2021-2022学年福建省漳州市吴川市第二中学高三数学文期末试题含解析

2021-2022学年福建省漳州市吴川市第二中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为y=sinx，则y=sin（ωx+φ）图象上离y轴距离最近的对称中心为(

) A．（，0） B．（π，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）参考答案：C考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型；三角函数的图像与性质．分析：函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移个单位，得到函数y=sin的图象；再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（ωx+ω+φ）的图象；由解析式相同求出ω、φ的值，然后根据正弦函数的对称中心求出函数y=sin（ωx+φ）的对称中心，进而求出离y轴距离最近的对称中心．解答： 解：将函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移个单位，得到函数y=sin的图象；再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（ωx+ω+φ）的图象；∴函数y=sin（ωx+ω+φ）的图象与函数y=sinx的图象相同∴，φ=0解得：ω=2，φ=∴y=sin（ωx+φ）=sin（2x）由2x=kπ得2x=k（k∈Z）当k=﹣1时，x=﹣∴离y轴距离最近的对称中心为（﹣，0）．故选C．点评：本题的易错点是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移个单位，得到函数y=sin的图象，而不是函数y=sin的图象；还有离y轴距离最近的对称中心易错求成（）．2.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h的值为（

）A．

B． C．

D．参考答案：B略3.某几何体的直观图如图所示，AB是⊙O的直径，BC垂直⊙O所在的平面，且，Q为⊙O上从A出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧的长为x，CQ的长度为关于x的函数f(x)，则的图像大致为（

）

A．

B．

C.

D．参考答案：A如图所示，设，则弧长，线段，作于当在半圆弧上运动时，，，即，由余弦函数的性质知当时，即运动到点时有最小值，只有选项适合，又由对称性知选，故选A.

4.平面α与球O相交于周长为2π的⊙O′，A、B为⊙O′上两点，若∠AOB=，且A、

B的球面距离为则OO′的长度为

（）

A．1 B．

C．π

D．2参考答案：答案：A5.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B设水深为尺，则，解得，即水深12尺.又葭长13尺，则所求概率,故选B.6.能使得复数位于第三象限的是（

）A.为纯虚数 B.模长为3C.与互为共轭复数 D.参考答案：A【分析】分析四个选项中的参数，判断是否能满足复数是第三象限的点.【详解】由题意可知，若复数在第三象限，需满足，解得：，A.是纯虚数，则，满足条件；B.，解得：，当不满足条件；C.与互为共轭复数,则，不满足条件；D.不能满足复数在第三象限，不满足条件.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.7.如图，在△ABC中，，，若，则的值为(

)A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2参考答案：B【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可．【解答】解：∵=+，==（﹣）=﹣=×﹣=﹣，∴=+（﹣）=+；又=λ+μ，∴λ=，μ=；∴=×=3．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，是基础题目．8.正三棱锥底面边长为,侧棱与底面成角,则正三棱锥外接球面积为 （）A． B． C． D．参考答案：B略9.已知两点M（0，0），N（），给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0；

②x2+y2=3；

③=1；

④=1.在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是A.①③

B.②④

C.①②③

D.②③④参考答案：D10.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是

(

)A.l∥α

B．l⊥α C．l与α相交但不垂直

D．l∥α或lα参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____参考答案：212.已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是______．参考答案：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：s2=×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．13.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k(其中k?{5,6,7,8,9})的概率是，则k=

▲

．参考答案：714.在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2．则函数f（x）=（1⊕x）?x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于

