么突破“倍”的本质？

陈洪杰：魏老师呈现多种情况，引导学生用“几个几”分类，这是一个小环节的概括，后面还有大环节的概括，这样的引入我很欣赏。但由图形个数到小棒根数，难度上可能是颠倒了，感知图形的个数比较简单。或许有两种处理方法，第一种是整堂课只用图形的个数，不涉及根数。第二种方法是直接用小棒，关注几根，或者用花片、圆片，关注几个。如果我设计这节课，我还是会用魏老师摆

小棒的这些素材来教学，聚焦在根数上，同时注意学生具体是怎么摆的。比如，在第三个环节，学生对相同倍数出现不同的摆法时要展开，先让学生来说一说想法，然后追问其他学生看不看得懂？再追问不同的摆法之间有什么区别和联系？在不同摆法的联系当中，凸显“倍”的本质。

2.教材的处理：“乘法倍”还是“除法倍”？

刘晓萍：我觉得两堂课的侧重点是不一样的。魏老师侧重的是“几个几”和倍的关系，而张老师侧重的是“一份数”和“份”的多少。现在的教材淡化了份数、一份数，我们都不敢说了，所以魏老师最初想用圈苹果来告诉孩子们一份数的概念，后来改成正方形，是考虑学生更容易把正方形当作一个整体来看。而张老师引导孩子们圈一份来看成一个整体。面对教材，我们该如何来处理这样的问题？

张冬梅：概念教学应该指向概念的本质与内涵，他强调的是概念意义的系统建构。所以我觉得说“份数”是没有问题的，你用份数去让孩子理解还是用几个几去理解，讲的都是一件事。

陈洪杰：人教版的“倍”在乘法的认识后面，苏教版是在除法的认识后面。定位于用乘法来理解和定位于用除法来理解，在教学上有什么不一样的地方吗？魏老师，您是怎么思考的？

魏学兰：其实备课期间，我们一直在“乘法倍”和“除法倍”之间摇摆不定。最初的教案设计是除法倍，魏学兰老师深入研读教参后，认为本节课注重的是倍和几个几的联系，所以今天一直在强调几个几。我们设计的初衷是基于孩子们对于乘法的认识，求“几个几是多少”能用乘法来解决，看到几个几能够联想到乘法。所以到最后摆小棒的环节，不让他们摆了，而是让他们说。我感觉我们对几个几和倍的概念建立关系还是比较成功的。

顾亚龙：用乘法还是用除法，其实是一个硬币的正反面。从乘法方面可以理解，从除法方面也能理解。所以我们不要过多纠

缠于倍的认识是在乘法以后学，还是在除法以后学。这节课是概念课，最后用乘法算还是用除法算，我觉得没有很大问题，关键是概念课怎样去讲解。

3．概念教学要让学生说什么？怎么说？

张冬梅：魏老师的课上让学生说小棒数，有的学生说得很拗口。我觉得，概念课上，我们不要太在乎学生怎么说。很多时候，这堂课，老师很强调学生说，学生会说，他就对概念理解了吗？它即使说得不太规范，是否影响他对概念本质的理解？我觉得，不管是用份数来做，还是用其他的，只要是指向概念的本质与内涵就不会错。

陈洪杰：概念教学中，让学生规范地说是教学中常见的误区。其实，不要太强调让学生一定用规范的话去表达，而是要注意学生对背后意义的掌握。注意！今天课上，如果是学生自己说出一份、两份、几个几，保留学生的话语甚至板书，但教师不要去抠字眼。

张冬梅：把概念说得很死板、很教条，像规范那样练，我一直是很反对的。但是在课堂上该说的要让学生说，说什么？辨析出概念的本质！“为什么上面一个正方形，下面四个三角形，就不是4倍”，“为什么小猫、小狗、小猪的花片不一样，仍然是2倍关系”，这些问题让他们放开说。我觉得这个说都是孩子们用自己的个性化语言去说。现炒现卖，这都是可以的。

陈洪杰：如果你的教学目标定位于学生说出书上的概念，不要着急，把学生说的、作业纸上写的呈现出来，把课本上的也呈现出来，学生自己会发现课本上的话好在哪里。学生说得再啰嗦，也是属于他自己的，是有意义的。学生要走的是一段路，我们不要把这条路缩短。

魏瑞霞：我非常同意，小学数学的概念课，鼓励学生用个性化的语言来表达自己的想法。这堂课，它是关于“倍”的认识的起始课，它为以后学习分数、比等概念打下了基础。所以我还是支持孩子先自己说，他说的是自己内心的想法和表达，学生心里怎么想的就怎么说。

