2021-2022学年湖北省荆州市石首绣林私立育才职业高级中学高三数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年湖北省荆州市石首绣林私立育才职业高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线，始终平分圆的周长，则的最小值为

A.1

B.

C.

D.参考答案：D略2.如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是A．

B．

C．

D．

参考答案：C3.如图所示，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，,直角顶点在曲线上，的横坐标为，记，则数列的前120项之和为

（

）（A）10

（B）20

（C）100

（D）200参考答案：A如图所示，联立，解得，所以，所以，直线的方程为，联立，解得，所以，依次类推可得，即，所以，所以数列的前120项的和为，故选A.

4.已知，，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用待定系数法求得，由，，结合，从而可得结果.【详解】令则，∴，又，…∴①，∴…②∴①②得．则．故选C．【点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.一个正三棱柱和它的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（）A．16 B．18 C．8+24 D．24+参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，结合三视图的数据，直接求出三棱柱的表面积即可．【解答】解：由题意可知正三棱柱的底面是正三角形，高为2，边长为4，两个底面面积和为：2×=8，侧面积为：3×4×2=24．所以表面积为：8+24．故选C．6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】执行循环结构的程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得：第1次循环：，不满足判断条件；第2次循环：，满足判断条件；终止循环，输出计算的结果，故选A．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出结果，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7.如图，是圆的直径，点在圆上，，，，则的值为(

)A．

B． C．

D．

参考答案：A8.在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为（）A．1 B．C． D．与M点的位置有关参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，连接BC1，取=，可得PN∥D1C1，=1，由于D1C1⊥平面BCC1B1，可得PN⊥平面BCC1B1，利用三棱锥M﹣PBC的体积=V三棱锥P﹣BCM=即可得出．【解答】解：如图所示，连接BC1，取=，则PN∥D1C1，，PN=1，∵D1C1⊥平面BCC1B1，∴PN⊥平面BCC1B1，即PN是三棱锥P﹣BCM的高．∴V三棱锥M﹣PBC=V三棱锥P﹣BCM===．故选：B．9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是8，则S0值为下列各值中的

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

参考答案：A略10.已知函数，当时，，则实数的取值范围是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则

．参考答案：，所以。12.已知复数，为虚数单位为实数，则

.参考答案：13.给出下列命题：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；②f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是；④已知a＞0，b＞0，函数y=2aex+b的图象过点（0，1），则的最小值是．其中正确命题的序号是（把你认为正确的序号都填上）．参考答案：①②【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据正态分布的性质进行判断，②根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断，③根据直线垂直的等价条件进行判断，④根据基本不等式的性质进行判断即可．【解答】解：①若ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）===0.3，故①正确，②f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（x）关于x=﹣1对称，且在（﹣1，+∞）上单调递增，＞1，log2=﹣3，（）2∈（0，1），则f（log2）=f（﹣3）=f（1），则f（）＞f（1）＞f（（）2），即f（）＞f（log2）＞f（（）2），故②正确，③当b=0，a=0时，两直线分别为l1：3y﹣1=0，l2：x+1=0，满足l1⊥l2，故l1⊥l2的充要条件是错误，故③错误，④已知a＞0，b＞0，函数y=2aex+b的图象过点（0，1），则2a+b=1，则=（）（2a+b）=2+1++≥3+2=3+2，即则的最小值是3+2．故④错误，故答案为：①②．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．14.已知函数f（x）=，无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上总是不单调，则a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，]【考点】利用导数研究函数的极值；分段函数的应用．【分析】由f'（x）=6x2﹣6，x＞t，知x＞t时，f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间，从而要使无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调，必须有f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：对于函数f（x）=2x3﹣6x，f'（x）=6x2﹣6，x＞t当6x2﹣6＞0时，即x＞1或x＜﹣1，此时f（x）=2x3﹣6x，为增函数当6x2﹣6＜0时，﹣1＜x＜1，∵x＞t，∴f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间要使无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调∴f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数∴4a﹣3≤0，∴a≤．故a的取值范围是（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．15.我们把满足：xn+1=xn－的数列{xn}叫做牛顿数列．已知函数f（x）=x2﹣1，数列{xn}为牛顿数列，设，已知a1=2，则a3=．参考答案：8【考点】数列递推式．【分析】依题意，可求得=ln=ln=2=2an，即数列{an}是以2为公比的等比数列，又a1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1，数列{xn}为牛顿数列，∴=xn﹣=（xn+），∴=ln=ln=2=2an，又a1=2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a3=2×22=8．故答案为：8．【点评】本题考查数列递推式，求得数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．16.在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为