（其中“?”和“﹣”仍为通常的乘法和减法）参考答案：6【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据题中给出的定义，分当﹣2≤x≤1时和1＜x≤2时两种情况讨论，从而确定函数的解析式．结合一次函数和三次多项式函数的单调性分别算出最大值，再加以比较即可得到函数f（x）的最大值．【解答】解：①当﹣2≤x≤1时，∵当a≥b时，a⊕b=a，∴1⊕x=1，2⊕x=2∴（1⊕x）x﹣（2⊕x）=x﹣2，可得当﹣2≤x≤1时，函数f（x）=（1⊕x）?x﹣（2⊕x）的最大值等于﹣1；②当1＜x≤2时，∵当a＜b时，a⊕b=b2，∴（1⊕x）x﹣（2⊕x）=x2?x﹣（2⊕x）=x3﹣（2⊕x）=x3﹣2，可得当1＜x≤2时，此函数f（x）=（1⊕x）?x﹣（2⊕x）当x=2时有最大值6．综上所述，函数f（x）=（1⊕x）?x﹣（2⊕x）的最大值等于6故答案为：6【点评】本题给出新定义，求函数f（x）的最大值．着重考查了对新定义的理解和基本初等函数的性质，考查了分类讨论的数学思想和分析解决问题的能力，属于中档题．15.若函数存在零点，则m的取值范围是__________.参考答案：略16.已知，向量与的夹角为，，则等于______．参考答案：略17.数列是公差不为0的等差数列，且，则参考答案：在等差数列中，由得，即，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求；（2）若，求正数的取值.参考答案：解：（1）由，得．（II）．由，得，又，所以，所以略19.在△ABC中，，且，（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求△ABC的面积.参考答案：解：（Ⅰ）由，得

整理得解得

……….7分（Ⅱ）由余弦定理得：即

解得

……………..12分略20.已知双曲线,(＞0，＞0)左右两焦点为、，P是右支上一点，，于H，，．（1）当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率的取值范围；（3）当取最大值时，过，，的轴的线段长为8，求该圆的方程．参考答案：由于，所以，于是，，（1分）由相似三角形知，，即，即，（2分）∴，，．（1）当时，，∴．（3分）所以双曲线的渐近线方程为．（4分）（2），在上为单调递增函数．（5分）∴当时，取得最大值3（6分）；当时，取得最小值．（7分）∴，∴．（8分）（3）当时，，∴，∴．（9分）∵，∴是圆的直径，圆心是的中点，∴在轴上截得的弦长就是直径，∴．（10分）又，∴，，，．（11分）∴，圆心，半径为4，故圆的方程为．（12分）21.已知f（x）=，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：分类讨论；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f（x）的导数，求切线方程可得切线的斜率和切点坐标，解方程可得a，b；（2）由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x﹣），即有2lnx﹣m（x﹣）≤0，令h（x）=2lnx﹣m（x﹣），求出导数，对m讨论，分①当m=0时，②当m≤﹣1时，③当﹣1＜m＜0时，④当0＜m＜1时，⑤当m≥1时，判断h（x）在x≥1时的单调性，由恒成立思想即可得到m的范围．解答： 解：（1）f（x）=ax+，导数f′（x）=a﹣，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0，可得f′（1）=2，f（1）=0，即a﹣b=2，a+b=0，解得：a=1，b=﹣1；（2）f（x）=x﹣，由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x﹣），即有2lnx﹣m（x﹣）≤0，令h（x）=2lnx﹣m（x﹣），则h′（x）=﹣m（1+）=，①当m=0时，h′（x）=＞0恒成立，即h（x）在（1，+∞）上单调递增，即有h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；若m≠0，令△=4﹣4m2=4（1+m）（1﹣m），②当m≤﹣1时，△≤0恒成立且﹣m＞0，即有﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立即h′（x）≥0恒成立，即h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；③当﹣1＜m＜0时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），由韦达定理得x1?x2=1＞0，x1+x2=＜0，即x1＜x2＜0，即有当x≥1时，﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立，即h′（x）＞0恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；④当0＜m＜1时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），0＜x1=＜1，x2=＞1即有0＜x1＜1＜x2，即h（x）在（1，x2）单调递增，即有当x∈（1，x2）时，h′（x）＞0则h（x）在（1，+∞）上单调递增，即有h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；⑤当m≥1时，△≤0且﹣m＜0，即有h′（x）≤0恒成立，h（x）在[1，+∞）上单调递减，则h（x）≤h（1）=0，合题意．综上所述，当m∈[1，+∞）时，