圆锥曲线2009年理科高考解答题荟萃

圆锥曲线2009年理科高考解答题荟萃1.（2009浙江理）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．解（I）由题意得所求的椭圆方程为，（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则，设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．2.（2009北京理）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．（Ⅰ）由题意，得，解得，∴，∴所求双曲线的方程为.（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得，∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，且，设A、B两点的坐标分别为，则，∵，且，.∴的大小为.【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得①②∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，设A、B两点的坐标分别为，则，∴，∴的大小为.（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.3.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。4.(2009山东卷理)设椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以,,①当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”.当时,.当AB的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,综上,|AB|的取值范围为即:【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.5.（2009广东卷理）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．解（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.xAxBDxAxBD（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.6.（2009安徽卷理）点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.（I）证明:点是椭圆与直线的唯一交点；（II）证明:构成等比数列.解析：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。证明（I）（方法一）由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得即故P与Q重合。（方法三）在第一象限内，由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。（II）的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。7.（2009江西卷理）已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.求线段的中点的轨迹的方程;设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.(1)解由已知得,则直线的方程为:,令得,即,设,则,即代入得:,即的轨迹的方程为.(2)证明在中令得,则不妨设,于是直线的方程为:,直线的方程为:,则,则以为直径的圆的方程为:,令得:,而在上,则,于是,即以为直径的圆过两定点.8.(2009湖北卷理)过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。（Ⅰ）当时，求证：⊥；（Ⅱ）记、、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解依题意，可设直线MN的方程为，则有由，消去x可得从而有①于是②又由，可得③（Ⅰ）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线此时①可得证法1：证法2：(Ⅱ)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：证法1：记直线与x轴的交点为,则。于是有将①、②、③代入上式化简可得上式恒成立，即对任意成立证法2：如图2，连接,则由可得,所以直线经过原点O，同理可证直线也经过原点O又设则9.（2009全国卷Ⅱ理）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为（I）求，的值；（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。解(I）设，直线，由坐标原点到的距离为则，解得.又.（II）由(I）知椭圆的方程为.设、由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设代入椭圆的方程中整理得，显然。由韦达定理有：．．．．．．．．①.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点，点P在椭圆上，即。整理得。又在椭圆上，即.故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②将及①代入②解得,=,即.当;当.10.（2009福建卷理）已知A,B分别为曲线C：+=1（y0,a>0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。解方法一(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.(1)当∠BOT=60°时,∠SAE=30°.又AB=2,故在△SAE中,有(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.由设点故,从而.亦即由得由,可得即经检验,当时,O,M,S三点共线.故存在,使得O,M,S三点共线.方法二:(Ⅰ)同方法一.(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为由设点,则有故由所直线SM的方程为O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.故存在,使得O,M,S三点共线.11.（2009辽宁卷文、理）已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。求椭圆C的方程；E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（Ⅰ）解由题意，c＝1,可设椭圆方程为。因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。所以椭圆方程为．（Ⅱ）证明设直线ＡＥ方程：得，代入得设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以，。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得，。所以直线EF的斜率。即直线EF的斜率为定值，其值为。12.（2009宁夏海南卷理）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得，所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得。整理得，其中。（i）时。化简得所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。（ii）时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；13.（2009四川卷文、理）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。解（I）由已知得，解得∴∴所求椭圆的方程为.（II）由（I）得、①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得设、，∴，这与已知相矛盾。②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设、，联立，消元得∴，∴，又∵∴∴化简得解得∴∴所求直线的方程为14.(2009湖南卷理)在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则3︳x-2︳由题设当x>2时，由①得化简得当时由①得化简得故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.当点P在上时，由②知.④当点P在上时，由③知⑤若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为（i）当k≤，或k≥，即k≤-2时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C上，此时由④知∣MF∣=6-∣NF∣=6-从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=（6-）+（6-）=12-(+)由得则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12-（+）=12-因为当当且仅当时，等号成立。（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，设直线AF与椭圆的另一交点为E所以。而点A，E都在上，且有（1）知若直线的斜率不存在，则==3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为.15.（2009年上海卷理）已知双曲线设过点的直线l的方向向量当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。（1）解双曲线C的渐近线直线l的方程直线l与m的距离（2）证明方法一设过原点且平行与l的直线则直线l与b的距离当又双曲线C的渐近线为双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线右支上的任意点到直线的距离为。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。（2）方法二双曲线的右支上存在点到直线的距离为，则由（1）得，设当，0将代入（2）得（*）方程（*）不存在正根，即假设不成立故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l的距离为16.（2009重庆卷理）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；（Ⅱ）如题图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；解（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a＞b＞0）.设，由准线方程得.由得，解得a=2,c=，从而b=1，椭圆方程为.又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,从而，当且仅当，即点M的坐标为时上式取等号，的最大值为4.（II）如图（20）图，设.因为，故①因为所以.②记P点的坐标为，因为P是BQ的中点所以由因为，结合①，②得故动点P的估计方程为目录第一章总论11、项目名称及承办单位12、编制依据43、编制原则54、项目概况65、结论6第二章项目提出的背景及必要性81、项目提出的背景82、项目建设的必要性9第三章项目性质及建设规模131、项目性质132、建设规模13第四章项目建设地点及建设条件171、项目建设地点172、项目建设条件17第五章项目建设方案251、建设原则252、建设内容253、工程项目实施33第六章节水与节能措施371、节水措施372、节能措施38第七章环境影响评价391、项目所在地环境现状392、项目建设和生产对环境的影响分析393、环境保护措施……404、环境影响评价结论……………..……………42第八章劳动安全保护与消防441、危害因素和危害程度442、安全措施方案443、消防设施…………...45第九章组织机构与人力资源配置461、组织机构462、组织机构图46第十章项目实施进度481、建设工期482、项目实施进度安排483、项目实施进度表48第十一章投资估算及资金筹措491、投资估算依据492、建设投资估算49目录TOC\o"1-3"\f\h\u15739第一章总论 452391.1项目概述 4108251.2项目提出的背景和必要性 4177201.3项目建设的可行性分析 166440第二章项目依据和范围 20167162.1项目编制依据 20262292.2编制原则 20168752.3项目编制范围 219126第三章市场发展预测及行业关键指标分析 22254183.1二手车市场风险及发展预测 22292673.2目前二手车价格分析 2597423.3二手车关键指标分析 2818504第四章项目选址与建设条件 36188284.1项目选址 36279964.2区域建设条件 36114604.3社会环境简况 3718670第五章项目建设内容与规模 3952445.1项目建设内容 3910615.2建设规模 3926338第六章项目实施进度安排 4128529第七章环境保护和交易流程 42127077.1二手车交易市场污染评估与处理 42196807.2二手车交易流程 4213659第八章项目经营管理与劳动定员 49282258.1项目经营管理 49188798.2劳动定员 49197508.3劳动保护和安全生产 5018428第九章投资概算及资金筹措 51