2022-2023学年四川省成都市浦江中学高三数学文联考试卷含解析

2022-2023学年四川省成都市浦江中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A．3 B．4 C．6 D．7参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=5时，满足条件n＞4，退出循环，输出S的值为6，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=3，n=0不满足条件S≥5，S=6，n=1，不满足条件n＞4，执行循环体，满足条件S≥5，S=3，n=2，不满足条件n＞4，执行循环体，不满足条件S≥5，S=6，n=3，不满足条件n＞4，执行循环体，满足条件S≥5，S=3，n=4，不满足条件n＞4，执行循环体，不满足条件S≥5，S=6，n=5，满足条件n＞4，退出循环，输出S的值为6．故选：C．2.（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12 B．16 C．20

D．24参考答案：A由题意可知含的项为，所以系数为12.

3.设为虚数单位，则复数的虚部是（

）A.

B.

C.3

D.-3参考答案：D试题分析：，所以其虚部为，选D．考点：复数的运算．4.已知点F（﹣c，0）（c＞0）是双曲线=1的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且P在抛物线y2=4cx上，则e2=(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、相似三角形的性质即可得出．解答： 解：如图，设抛物线y2=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，设双曲线的右焦点为F′，P（x，y）．由题意可知FF′为圆x2+y2=c2的直径，∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=，|FF′|=2c，满足，将①代入②得x2+4cx﹣c2=0，则x=﹣2c±c，即x=（﹣2）c，（负值舍去）代入③，即y=，再将y代入①得，==e2﹣1即e2=1+=．故选：D．点评：本题考查双曲线的性质，掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键．5.函数是

（

）

A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数参考答案：A6.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】等比数列的前n项和．【分析】设这女子每天分别织布an尺，则数列{an}是等比数列，公比q=2．利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出．【解答】解：设这女子每天分别织布an尺，则数列{an}是等比数列，公比q=2．则=5，解得．∴a3==．故选：A．7.函数f（x）=sin2x+1的周期为（）A．4π B．2π C．π D．参考答案：C【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用降幂公式化简已知函数解析式可得f（x）=cos2x，根据三角函数的周期性及其求法即可求得周期．【解答】解：∵f（x）=sin2x+1=+1=cos2x，∴周期T==π．故选：C．8.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（）A．2楼 B．3楼 C．4楼 D．8楼参考答案：B【考点】函数的值．【分析】同学们总的不满意度y=n+，由此利用基本不等式能求出同学们认为最适宜的教室应在3楼．【解答】解：由题意知同学们总的不满意度y=n+≥2=4，当且仅当n=，即2≈3时，不满意度最小，∴同学们认为最适宜的教室应在3楼．故选：B．9.

已知，则=

.参考答案：10.已知为抛物线上不同两点，且直线倾斜角为锐角，为抛物线焦点，若

则直线倾斜角为

A．

B.

C.

D.

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则实数的取值范围是

.参考答案：12.如果等比数列的前项和，则常数参考答案：-1略13.18世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足一个等式关系.请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体……），归纳出F、V、E之间的关系等式：___________________.参考答案：V+F-E=214.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．参考答案：0.18甲队要以，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：.

15.（本题满分13分）定义在R上的函数满足对任意恒有，且不恒为0。（1）求和的值；（2）试判断的奇偶性，并加以证明；（3）若时为增函数，求满足不等式的的取值集合。参考答案：∴故的取值集合为16.已知直线和圆相交于A，B两点，当线段AB最短时直线l的方程为________.参考答案：x+3y+5=017.已知三棱锥P-ABC中，侧棱,当侧面积最大时，三棱锥P-ABC的外接球体积为____参考答案：【分析】当三棱锥侧面积最大时，，，两两互相垂直，可知以，，为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥的外接球，长方体外接球半径为体对角线的一半，从而求得半径，代入球的体积公式得到结果.【详解】三棱锥的侧面积为：，，相互之间没有影响当上述三个角均为直角时，三棱锥的侧面积最大此时，，两两互相垂直以，，为长、宽、高的长方体的外接球即为三棱锥的外接球外接球半径三棱锥的外接球的体积：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体的外接球体积的求解问题，关键是能够通过侧面积最大判断出三条棱之间的关系.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论函数在[1,2]上的单调性；（2）令函数，是自然对数的底数，若函数有且只有一个零点m，判断m与e的大小，并说明理由.参考答案：解：（1）由已知，且①当时，即当时，则函数在上单调递增…………1分②当时，即或时，有两个根，，因为，所以1°当时，令，解得当或时，函数在上单调递增…3分2°当时，令，，解得当时，函数在上单调递减，在上单调递增；…5分3°当时，令，解得当时，函数在上单调递减；……6分（2）函数则则，所以在上单调增当，所以所以在上有唯一零点当，所以为的最小值由已知函数有且只有一个零点，则所以则…………………9分则，得令，所以则，所以所以在单调递减，因为所以在上有一个零点，在无零点所以…………………12分

19.（本小题共15分）如图，在三棱锥中，底面ABC，点、分别在棱上，且

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成角的大小的余弦值；（Ⅲ）是否存在点，使得二面角为直二面角？若存在，求出的值。参考答案：【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．G11

【答案解析】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在点E使得二面角是直二面角，。解析：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.又

∴BC⊥平面PAC.————4分（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，————6分∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，∴与平面所成的角的大小的余弦值.————9分（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角的平面角————12分。∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，此时AE为斜边PC上的高故存在点E使得二面角是直二面角.不妨设PA=2，则=————15分【解法2】以A为原点建立空间直角坐标系，————1分设，由已知可得.（Ⅰ）∵，

∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.————4分

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，∴，

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵，∴.————8分∴与平面所成的角的大小的余弦值.————9分【思路点拨】（Ⅰ）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；（Ⅱ）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；（Ⅲ）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．20.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？参考答案：(1)当0＜x≤100时，p＝60；当100＜x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.∴p＝(2)设利润为y元，则当0＜x≤100时，y＝60x－40x＝20x；当100＜x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.∴y＝当0＜x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2000；当100＜x≤600时，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6050，∴当x＝550时，y最大，此时y＝6050.显然6050＞2000.所以当一次订购550件时，利润