2021年福建省福州市蕉城中学高一数学理期末试题含解析

2021年福建省福州市蕉城中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面，直线，且有，则下列四个命题正确的个数为(

)①若∥则；②若∥则∥；③若则∥；④若则；A．

B．

C．

D．参考答案：A2.设△ABC的一个顶点是A（3，－1），∠B，∠C的平分线方程分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是

（

）

A．y=2x+5

B．y=2x+3

C．y=3x+5

D．参考答案：A3.圆x2+y2﹣6x﹣2y+3=0的圆心到直线x+ay﹣1=0的距离为1，则a=（）A． B． C． D．2参考答案：B【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【分析】圆x2+y2﹣6x﹣2y+3=0即（x﹣3）2+（y﹣1）2=7的圆心（3，1），再利用点到直线的距离公式即可得出结论．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣2y+3=0即（x﹣3）2+（y﹣1）2=7的圆心（3，1）到直线x+ay﹣1=0的距离d==1，∴a=﹣．故选：B．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A． B． C．12 D．参考答案：B【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】原式利用二次根式性质化简，再利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算即可得到结果．【解答】解：∵平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，∴|+2|=====2，故选：B．5.如图，，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.

终边与坐标轴重合的角的集合是

(

)A.{|=k·360°，k∈Z}

B.{|=k·180°+90°，k∈Z}C.{|=k·180°，k∈Z}

D.{|=k·90°，k∈Z}参考答案：D略7.已知为第二象限角，，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.图中阴影部分表示的集合是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.（5分）在区间（0，1）上单调递减的函数是（） A． y= B． y=log2（x+1） C． y=2x+1 D． y=|x﹣1|参考答案：D考点： 函数单调性的判断与证明．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 运用常见函数的单调性，即可得到在区间（0，1）上单调递减的函数．解答： 对于A．函数y在点评： 本题考查函数的单调性的判断，考查常见函数的单调性，考查判断能力，属于基础题．10.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是

()A．

B．

C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则（CUA）∩B＝________．参考答案：{6,8}

12.已知定义域为[1，2]的函数f（x）=2+logax（a＞0，a≠1）的图象过点（2，3），若g（x）=f（x）+f（x2），则函数g（x）的值域为 ．参考答案：[4，]【考点】对数函数的图像与性质；函数的值域．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）的图象过点（2，3），代入可得实数a的值，再确定g（x）的定义域，最后根据单调性求函数值域．【解答】解：∵f（x）=2+logax的图象过点（2，3），∴3=2+loga2，即loga2=1，解得a=2，又∵g（x）=f（x）+f（x2）=4+3log2x，且f（x）的定义域为[1，2]，∴g（x）的自变量x需满足，解得x∈[1，]，又g（x）在x∈[1，]上单调递增，所以g（x）min=g（1）=4，g（x）max=g（）=，因此，函数g（x）的值域为[4，]，故填：[4，]．【点评】本题主要考查了函数解析式和定义域的求法，以及应用单调性求函数的值域，忽视g（x）的定义域是本题的易错点，属于中档题．13.一直线过点，且在两坐标轴上截距之和为，这条直线方程是

▲．参考答案：或

略14.设，若，则

。参考答案：略15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

．参考答案：6由三视图可知，该几何体为直三棱柱，其体积为

16.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号)参考答案：①②④用正方体ABCD-A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．17.已知直线y=mx与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是．参考答案：（，+∞）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】当m≤0时，不满足条件；当m＞0时，可得直线y=mx和函数y=x2+1（x＞0）的图象有2个交点，即方程mx=x2+1在（0，+∞）上有2个实数根根，可得，由此解得m的范围．【解答】解：作出f（x）的图象：当m≤0时，直线y=mx和函数f（x）的图象只有一个交点；当m＞0时，直线y=mx和函数y=2﹣的图象只有一个交点，∴直线y=mx和函数y=x2+1（x＞0）的图象有2个交点，即方程mx=x2+1在（0，+∞）上有2个实数根．∴，解得m＞，故答案：（，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量=（3，2），=（﹣1，2），且·=·＞0，||=3．（Ⅰ）求向量的坐标；（Ⅱ）求|3﹣|的值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）设出的坐标，根据题意列出方程组，求出解即可；（Ⅱ）根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出模长即可．【解答】解：（Ⅰ）设=（x，y），∵=（3，2），=（﹣1，2），且=＞0，||=3．∴，解得，∴向量的坐标为=（0，3）；（Ⅱ）∵=（0，3），∴3﹣=3（3，2）﹣（0，3）=（9，3）；∴|3﹣|==3．19.已知函数（1）求函数f(x)的定义域；（2）比较f(8)和f(lg3)的大小.（3）判定并证明f(x)的奇偶性；参考答案：（1）定义域：4分（2）

故

无计算过程只写对结果给1分……8分（3）偶函数（证明略）

…………12分20.已知关于x的一元二次方程,求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；

参考答案：=2k+8>0

21.数列{an}中，，且．（1）求a3，a4；（2）求数列{an}的通项an；（3）若数列{bn}的前n项和，求数列{anbn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1），且．可得a3=．同理可得a4．（2）由．可得：an+2﹣an+1=（an+1﹣an），a2﹣a1=．利用等比数列的通项公式可得：an+1﹣an，再利用an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1即可得出．（3）数列{bn}的前n项和，n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1．n=1时，a1=S1=，上式也成立．可得bn=．anbn=×（2n﹣1）﹣（2n﹣1）×．设{（2n﹣1）×}的前n项和为An，利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）∵，且．∴a3==．a4==37．（2），且．由．可得：an+2﹣an+1=（an+1﹣an），a2﹣a1=．∴数列{an+1﹣an}是等比数列，首项与公比都为．∴an+1﹣an=，∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=+…++=+=﹣．（3）数列{bn}的前n项和，∴n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1==．n=1时，b1=S1=，上式也成立．∴bn=．anbn=×（2n﹣1）﹣（2n﹣1）×．设{（2n﹣1）×}的前n项和为An，则An=+5×+…+（2n﹣1）×．=++…+（2n﹣3）×+（2n﹣1）×，∴=+2×+…+﹣（2n﹣1）×=+2×（2n﹣1）×，可得An=10﹣（6n+15）×．∴数列{anbn}的前n项和Tn=﹣10+（6n+15）×=﹣10+（6n+15）×．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=λ?2x﹣4x，定义域为[1，3]．（1）若λ=6求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）在区间[1，3]上是增函数，求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】复合函数的单调性；函数的值域；函数单调性的性质．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）利用换元法，转化为二次函数，利用配方法可求函数f（x）的值域；[来源:Zxxk.Com]（2）求导函数，转化为f′（x）=λ2x?ln2﹣4x?ln4≥0在[1，3]上恒成立，即可求得结论．【解答】解：（1）设t=2x，∵