4.“1倍”要不要处理？怎么处理？

顾亚龙：今天引进“倍”，学生的起点在哪里？我觉得“倍”深层上是“份”的另一种说法。三根小棒为一份，第二行有这样的三份，我们可以说三根小棒为一份，还可以说三根小棒为一倍。由“份”到“倍”换了个说法，孩子理解起来也不抽象。他以后圈的时候，几个一圈就是几个一份。过去我们习惯几个一份地说，现在换成几个一倍。1份就是1倍，有这样的几份就是几倍。我觉得着力点还是“1倍”，“1份”是个标准，理解了谁是一倍，才能承接到几倍。

魏瑞霞：“倍”指的是两个量之间的关系，在教学当中，说三根小棒看成“1份”是绝对没有问题的，但能不能单独地说这三根小棒就是“1倍”？

顾亚龙：“倍”是比出来的，“1倍”是谁和谁比？当两个量同样多时，下面的量是上面量的“1倍”，当一个量时，自己就是自己的“1倍”。后面们讲“增加几倍”和“增加到几倍”的时候，学生总是转不过弯来，就是对“1倍”包含不包含在里面不清楚。所以“1倍”这个概念是个基础，非常关键。

魏瑞霞：在备课的过程中，有的老师是从“1倍”引入的，有的老师是从“几倍”引入的，顾老师您是怎么理解的？

顾亚龙：我觉得从“1倍”引入，还是从“几倍”引入，只是个人的思路不一样。但从由简单到复杂的认知规律来讲，知道“1倍”，在这个基础上逐渐添加，可以形成“多倍”。再往深层讲，就是前面讲的基于乘法来讲还是基于除法来讲了。把12根小棒3根分一份，一共能分成4份，其中的1份叫1倍，4份是1份的4倍，就是基于除法的。如果基于乘法，就是3根小棒为一份，有几个这么多就是几倍。

魏瑞霞：我们认为，“1倍”是一种特殊的倍。查阅各版本的教材，也发现均从“几倍”切入。同时，各版本教材的“乘法意义”也都是从“几个几”入手，在学生理解了“几个几”的意义后，再作为“乘法意义”的延伸和拓展来学习有关“1的乘法”和“0的乘法”。所以，我们觉得还是应该从“几倍”引入。

顾亚龙：我觉得大家可以追问一个细节，张老师的课上有学生出现了“0倍”，为什么？“0倍”背后是学生从比多比少的方面去理解，同样多之后没了，没了才说是“0倍”，他理解的“倍”是多出来的部分。

王海荣：是的！学生认为同样多就不存在倍数关系了，就是0倍。不过，不讲几个几，学生容易混乱，教材中不讲“份”，我也不讲份，细想一下张老师在课上讲“1份数”还是很好的，让我眼前一亮。

陈洪杰：顾老师的意思是用“份”支撑“倍”，用“1倍”支撑“多倍”。魏老师的意思是先以“几个几”支撑“多倍”，然后由一般到特殊理解“1倍”。理解不同、目标不同，教学设计的路径也不同。我觉得可以求同存异。另外，今天两节课都从“2倍”引入，但后面都有聚焦“1倍”或“1份”的环节，是不是也是殊途同归的体现？

5.如何让操作更有思维含量？

王爱华：魏老师的课，开始的时候用课件呈现：老师摆一个三角形，亮亮摆了2个三角形，接着是菱形、六边形、五角星，这样出示，没有让学生看到用小棒摆三角形的过程，到后来孩子的语言上和思维上都有些混乱。

陈洪杰：如果聚焦小棒根数，怎么重建操作环节？

王爱华：我会让学生操作，用投影，老师先摆一个三角形，学生跟着摆。让学生能看出来，去关注小棒的根数而不是图形。同时，我会从1倍引入，孩子对比多比少、同样多的理解已经很深入，它和它同样多，它就是它的1倍，那么如果它是它的2倍又是什么样子呢？让孩子自己想想，说出自己的想法。

陈洪杰：老师先摆一个三角形，学生跟着摆，这个操作又和从“1倍”引入相结合，非常好！这个也更好地回答了前面李小玉老师的追问。

徐宁：在摆小棒的时候，老师摆了一个正方形，学生继续摆，在试讲中，有的同学把这三个正方形连在一起摆，在正方形的个数上存在倍数关系，在根数上是不存在的。

王静雅：像连在一起摆的情况，就不是按照教师的设计思路走，所以魏老师强调：请同学们照着老师的样子摆，看谁在规定的时间内摆得又快有规范。这里的“规范”就是不要出现连在一起的正方形。