；（2）过A，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为

．参考答案：12、317.某地教育部门欲派5名工作人员到3所学校进行地震安全教育，每所学校至少1人，至多派2人，则不同的安排方案共有＿＿＿种。（用数字作答）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设常数λ＞0，a＞0，f（x）=﹣alnx（1）若f（x）在x=λ处取得极小值为0，求λ和a的值；（2）对于任意给定的正实数λ、a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）解方程组即可得出λ和a的值；（2）f（x）＞x﹣λ﹣alnx，令h（x）=x﹣λ﹣alnx=x﹣a﹣λ+a（﹣lnx），证明﹣lnx＞0，则f（x）＞0转化为证明h（x）＞0，转化为x﹣a﹣λ≥0，解出x即可得出符合条件的x0．【解答】解：（1）f′（x）=﹣=，∵f（x）在x=λ处取得极小值0，∴，即，解得λ=e，a=．（Ⅱ）f（x）=﹣alnx=x﹣λ+﹣alnx＞x﹣λ﹣alnx，令h（x）=x﹣λ﹣alnx，故只需证明：存在实数x0，当x＞x0时，h（x）＞0，h（x）=x﹣λ﹣alnx=x﹣a﹣λ+a（﹣lnx），设y=﹣lnx，则y′==．∴当0＜x＜4时，y′＜0，当x＞4时，y′＞0，∴当x=4时，y=﹣lnx取得最小值2﹣2ln2＞0，∴y=﹣lnx＞0．令x﹣a﹣λ≥0，即（）2﹣a﹣λ≥0，解得：≥，即x≥（）2，取x0=（）2，则当x＞x0时，恒有h（x）＞0．∴当x＞x0时，恒有f（x）＞0恒成立．19.某小组共有五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:

ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率(Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率参考答案：20.已知数列的奇数项是首项为的等差数列，偶数项是首项为的等比数列.数列前项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式;(2)若，求正整数的值；（3）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由.参考答案：【知识点】等比数列的性质；等差数列的性质．D2

D3【答案解析】（1）；（2）2；（3）存在正整数m=1，使得恰好为数列{an}中的第三项，存在正整数m=2，使得恰好为数列{an}中的第二项．解析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a9=1+4d．∵S5=2a4+a5，∴a1+a2+a3=a4，即4d=2q，又a9=a3+a4．∴1+4d=1+d=2q．解得：d=2，q=3．∴对于k∈N*，有．故；（2）若am=2k，则由amam+1=am+2，得2?3k﹣1（2k+1）=2?3k，解得：k=1，则m=2；若am=2k﹣1，则由（2k﹣1）?2?3k﹣1=2k+1，此时左边为偶数，右边为奇数，不成立．故满足条件的正数为2；（3）对于k∈N*，有．．假设存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项，又由（1）知，数列中的每一项都为正数，故可设=L（L∈N*），则，变形得到：（3﹣L）3m﹣1=（L﹣1）（m2﹣1）①．∵m≥1，L≥1，3m﹣1＞0，∴L≤3．又L∈N*，故L可能取1，2，3．当L=1时，（3﹣L）3m﹣1＞0，（L﹣1）（m2﹣1）=0，∴①不成立；当L=2时，（3﹣2）3m﹣1=（2﹣1）（m2﹣1），即3m﹣1=m2﹣1．若m=1，3m﹣1≠m2﹣1，令，则=．因此，1=T2＞T3＞…，故只有T2=1，此时m=2，L=2=a2．当L=3时，（3﹣3）3m﹣1=（3﹣1）（m2﹣1）．∴m=1，L=3=a3．综上，存在正整数m=1，使得恰好为数列{an}中的第三项，存在正整数m=2，使得恰好为数列{an}中的第二项．【思路点拨】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q由题意列式求出公差和公比，则等差数列和等比数列的通项公式即可得出；（2）分am=2k和am=2k﹣1，利用amam+1=am+2即可求出满足该等式的正整数m的值；（3）对于k∈N*，有．．假设存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项，设=L（L∈N*），则，变形得到（3﹣L）3m﹣1=（L﹣1）（m2﹣1），由此式得到L的可能取值，然后依次分类讨论求解．21.已知函数=．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，a=2，b+c=4，求b，c．参考答案：(1)∵=sin(3π+x)·cos(π?x)+cos2(+x)，∴=(?sinx)·(?cosx)+(?sinx)=sin2x+=sin(2x?)+．（3分）由2kπ?2x?2kπ+，k∈Z，得kπ?xkπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间是[kπ?，kπ+]，k∈Z．（6分）(2)由=得，sin(2A?)+=，∴sin(2A?)=1，∵0<A<π，∴0<