安徽省六安市沈台中学高三数学文联考试卷含解析

安徽省六安市沈台中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点A、B、C、D均在球O上，，，若三棱锥D-ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（

）.A.36π B.16π C.12π D.参考答案：B试题分析：设的外接圆的半径为，，，，，，三棱锥的体积的最大值为，到平面的最大距离为，设球的半径为，则，，球的表面积为，故选B．考点：球内接多面体．【思路点睛】本题考查球的半径，考查球的体积的计算，首先要从题目中分析出主要信息，进而求出球的半径．确定到平面的最大距离是关键．确定，，利用三棱锥的体积的最大值为，可得到平面的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球的表面积．2.设集合，则A∩B等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A3.复数(

)

参考答案：A略4.在复平面内，复数对应的点的坐标是(

) A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（1，1）参考答案：A考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．解答： 解：由=，则复数对应的点的坐标是：（﹣1，1）．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．5.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（）A． B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，|MF|=x0+．利用圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，可得|MA|=2（x0﹣），利用=2，求出x0，p，即可求出|AF|．【解答】解：由题意，|MF|=x0+．∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，∴|MA|=2（x0﹣），∵=2，∴|MF|=|MA|，∴x0=p，∴2p2=8，∴p=2，∴|AF|=1．故选B．【点评】本题考查抛物线的方程与定义，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．6.下列说法中正确的是（）A.事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B.事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件参考答案：D试题分析：互斥事件是不可能同时发生的事件，而对立事件是A不发生B就一定发生的事件，他两个的概率之和是1．解：由互斥事件和对立事件的概念知互斥事件是不可能同时发生的事件对立事件是A不发生B就一定发生的事件，故选D点评：对立事件包含于互斥事件，是对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，认识两个事件的关系，是解题的关键．7.函数的图象在点处的切线的倾斜角为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为（）A．[﹣1，0） B．[﹣，] C．（﹣1，0） D．（﹣1，1）参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A，B两点处的切线互相平行，即在A，B两点处的导数值相等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧．根据A，B两点处的导数相等，得到x1与x2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．【解答】解：由题意，f（x）=x3﹣|x|=，当x≥0时，f′（x）=3x2﹣1，当x＜0时，f′（x）=3x2+1，因为在A，B两点处的切线互相平行，且x1＞x2，所以x1＞0，x2＜0（否则根据导数相等得出A、B两点重合），所以在点A（x1，y1）处切线的斜率为f′（x1）=3x12﹣1，在点B（x2，y2）处切线的斜率为f′（x2）=3x22+1所以3x12﹣1=3x22+1，即，（x1＞x2，x2＜0）表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是（﹣1，0），故选：C．9.正方体的棱上到异面直线，的距离相等的点的个数为（

）2．

3．

4．

5．

参考答案：C略10.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（

）A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：C【知识点】算法与程序框图.H1

解析：s=1+（1-1）2=1，不满足判断框中的条件，k=2，

s=1+（2-1）2=2，不满足判断框中的条件，k=3，

s=2+（3-1）2=6，不满足判断框中的条件，k=4，

s=6+（4-1）2=15，不满足判断框中的条件，k=5，

s=15+（5-1）2=31，满足判断框中的条件，退出循环，输出的结果为k=5【思路点拨】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环输出结果.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程实数解的个数为

。参考答案：212.设向量=（1，x），=（x，1），若?=﹣||?||，则x=．参考答案：﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先求出，，然后代入即可得到关于x的方程，解出x即可．【解答】解：，；∴由得：2x=﹣（x2+1）；解得x=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】考查向量坐标的数量积运算，根据向量坐标求向量长度的方法．13.设无穷等比数列的前n项和为Sn，首项是，若Sn＝，，则公比的取值范围是

．参考答案：因为，所以，则，即，所以，因为，所以，所以，即，所以公比的取值范围是。14.在△中，三个内角所对的边分别是．若则

．参考答案：15.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是

参考答案：

16.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的顶点都在球面上，若AA1＝2，BC＝1，∠BAC＝150°，则该球的体积是________________．

参考答案：略17.=__________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)极坐标系中，已知点，的极坐标分别为，，点是平面内一动点，且，动点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）以极点为直角坐标系原点，极轴为正半轴建立直角坐标系，设点在曲线上移动，求式子范围。参考答案：（Ⅰ）设点，则，，由，得，得，所以曲线的极坐标方程为.（Ⅱ）由互化公式，曲线的直角坐标方程为，令，则直线系与圆有公共点，则，则。19.“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.参考答案：（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，所以40名读书者中年龄分布在的人数为.（2）40名读书者年龄的平均数为.设中位数为，则解得，即40名读书者年龄的中位数为55.（3）年龄在的读书者有人，年龄在的读书者有人，所以的所有可能取值是0,1,2，，，，的分布列如下：012数学期望.20.某高校从2016年招收的大一新生中，随机抽取60名学生，将他们的2016年高考数学成绩（满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段[90，100），[100，110）…[140，150），后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校2016年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2016年高考数学成绩不低于120分的人数；（3）若用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[90，100）内的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a的值．（2）由频率分布直方图能估计该校招收的大一新生2016年高考数学成绩不低于120分的人数．（3）用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，则数学成绩在[90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在分数段[90，100）内的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.005+0.01×2+0.02+0.025+a）×10=1，解得a=0.03（2）由频率分布直方图估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于1的人数为：（0.03+0.025+0.01）×10×960=624（人）．（3）用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，∵数学成绩在[90，100）分数段内的学生频率为0.005×10=0.05，数学成绩在[140，150]分数段内的学生频率为0.010×10=0.10，∴数学成绩在[90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，∴将该样本看成一个总体，从中任取2人，基本事件总数n=15，至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内，∴至少有1人在分数段[90，100）内的概率：P=．21.已知实数且函数的值域为（Ⅰ）求实数的值（Ⅱ）若至少存在一个实数使得成立，求实数的取值范围参考答案：22.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，，，，，，.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，然后在Rt△PDA中求解即可；（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC；（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，且为直线DF和平面PBC所成的角，然后在Rt△DPF中求解即可.【详解】解：（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//