张冬梅：“看谁摆得又快又规范”，我觉得不要以“快”来要求学生。陈洪杰：看来，操作也会带来操作的问题，需要教师的引领。还有一个细节，张老师的课上，PPT呈现“圈”之后，我去看学生怎么圈，都是像PPT那样圈的。但在魏老师的课上，却出现了很多学生创造的东西。

张冬梅：其实除了圈以外，还可以用竖线分离。

陈洪杰：对！只要学生的思维是正确的，我们要允许学生操作的多样化。

三、上重建课的打算

魏雪兰：今天课的第三个环节，老师摆了2根，要求学生摆老师的5倍时，有几个孩子摆了5个一根。这几个孩子对倍的一份数的理解还不是很透。如果课堂上我能够抓住这个环节，作为生成资源展示给大家，对这几个孩子和全班来说，应该更能加深他们对倍的理解。如果重建的话，我们会努力关注每一个孩子的错误，把五花八门的错误集中到公开课上，根据出现的问题进行指导。

另外，我一定要让学生说的一字不差吗？我一定要让学生说的多准确吗？他只要能表述出自己的思维过程，我的目的就达到了。如果我再来上的话，我不会要求孩子说大人的话，儿童的语言表达出自己的想法，就是值得尊重的。

张冬梅：再上这堂课，我怎样给孩子一个更大的空间、更大的自由？我可能会一开始就给孩子一个问题：对于“倍”你们知道什么？说说你对“倍”的认识。

然后从孩子提出的一些问题开始，逐步深入进行研究。当然我要让孩子能够理解概念的内涵，我心里还得有数，然后从开放的课堂里面，把概念的内涵诠释清楚。

陈洪杰：两位老师的重建打算都指向给孩子更大的自由，这对教师的教学艺术提出了更高的要求。期待能看到两位老师更精彩的“倍的认识”，也感谢所有在座教师两个半小时的坚守！谢谢大家！基于已有经验的意义关联——“倍的认识”教学反思与改进

基于已有经验的意义关联

“倍的认识”教学反思与改进

江苏无锡市江南实验小学顾晓东

“倍的认识”是苏教版数学二年级下册的教学内容。教

结合实际事物感知到“倍”的大致意思，进而形成一种模糊

材中“倍”的概念是依据乘除法知识中“几个几”“份”的概念扩展而来的，通过两个不相等数量的比较，由“份”引出

“倍”，使学生初步认识“倍”的含义。由于学生已经具备了认识“倍”的基础，所以教学中帮助学生建立“倍”的概念是

核心任务。在一次校本教研活动中，我经历了对本课教学的两次实践与反思，力图关注学生的学习基础，激活他们

的自我认识。通过分析，大家认识到学生之所以会形成这

样的模糊认识，是因为学生已经学过乘法的意义，头脑中

已经有了“几个几”的概念，当他听到别人说“倍”这个词

时。会认为是针对“几个几”情况而言的，因而在脑海里便

形成了“倍”和“几个几”初步意义的联系。这就是学生已有

的认知基础。

的已有认知，诱发认知冲突，帮助学生主动建构数学概念，

实现新旧知识的意义关联。

在这样的学情基础上，“倍的认识”的教学究竟如何展开呢？显然，上述教学过程忽视了学生的已有基础，单纯采用了教师示范讲解、学生模仿记忆的学习方式，并不值得推崇。既然学生头脑中或多或少已有了一些关于“倍”的模糊的感性经验，我们可试图着力激活学生的已有经验，沟通知识之间的联系，使他们真正明晰概念。

初次教学：

１．呈现主题图中几种颜色的花：先出示蓝花２朵，黄花

６朵。

２．师示范讲授：把２朵蓝花看作Ｉ份，黄花有几个２朵？大家跟着老师一起来圈

一

再次教学：

１．以旧引新，激活经验。

圈。

３．师进行归纳并板书要点内容：黄花有３个２朵，黄花

的朵数是蓝花的３倍。

师：两种花的朵数有怎样的

关系？

４．师引导学生回顾：刚才是怎么得

出“黄花的朵数是蓝

花的３倍”的？

生：相等。师：现在呢？

生．：黄花比蓝花多３多。生：蓝花比黄花少３朵。

先让学生同桌仿照板书内容要点互相说说，然后指名

学生讲述，至此便算是完成了对“倍”的第一次认识。

５．师引导学生模仿刚才的过程和方法比较２朵蓝花与

８朵红花的关系，得出“红花的朵数是蓝花的４倍”这一结

论。

生：黄花是蓝花的２倍。师：“倍”这样的说法以前听说过吗？那今天我们就来研究“倍”。２．实践操作，外显经验。师：说“２倍”的这位同学是怎样想的呢？请他上台把黄花和蓝花分一分、摆一摆，让其他同学一眼就看出它们之

