2021-2022学年广东省江门市井根长塘华侨中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年广东省江门市井根长塘华侨中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为：（

）A.15.5尺 B.12.5尺 C.10.5尺 D.9.5尺参考答案：A【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.【详解】从冬至起，日影长依次记为，根据题意，有，根据等差数列的性质，有，而，设其公差为，则有，解得，所以冬至的日影子长为尺，故选A.【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.2.已知方程﹣=1表示椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，+∞） D．（﹣2，﹣）∪（﹣，﹣1）参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的标准方程，分别讨论焦点的位置即可求得实数m的取值范围．【解答】解：由﹣=1转化成标准方程：，假设焦点在x轴上，则2+m＞﹣（m+1）＞0，解得：﹣＜m＜﹣1，当焦点在y轴上，则﹣（m+1）＞2+m＞0，解得：﹣2＜m＜﹣，综上可知：m的取值范围（﹣2，﹣）∪（﹣，﹣1），故选：D．3.函数的最小正周期是

A．

B．

C．

D．参考答案：C根据正切函数的周期公式可知最小正周期为，选C.4.若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数为

（

）A．3 B．4 C．6 D．8参考答案：C5.三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，高为，底面是正三角形，若P是中心，则PA与平面ABC所成角的大小是

A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.设命题p：，，则为（

）A． B． C．

D．参考答案：D由已知得：命题：，，命题：7.已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是

（）A．24

B．8

C．

D． 参考答案：B：∵∥，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化为2x+3y=3，

∴=当且仅当2x=3y=时，等号成立。∴的最小值是8．故选：B．8.“”是“”的 （

）A．充分不必要条件；

B．必要不充分条件；C．充要条件；

D．既不充分也不必要条件.参考答案：A9.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m},AB＝A,则m=（

）A.0或

B.0或3

C.1或

D.1或3参考答案：B10.在双曲线：中，，分别为的左、右焦点，为双曲线上一点且满足，则（

）A．108 B．112 C．116 D．120参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积的最大值为_________.参考答案：设,则在中,由余弦定理有,所以四边形面积,所以当时,四边形ABCD面积有最大值.点睛:本题主要考查解三角形,属于中档题.本题思路:在中中,已知长,想到用余弦定理求出另一边的表达式,把四边形面积写成这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当时,四边形面积有最大值.12.某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥最长的棱为_________．参考答案：3由三视图得到该几何体如图，CD=1，BC=，BE=，CE=2，DE=3；所以最大值为3，故最长边为DE=3；故答案为：3．

13.已知一个球的内接正方体的棱长是2，则这个球的表面积是

参考答案：答案：

14.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出双曲线的一个焦点和一条渐近线，运用点到直线的距离公式，即可得到c=2b，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可计算得到．【解答】解：设双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线为y=x，则===b=×2c，即有c=2b，即有c=2，即有3c2=4a2，即有e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．15.设，若关于的不等式有解，则参数的取值范围为________．参考答案：[0,3]16.（几何证明选讲选做题）如图5，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB=3，CD=1，则=

。参考答案：略17.已知函数是上的增函数.当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点的坐标为

.参考答案：【知识点】单元综合B14由

得.是上的增函数，在上恒成立，即在上恒成立。设，，即不等式在上恒成立.设，因为，所以函数在上单调递增，因此。，即。又，故。的最大值为3.故得，。将函数的图像向上平移3个长度单位，所得图像相应的函数解析式为，。由于，所以为奇函数，故的图像关于坐标原点成中心对称。由此即得函数的图像关于点成中心对称。这表明存在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。【思路点拨】利用导数求出单调性，在求出解析式的坐标。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某地区上年度电价为0.8元/kW?h，年用电量为akW?h，本年度计划将电价降到0.55元/kW?h至0.75元/kW?h之间，而用户期望电价为0.4元/kW?h经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）．该地区电力的成本为0.3元/kW?h．（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益=实际用电量×（实际电价﹣成本价））参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）先根据题意设下调后的电价为x元/kw?h，依题意知用电量增至，电力部门的收益即可；（2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．【解答】解：（1）：设下调后的电价为x元/kw?h，依题意知用电量增至，电力部门的收益为（2）依题意有整理得解此不等式得0.60≤x≤0.75答：当电价最低定为0.6元/kw?h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．19.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥DABC的表面积．参考答案：(1)证明∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥BD，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.---------------------------------------------7分(2)解由(1)知，DA⊥DB，DC⊥DA，∵DB＝DA＝DC＝1，DB⊥DC，∴AB＝BC＝CA＝，从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，S△ABC＝×××sin60°＝，∴三棱锥DABC的表面积S＝×3＋＝.----------------15分20.（14分）已知且不等式的解集为

（1）求的解析式；

（2）设数列满足：；

（3）设，数列的前n项和为，求证：

参考答案：解析：（1）……1分不等式两边乘以整理得：（1）……2分…………4分（2）又………………6分所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故………………８分（3）

………………11分

………………14分21.（本小题满分12分）在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．参考答案：本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力．解析：（Ⅰ），．又，．（Ⅱ），边最大，即．又，角最小，边为最小边．由且，得．由得：．所以，最小边．22.（本题15分