2021年陕西省汉中市宁强县逸夫中学高一数学理期末试题含解析

2021年陕西省汉中市宁强县逸夫中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B2.的内角的对边分别为，若

，则边等于

A、

B、

C、

D、

2参考答案：C3.与函数y＝x有相同图象的一个函数是（

）

A

B

，且

C

D

，且参考答案：D4.已知直线a、b及平面α，在下列命题：中，正确的有（）①②③④．A．、①② B．②③ C．③④ D．①③参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在①中，由直线与平面垂直的性质定理得判断正误；在②中，有可能b?α；在③中，由直线与平面垂直的判定定理判断正误；在④中，有可能a与b异面．【解答】解：直线a、b和平面α，知：在①中，，由直线与平面垂直的性质定理得①正确；在②中，或b?α，故②错误；在③中，，由直线与平面垂直的判定定理得③正确；在④中，或a与b异面，故④错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面的位置关系的合理运用．5.在边长为1的正中，且，则的最大值为

参考答案：C6.（4分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（） A． 内切 B． 相交 C． 外切 D． 外离参考答案：B考点： 圆与圆的位置关系及其判定．专题： 计算题．分析： 由已知中两圆的方程：x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，我们可以求出他们的圆心坐标及半径，进而求出圆心距|O1O2|，比较|O1O2|与R2﹣R1及R2+R1的大小，即可得到两个圆之间的位置关系．解答： 解：圆x2+y2﹣1=0表示以O1（0，0）点为圆心，以R1=1为半径的圆；圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0表示以O2（2，﹣1）点为圆心，以R2=3为半径的圆；∵|O1O2|=∴R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1，∴圆x2+y2﹣1=0和圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相交故选B．点评： 本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，若圆O1的半径为R1，圆O2的半径为R2，（R2≤R1），则当|O1O2|＞R2+R1时，两圆外离，当|O1O2|=R2+R1时，两圆外切，当R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1时，两相交，当|O1O2|=R2﹣R1时，两圆内切，当|O1O2|＜R2﹣R1时，两圆内含．7.若且，则A． B． C． D．参考答案：B8.定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则与的大小关系是A．

B．C．

D．参考答案：B略9.（5分）设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={﹣2，1，2}，则A∪（?UB）等于（） A． {﹣1，0，1，2} B． {1} C． {1，2} D． ?参考答案：A考点： 交、并、补集的混合运算．专题： 集合．分析： 根据全集U及B求出B的补集，找出A与B补集的并集即可．解答： ∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={﹣2，1，2}，∴?UB={﹣1，0}，则A∪（?UB）={﹣1，0，1，2}，故选：A．点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10.已知等边△ABC边长为4，O为其内一点，且，则△AOB的面积为

（

）A. B. C. D.参考答案：B∵，∴．如图所示，延长到点，使得，分别以为邻边作平行四边形，则，又，可得，∴，∴，∴，故选B.点睛：本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是作出辅助线，根据向量的知识得出各小三角形与原三角形面积之间的关系，是中档题；根据题意，作出图形，利用向量的关系，求出与的面积关系，即可得出.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为,若，且时总有，则称为单函数.例如是单函数，现给出下列结论：①函数是单函数；②函数是单函数；③偶函数，（）一定不是单函数；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的正确的结论是