６．师提问引发类比：同样是２朵蓝花，怎么黄花是它的

３倍，而红花却是它的４倍呢？

７．师引导学生交流后归纳，进一步帮助学生建立“倍”的概念：把一种花的朵数看成１份，另一种花有这样的几

份，就是它的几倍。

间是２倍的关系。师：黄花是蓝花的２倍，你们都能看出来了吗？怎么看

出来的？同桌交流一下想法。

讨论与改进：

上述教学中，教师通过示范操作、讲解和学生仿说练习，帮助学生认识“倍”的意义。这也是许多教师在教学本课时的一种惯用方法，其教学设计思考的逻辑起点为“倍”

是一个全新的、十分重要的数学概念，应由教师清晰地示范并授予学生，使学生学会准确地表述“倍”的含义。在研讨中，大家围绕“帮助学生认识和建构‘倍’的概念是由教师率先示范、学生尝试模仿，还是引导学生激活经验、主动建构”这一主题进行课前学情调研，并进行充分讨论，逐渐达成一致认识。其实，学生对“倍”并不是一无所知的。我们从前测访谈了解到，学生在日常生活中大都有机会听到别人关于“倍”的话语，他４ｆ－Ｊ￣够从别人的对话中

一

生：蓝花是３朵，黄花可以分成２个３朵，就是蓝花的

２倍。

生：蓝花有３朵，黄花有这样的２个３朵，就是蓝花的２

倍。

师：说得

真好！像这样，蓝花３朵，黄花的朵数有２个３

朵，我们就说黄花的朵数是蓝花的２倍。

３．变式感知，强化经验。

师：现在红花和蓝花有什么关

系？你又是怎么想的？

曾令华

教学是一门艺术。第斯多惠也说过：“教学的艺术不在

于知识的传授，而在于激励、唤醒和鼓舞。”曾听过黄丽娟老师执教“小数的初步认识”一课，下课铃声虽然响起了，但学生喜悦兴奋的面庞，让人知道他们意犹未尽。黄老师用数学的理性之美和教学的情感之美感染、

师：小数的用处很多，大家有没有发现？我们身边、周围

存在着很多小数，能把你课前收集到的生活中的小数告诉

大家吗？

生：商场中打折的衣服上面标有５．２５折。生：：我们家的电话费单上有小数。师：能读一读吗？同时说说表示什么意思。

生３：十五点五五元，表示电话费是１５元５角５分。

激励着学生，让我为之感叹：新课程、新理念，让课堂如此美丽！我想留住这份美丽和精彩。故撷取其中几个精彩的教学片断，与大家回味、共享。精彩一：从科学世界回归生活世界，感受数学与生活的

生：注射器的针筒上有小数，如０．５毫升、１．５毫升等，

它表示药水的多少。

密切联系

师：星期天，小红和妈妈一起去超市购物，可她却看不

生：住房面积中也有小数。

懂商标上的价格，想请小朋友们帮她认一认这些价格，你们

愿意吗？

【赏析：面向学生、面向社会、面向生活，是世界各国数

学课程改革的核心问题。因为学生面对的不是科学世界，而是生活世界，他们每天在与大自然和他人的接触中积累了

一

生：愿意。

定的生活经验，

小数对他们来说并不陌生。所以，黄老师

没有把学生看做是容器向其灌输，没有将学生看作是白纸

４．比较分析，归纳含义。比较：为什么蓝花都是３朵，而黄花是蓝花的２倍，红

花却是蓝花的３倍呢？

设计教学过程，引导学生运用己有知识经验来认识概念的

本质，建立新旧概念间的联系。针对“倍”的意义理解，就是

要让学生对乘法意义中的“几个几”与新知“几倍”形成关联。学生对一个数学概念是否理解，可以从一些显性和隐性的表现中加以判断，如能否动手操作展现概念原型、能否

学生在交流中逐渐明确：把３朵蓝花看作１份，别的花有几个３朵，就是蓝花的几倍。

５．巩固认识，类比提升。师创设小动物摘水果的情境。依次出现小狗摘了２

借助语言直接说出概念的意义、能否把握要点拓展概念的

外延等。从上述改进教学过程看，教师关注了学生对数学概

个苹果和４个梨、小兔摘了４个苹果和８个梨、小猫摘了５个苹果和１０个梨等信息，让学生分别说说其中的倍数关

系。

念由外而内、由内而