2022年山西省大同市同煤集团第四中学高三数学文联考试题含解析

2022年山西省大同市同煤集团第四中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线a和平面，那么a//的一个充分条件是

A．存在一条直线b，a//b且b

B．存在一条直线b，ab且b

C．存在一个平面，a∥且//

D．存在一个平面，//且//参考答案：2.已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，抛物线的对称轴与准线交于点Q，P为抛物线上的动点，|PF|=m|PQ|，当m最小时，点P恰好在以F，Q为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求出F（0，1），Q（0，﹣1），过点P作PM垂直于准线，则PM=PF．记∠PQM=α，则m=，当α最小时，m有最小值，设P（），然后求解a，c，即可求解椭圆的离心率、【解答】解：由已知，F（0，1），Q（0，﹣1），过点P作PM垂直于准线，则PM=PF．记∠PQM=α，则m=，当α最小时，m有最小值，此时直线PQ与抛物线相切于点P设P（），可得P（±2，1），所以|PQ|=2，|PF|=2，则|PF|+|PQ|=2a，∴a=，c=1，∴e==，故选：D．3.函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的所有零点之和等于(

)A．π B．2π C．3π D．4π参考答案：B【考点】函数的零点；函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点即函数y=tanx与函数y==的交点的横坐标，由于函数y=tanx与函数y=的交点关于点（，0）对称，故有得x1+x4=π，x2+x3=π，由此求得所有的零点之和

x1+x2+x3+x4的值．【解答】解：函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点即函数y=tanx与函数y==的交点的横坐标．由于函数y=tanx的图象关于点（，0）对称，函数y=的图象也关于点（，0）对称，故函数y=tanx与函数y=的交点关于点（，0）对称，如图所示：设函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点分别为：x1、x2、x3、x4，则由对称性可得x1+x4=π，x2+x3=π，∴x1+x2+x3+x4=2π，故选B．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．4.在△ABC中，角A＜B是sinA＜sinB的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：C【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先看由角A＜B能否得到sinA＜sinB：讨论A，B和A两种情况，并结合y=sinx在（0，]单调性及0＜A+B＜π即可得到sinA＜sinB；然后看由sinA＜sinB能否得到A＜B：根据上一步的讨论方法以及y=sinx的单调性即可得到sinA＜sinB，所以得到角A＜B是sinA＜sinB的充要条件．【解答】解：（1）△ABC中，角A＜B：若0＜A＜B≤，根据y=sinx在（0，]上单调递增得到sinA＜sinB；若0＜A，，∵0＜A+B＜π，∴，所以sinA＜sin（π﹣B）=sinB；∴角A＜B能得到sinA＜sinB；即A＜B能得到sinA＜sinB；∴角A＜B是sinA＜sinB的充分条件；（2）若sinA＜sinB：A，B∈（0，]时，y=sinx在上单调递增，所以由sinA＜sinB，得到A＜B；A，B时，显然满足A＜B；即sinA＜sinB能得到A＜B；∴A＜B是sinA＜sinB的必要条件；综合（1）（2）得角A＜B，是sinA＜sinB的充要条件．故选C．【点评】考查充分条件、必要条件、充要条件的概念，以及正弦函数y=sinx在上的单调性，通过y=sinx在（0，π）的图象看函数的取值情况，及条件0＜A+B＜π．5.从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于0且小于1的概率是（

）．A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据对数的限制条件，列出所有对数的基本事件，确定出满足条件的对数个数，由古典概型的概率公式，即可求解.【详解】由于1只能作为真数，从其余各数中任取一数为底数，共得到4个对数，其值均为0．从1除外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，基本事件为，，，，，，，，，，，，共12个，所以基本事件总数为16个，满足题设条件的事件有，，，，，，共6个，由古典概型的计算公式得所求事件的概率．故选：C．【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.6.已知为等差数列的前项和,若,,则的值为(

)A.

B.

C.

