宇宙速度的正确认识

宇宙速度的正确认识在天体运动和卫星发射中，宇宙速度是个非常重要的概念。一般教材中都给出了三个宇宙速度的定义和数值：第一宇宙速度（亦称环绕速度）是指物体（卫星）离开地面绕地球做圆周运动所需的最小发射速度，大小为=7.9鬲"；第二宇宙速度（亦称脱离速度）是物体挣脱地球引力的束缚而成为绕太阳运行的人造行星，或飞到其他行星上去的飞船所具有的最小速度，大小为气蚯成$；第三宇宙速度（亦称逃逸速度）是物体要进一步挣脱太阳的引力束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去所必须具有的最小速度，大小为均=1&7止幽"“vmax^=vmin发”的推证第一宇宙速度既是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度（简称“v环”），同时又是地球卫星的最小发射速度（简称“v.发”）。 幌环一、地球卫星绕地球做匀速口周运动的盛大环绕速度设G是万有引力常量，地球质量为M，人造地球卫星的质量是m.当人造地球卫星在离地心r处的轨道上绕地球以速度v做匀速圆周运动时，由地球对卫星的万有引力提供卫星环绕运行所需的向心力关系知绕运行所需的向心力关系知由此可知，轨道半径r越大，人造地球卫星环绕速度就越小。当地球卫星在地球表面附近环绕地球运行时，地球卫星的轨道半 径r和地球半径R近似相等，于是有 顷v=q日=7.9km/s7.9km/s称为第一宇宙速度。因为R是r的最小值，所以…厨心是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，即^5=向茹。二、地球卫星的最小发射速度轨道半径r越大，人造地球卫星环绕地球运转速度v就越小。但这并不是说从地面上把卫星送入半径r越大的轨道上运行时，所需要的地面发射速度就越小，这一点学生容易混淆。事实上，在运行速度越小的高轨道上运动的卫星，所需要的发射速度就越大。证明如下:取离地球中心无穷远处为引力势能的零点，则物体在距地球中心为r处的引力势能可表示为Sp=-G些设地面上卫星的发射速度为v发，先假定发射时不十空气阻力，地球卫星进人地球轨道半径r处时，卫星环绕速度为v，则由机械能守恒定律，可得1212—-Cj =—mv-Cj 2 R2 r又因*广，将其代入上式可得

9MmmGMMmMm-mvt,-G——二—■ G——二-G——R2rr 所以从v发可知地球卫星环绕半径r越大时，人造地球卫星所要求的发射速度就越大；若考虑空气阻力，当r越大时，卫星运行的速度就越小，但发射时须达到的速度就越大。也就是向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难的原因。从另一方面看，向高轨道发射卫星火箭要克服地球对它的引力就要做更多的功。要发射一个贴“地皮”飞行的人造地球卫星，这时的r是最小的，从v发可知卫星发射速度也是最小的，将r=R代入上式的v发，得岫欢* 。龙岫郎=叽鑫=y!GM/R=7.9km/s所以第一宇宙速度既是地球卫星绕地三、结论 龙岫郎=叽鑫=y!GM/R=7.9km/s所以第一宇宙速度既是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，同时又是地球卫星的最小发射速度。第二宇宙速度的推导1.1利用功能关系推导一个航天器在它的燃料烧完后脱离地球的过程中，该系统符合机械能守恒的条件。物体在地面开始运动到脱离地球引力范围（相当于上升到无限远处）的过程中，克服引力做功，动能减少，所以初始动能必须不小于脱离过程中克服引力所做的功。-m^>W2 ①但同一物体在不同高度处所受地球引力并不相等，随着物体高度的增加，地球引力将逐渐减弱。因此，功的数值不是简单地用^Fs就可以计算的。这里介绍两种方法，一是用元功积分的思想，二是用微分的思想。方法一：根据万有引力定律，如果用G表示万有引力恒量，M表示地球的质量，m表示物体的质量，r表示物体离地心的距离，R为地球半径。则物体在离地心r处所受地球引力，则在物体上升dr的过程中，克服引力做功为，则在物体上升dr的过程中，克服引力做功为对上式积分，积分限为从R积到8,所以，对上式积分，积分限为从R积到8,所以，结合①、③可以得到，欧'艮把G=6.67xl0-nNm2/kg2，垃。混kg，衣10\带入上式即可计算出第二宇宙速度的大小为*"一”2km/s.方法二：如图2所示，设物体m从地球E的引力场中从P0处移动到Pn处。因各处的引力不等，我们可把PP的一段距离分成许多极小的等分Ax。P、P、P、：••…P和地球中TOC\o"1-5"\h\z0n 0 12 n心的距离分别为r、r、r、……r；先求出每一等分中的平均引力，然后求出通过每一等012 n分时物体克服地球引力所做的功，这些功的总和，就是物体从P0移动到Pn克服地球引力所做的功。 °n耳=&哮物体在P处所受的引力为 *，因为P和P相距极近，物体在P、P间所i ii+1 i i+1Fi=G受万有引力的平均值可以近似地等于两处引力的比例中项，即： 5+1；物体从Pi移动到Pi+1,的过程中克服万有引力所做的功为：明=_r.)=1_X¥+1 槌4+J；则物体从p0移动到Pn整个过程中克服万有引力所做的功为：yW-—

所以使物体从地球表面r°=R处出发而脱离地球，即到达七=8处，克服引力做功为W=&箜^R，与方法一推导的结果一致。应该指出，物体从P°处移动到处克服万有引力所做的功，在数值上就等于物体在P°E=-G^-和Pn两处物体与地球组成的系统的重力势能之差，表达式 广就表示物体在离地心r处时具有的重力势能。1.2利用动力学方程推导设物体以初速度％地球表面沿铅垂方向离开地球，地球引力F（为位置坐标的函数）、,,.t—0?x—R,v—V[-|，初始条件为， 。，列运动微分方程列运动微分方程 1即 ⑤对式做分离变量的变换，并代入初始条件，进行积分I即「 I ⑥——⑥式表明了物体速度随位置（x）的变化规律。如果，则不论X为多大，甚至达无穷大，速度v永远不会为零。可见欲使物体上抛后一去不返，第三宇宙速度的推导仿照上面推导第二宇宙速度的任一方法，注意到 kg,日地距离I ，并且物体是从地球表面而非太阳表面开始向外运动的，可得到物体脱离太阳系引力的最小速度为I「怎么不是16.7km/s?问题在于在研究第二宇宙速度时物体是从地面抛出的，速度是相对于地面而言的，即以地球为惯性系。而在研究第三宇宙速度时，是以太阳为惯性系，所以上面得到的I I是相对于太阳的。而地球本身在绕太阳做公转，其公转速度=29为km/s，如果物体顺着地球运动的轨道切向飞出的话，便可借助于地球的公转线速度，因而只需商亦5心=42.2—29.8=12.4km/s就行了。但是，物体要飞出太阳系，要克服太阳的引力，首先要挣脱地球引力的束缚才行，故物体在地面上应该具有的动能为2 1 2^1 .22 2所以％=16.7km/s。至此我们分析了宇宙速度的推导过程，并明确了宇宙速度均是相对于地球而言的。因此，诸如“地球公转速度29.8km/s比16.7km/s大，为