（写序号）．参考答案：②③④12.已知集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B=

．参考答案：{﹣1，0，2}【考点】并集及其运算．【分析】根据两集合并集的感念进行求解即可．【解答】解：集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B={﹣1，0，2}故答案为：{﹣1，0，2}【点评】本题主要考查两集合的并集的感念，注意有重复的元素要当做一个处理．13.设f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数，若f（x）﹣g（x）=（）x，则f（1）+g（﹣2）=．参考答案：﹣【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由奇偶函数的定义，将x换成﹣x，运用函数方程的数学思想，解出f（x），g（x），再求f（1），g（﹣2），即可得到结论．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），g（x）为定义在R上的偶函数，则g（﹣x）=g（x），由于f（x）﹣g（x）=（）x，①则f（﹣x）﹣g（﹣x）=（）﹣x，即有﹣f（x）﹣g（x）=（）﹣x，②由①②解得，f（x）=[（）x﹣（）﹣x]，g（x）=﹣[（）x+（）﹣x]，则f（1）=（）=﹣，g（﹣2）=（4）=﹣，则f（1）+g（﹣2）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用：求函数解析式，求函数值，考查运算能力，属于中档题．14.若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝____________________参考答案：-1/2略15.已知两圆的方程分别为x2+y2﹣4x=0和x2+y2﹣4y=0公共弦所在直线方程是．参考答案：x﹣y=0【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】利用圆系方程，求出公共弦所在直线方程．【解答】解：圆x2+y2﹣4x=0…①和x2+y2﹣4y=0…②①﹣②得x﹣y=0就是圆x2+y2﹣4x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦所在直线方程．故答案为：x﹣y=0【点评】本题考查相交弦所在直线的方程，考查计算能力，是基础题．16.将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g（x），则函数g（x）的单调递减区间为．参考答案：[kπ，k]，k∈Z【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数的解析式g（x）=2sin（2x+），再利用正弦函数的单调性，可得g（x）的单调性，从而得出结论．【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为g（x）=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得g（x）的单调递减区间为：[kπ，k]，k∈Z．故答案为：[kπ，k]，k∈Z．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题．17.若f（x）=（x﹣1）2（x≤1），则其反函数f﹣1（x）=．参考答案：1﹣（x≥0）【考点】反函数．【分析】把已知函数化为关于x的一元二次方程，求解x，再求出原函数的值域得到反函数的定义域得答案．【解答】解：由y=（x﹣1）2，得x=1±，∵x≤1，∴x=1﹣．由y=（x﹣1）2（x≤1），得y≥0．∴f﹣1（x）=1﹣（x≥0）．故答案为：1﹣（x≥0）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PD⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

(1)证明：AP⊥BC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．参考答案：方法一：(1)证明：如右图，以O为原点，以射线OD为y轴的正半轴，射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)，＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)，由此可得·＝0，所以⊥，即AP⊥BC.(2)解：假设存在满足题意的M，设＝λ，λ≠1，则＝λ(0，－3，－4)．＝＋＝＋λ＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，＝(－4,5,0)．设平面BMC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2＝(x2，y2，z2)．由得即可取n1＝(0,1，)．由即得可取n2＝(5,4，－3)由n1·n2＝0，得4－3·＝0，解得λ＝，故AM＝3.综上所述，存在点M符合题意，AM＝3.方法二：(1)证明：由AB＝AC，D是BC的中点，得AD⊥BC.又PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC.因为PO∩AD＝O，所以BC⊥平面PAD，故BC⊥PA.(2)解：如下图，在平面PAB内作BM⊥PA于M，连接CM.由(1)知AP⊥BC，得AP⊥平面BMC.又AP?平面APC，

所以平BMC⊥平面APC.在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝(AO＋OD)2＋(BC)2＝41，得AB＝．在Rt△POD中，PD2＝PO2＋OD2，在Rt△PDB中，PB2＝PD2＋BD2，所以PB2＝PO2＋OD2＋DB2＝36，得PB＝6.在Rt△POA中，PA2＝AO2＋OP2＝25，得PA＝5.又cos∠BPA＝＝，从而PM＝PBcos∠BPA＝2，所以AM＝PA－PM＝3.综上所述，存在点M符合题意，AM＝3.19.（1）已知，，试用a,b表示log5（2）化简：参考答案：（1）

(2)（1）原式=略20.已知函数，．（1）若，求x的值；（2）对于任意实数，，试比较与的大小；（3）若方程在区间[1,2]上有解，求实数a的取值范围．参考答案：解：（1）方程即，时，，，由可得，则；时，，即，无解．综上，．（2），当且仅当时等号成立，则时，，时，．（3）由题意，在上有解，即在上有解，即在有解，令，则在有解，令，在单调递增，值域为，由有解可得在值域内，则．

21.已知△ABC中，，，.求：（1）角C的大小；（2）△ABC中最小边的边长.参考答案：（1）（2）【分析】（1）由内角和定理，以及诱导公式化简tanC，将tanA与tanB代入值代入求出tanC的值，即可确定出C的度数；（2）由tanA与tanB的大小判断出BC为最小边，由tanA的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值，利用正弦定理求出BC的