D.4参考答案：A7.已知集合M={0，l，2，3，4），N={-2，0，2}，则

A．N∩M

B．M∩N=M

C．M∩N={2}

D．M∩N={0，2}参考答案：D略8.“成等差数列”是“”成立的（

）A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：A略9.(1+i)(2－i)=

A．－3－i B．－3+i C．3－i D．3+i参考答案：D

10.已知是同以平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为，且，则实数的取值范围是

（

）A．

B．

C．

或

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S＝1320，那么判断框中应填入

参考答案：略12.在中，依次成等比数列，则角的取值范围是____________.参考答案：略13.存在以下三个命题：①若，则；②若a、b∈R，则；③若，则；其中正确的是

（填序号）参考答案：①②③略14.已知角的终边经过点，点是函数图象上的任意两点，若时，的最小值为，则的值是

▲

.参考答案：略15.已知函数的对称中心为M，记函数的导函数为，的导函数为，则有.若函数，则可求得：

.参考答案：16.对于集合N={1,2,3,…,n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=

。参考答案：17.已知，则的值为

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数(a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈(0,1]时，恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：∴，解得t≥0.19.已知函数f（x）=lnx﹣ax+，且f（x）+f（）=0，其中a，b为常数．（1）若函数f（x）的图象在x=1的切线经过点（2，5），求函数的解析式；（2）已知0＜a＜1，求证：f（）＞0；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用赋值法，令x=1，得到f（1）=0，则切点为（1，0），从而可求出切线的斜率k=5，即f'（1）=5．由方程组，即可求出a，b的值；（2）将x=待入f（x）的解析式，构造函数，通过求导可知g（x）在（0，1）上单调递减，则g（x）＞g（1）=1﹣ln2＞0，即f（）＞0；（3）求导，f'（x）=，对参数a进行分类讨论，易知a≤0，或a≥时，f（x）至多一个零点，不符题意；当0＜a＜时，f（x）存在两个极值点x1，x2，通过零点存在定理可知，此时f（x）存在三个零点，满足条件，故a的取值范围是．【解答】解：（1）在中，取x=1得f（1）=0，∴f（1）=﹣a+b=0，∴a=b，∵，∴f'（1）=1﹣a﹣b=1﹣2a，∵f（x）的图象在x=1的切线经过点（1，0），（2，5），∴k=，∴1﹣2a=5，得a=﹣2，∴；（2）令，则∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴x∈（0，1）时，故0＜a＜1时，f（）＞0；（3），①当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）至多一个零点，不符题意；

②当时，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）递减，∴f（x）至多一个零点，不符题意；③当时，令f′（x）=0，解得，，此时，f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减，∵x1＜1＜x2，∴f（x1）＜f（1）＜f（x2），即f（x1）＜0，f（x2）＞0，∵，∴，使得f（x0）=0，又∵，∴f（x）恰有三个不同的零点：综上所述，a的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究切线方程，利用导数证明不等式以及利用导数判断函数零点的方法，着重考查了数学转化思想的应用，是难度较大的题目．20.已知函数（），（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）已知，命题p：关于x的不等式对任意恒成立；命题q：函数是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）21.（本题满分13分）现有3所重点高校A,B,C可以提供自主招生机会，但由于时间等其他客观原因，每位同学只能申请其中一所学校，且申请其中任一所学校是等可能的。现某班有4位同学提出申请，求：（1）恰有2人申请A高校的概率；（2）4人申请的学校个数的分布列和期望.参考答案：【知识点】离散型随机变量的期望与方差．K6（1）；（2）见解析。

解析：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A学校，共有种∴根据等可能事件的概率公式得到P==

（6分）（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列是：ξ123P∴Eξ=

（13分）

【思路点拨】（1）所有可能的方式有34种，恰有2人申请A大学的申请方式有种，从而然后利用概率公式进行求解；（2）=1，2，3，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可；22.（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．

（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

（3）求点G到平面BCE的距离．

参考答案：解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，，

，，，

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，∴，

显然与平面平行，此即证得BF∥平面ACD；

……4分

（2）设平面BCE的法向量为，

则，且，

由，，

∴，不妨设，则，即，

∴所求角满足，∴；

……8分

（3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴，

由（2）平面BCE的法向量为，

∴所求距离．

……12分

解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

连接FH，则，∴，

…2分

∴四边形ABFH是平行四边形，∴，

由平面ACD内，平面ACD，平面ACD；

……………4分

（2）由已知条件可知即为在平面ACD上的射影，

设所求的二面角的大小为，则，

……