2022年浙江省温州市第二十五中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年浙江省温州市第二十五中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为

的正方形，该正三棱柱的表面积是A． B． C． D．参考答案：C2.已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）A．2n B．3n C．n2 D．nn参考答案：D【考点】归纳推理．【分析】根据题意，分析给出的等式，类比对x+变形，先将其变形为x+=++…++，再结合不等式的性质，可得××…××为定值，解可得答案．【解答】解：根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简．消去根号，得到右式；对于给出的等式，x+≥n+1，要先将左式x+变形为x+=++…++，在++…++中，前n个分式分母都是n，要用基本不等式，必有××…××为定值，可得a=nn，故选D．3.已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是(

)A．（0，2） B．（1，3） C．[0，3] D．[1，3]参考答案：B【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．解：∵f（x）=x3ax2+bx+c，∴f′（x）=x2+ax+b∵函数f（x）在区间（﹣1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得极小值，∴f′（x）=x2+ax+b=0在（﹣1，0）和（0，1）内各有一个根，f′（0）＜0，f′（﹣1）＞0，f′（1）＞0即，在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，=1+2×，令m=，其几何意义为区域中任意一点与点（﹣2，﹣1）连线的斜率，分析可得0＜＜1，则1＜＜3∴的取值范围是（1，3）．故选B．【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力，解题时要认真审题，仔细解答．4.已知复数，其中为虚数单位，则的虚部为A．

B．1

C．

D．参考答案：C5.已知函数，如果，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.若函数与在区间[1，2]上都是减函数，则的取值范围是（）

A．（－1，0）

B．（0，1]

C．（0，1）

D．（－1，0）∪（0，1]参考答案：B由在区间[1，2]上是减函数，则；

由在区间[1，2]上都是减函数，则，得。

因此函数与在区间[1，2]上都是减函数，则，故选择B。7.已知集合且={直线}，={平面}，，若，有四个命题①②③④其中所有正确命题的序号是（）A．①②③

B．②③④

C．②④

D．④参考答案：D8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．5 C． D．6参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体是由直三棱柱和四棱锥组合而成，由三视图求出几何元素的长度，由分割法、换底法，以及柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积，【解答】解：由三视图可知几何体是由直三棱柱ABD﹣AFG和四棱锥C﹣BDGF组合而成，直观图如图所示：直三棱柱的底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1、2，高是2，∴几何体的体积V=V三棱柱ABD﹣EFG+V四棱锥C﹣BDGF=V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱锥C﹣DFG+V三棱锥C﹣BDF=V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱锥F﹣CDG+V三棱锥F﹣BDC==2+=，故选：A．9.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用K2独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则下列说法正确的是（）A．有95%的把握认为“X和Y有关系”B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”C．有99%的把握认为“X和Y有关系”D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”参考答案：【考点】变量间的相关关系．【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计．【分析】根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出正确的结论是什么．【解答】分析：解答：解：∵K2=5＞3.481，而在观测值表中对应于3.841的是0.05，∴有1﹣0.05=95%的把握认为“X和Y有关系”．故选：A．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题，这种题目出现的机会比较小，一旦出现，应是得分的题目．10.等差数列的前项和为，若，则的值是（

）A.

B.

C.

D.不能确定参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数x，y满足，则的最大值为_______.参考答案：【分析】作出约束条件对应的可行域，变动直线，确定直线过可行域上的某点时z最大，求出最优解，确定z的最大值.【详解】作约束条件对应的可行域，如图三角形区域.平行移动直线，当直线过A点时z最大.,得，，所以的最大值为．【点睛】本题考查线性规划问题，准确画出约束条件对应的图形及理解目标函数的几何意义是关键，考查数形结合及运算能力，属于基础题.

12.若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是

▲

_．参考答案：【知识点】基本不等式．E6

【答案解析】

解析：∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy﹣4，∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，即（4xy﹣4）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，变形可得2xy（2a2+1）≥4a2﹣2a+34恒成立，即xy≥恒成立，∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，∴4xy=x+2y+4≥4+2，即2﹣?﹣2≥0，解不等式可得≥，或≤﹣（舍负）可得xy≥2，要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，化简可得2a2+a﹣15≥0，即（a+3）（2a﹣5）≥0，解得a≤﹣3或a≥，故答案为：【思路点拨】原不等式恒成立可化为xy≥恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥恒成立，解关于a的不等式可得．13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2=9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是

．参考答案：x2+y2=81【考点】圆的标准方程．【分析】由题意，圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径，求出圆心坐标，可得结论．【解答】解：由题意，圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径，设C（x，0），则（x﹣4）2+（0﹣8）2+1=（x﹣6）2+（0+6）2+9，∴x=0，∴圆C的方程是x2+y2=81．故答案为x2+y2=81．14.已知函数，若，则实数a的取值范围是___________.参考答案：.当，当，故.15.若α∈（0，），且cos2α=sin（α+），则tanα=．参考答案：【考点】三角函数的化简求值；二倍角的余弦．【分析】根据三角函数的恒等变换，利用同角的三角函数关系，即可得出tanα的值．【解答】解：，且，∴cos2α﹣sin2α=sin（α+），∴（cosα+cosα）（cosα﹣sinα）=?（sinα+cosα），∴cosα﹣sinα=，两边平方，得sin2α﹣2sinαcosα+cos2α=，∴sinαcosα=，∴==，整理得3tan2α﹣10tanα+3=0，解得tanα=或tanα=3，cosα＞sinα，∴tanα＜1，∴tanα=．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换以及同角的三角函数关系，是基础题．16.在直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是

．参考答案：17.已知曲线C的参数方程为

(θ为参数)，则曲线C上的点到直线3-4+4=0的距离的最大值为

参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是梯形，且，，.(1)求证：AE⊥平面PCD；(2)求三棱锥的体积；(3)在棱PD上是否存在点M，使得平面PAB？若存在，求得值；若不存在，说明理由.参考答案：（1）见证明；（2）（3）见解析【分析】(1)利用勾股定理，得，再由平面，得，根据线面垂直的判定定理，即可得到；(2)利用，即可求解，得到答案.(3)在棱上取点，使得，过作交于，利用线面平行的判定定理，证得平面，即可得到结论.【详解】(1)由题意，可知，则，所以，，面，所以，又因为，所以(2)因为，，为等腰直角三角形，所以，在中，，，，又，.(3)在棱上取点，使得，过作交于，则，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，故在棱上存在点，当时，使得平面.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19.(12分)如图，是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，是圆周上不同于的一动点．(1)证明：是直角三角形；(2)若，且当二面角的正切值为时，

直线与平面所成角的正弦值．

参考答案：（2）如图，过作,,,则即是要求的角。…..8分,二面角的平面角…..9分

，又…..10分在中，,…..11分在中，，即与平面所成角正弦值为。..…...12分(建直角坐标系或向量法亦给分)略20.近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能估计该月空气质量优良的天数．（2）利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为30×=18（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，基本事件总数n==15，抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：p=1﹣=．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），，P（ξ=1）=C31，，，故ξ的分布列为：ξ0123P∵，Eξ=3×=1.8．【点评】本题考查概率、频率、二项分布、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21.（本题满分13分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.(Ⅰ)求z的值；

(Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；(Ⅲ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,

8.6,9.2,

9.6,

8.7,

9.3,

9.0,

8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.参考答案：(Ⅰ).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000.

z=2000-100-300-150-450-600=400

．．．．．．3分(Ⅱ)设所抽样本中有m辆舒