第07章离散化控制系统

自动控制理论第七章离散化控制系统普通高等教育“十一五〞国家级规划教材7/7/20231第一节引言

如果在系统中一次或几次的信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的脉冲或数码信号，这种系统称为离散化控制系统。由于这些离散信号是连续函数经采样后形成的，故又称这类系统为采样控制系统。自动控制理论图7-1计算机控制系统方框图7/7/20232从A/D和D/A转换器看模拟量与数字量之间的转换关系，且两者有着确定的比例关系，因而图7-1可以简化为图7-2图7-2计算机控制系统图7-3计算机控制系统自动控制理论7/7/20233

采取分时处理方式，用一台计算机控制多个被控对象。图7-4计算机多路控制系统自动控制理论7/7/202341〕有利于系统实现高精度2〕有效地抑制噪声，提高了系统抗扰动的能力3〕不仅能完成复杂的控制任务，而且易于实现修改控制器的参数4〕有显示、报警等多种功能自动控制理论计算机控制系统的优点分析离散系统的常用方法有两种：Z变换法和状态空间分析法。7/7/20235第二节信号的采样与复现

把连续信号变成脉冲或数字序列的过程叫做采样，把采样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。一、采样过程图7-５信号的采样自动控制理论7/7/20236式中：，KT—脉冲出现时刻〔7-2〕〔7-1〕图7-６理想脉冲序列自动控制理论7/7/20237图7-7采样脉冲的调制过程考虑当t<0时，f(t)=0，那么有〔７-３〕自动控制理论7/7/20238─脉冲产生的时刻；─KT时刻的脉冲强度；把窄脉冲信号当理想脉冲信号处理是近似的，也是有条件的。二、采样定理设用于调制器载波的窄脉冲信号为；如图7-8所示。用傅立叶级数表示为〔7-4〕〔7-5〕自动控制理论7/7/20239其中,假设令那么…图7-８矩形窄脉冲序列自动控制理论7/7/202310图7-９连续信号f*(t)与采样后离散信号f*s(t)自动控制理论7/7/202311假设令那么或自动控制理论7/7/202312图7-10f(t)及f*s(t)的频谱图图7-11理想滤波器特性自动控制理论7/7/202313图7-８可知，相邻两频谱不重叠交叉的条件是香农采样定理图7-12时的频谱图香农定理的物理意义是：采样角频率假设满足，那么就含有连续信号f(t)的全部信息，通过图7-11所示的理想滤波器，那么可把原信号f(t)不失真的复现。自动控制理论7/7/202314如用理想脉冲序列采样的离散化信号，其傅氏变换表达式二、零阶保持器把采样值按常数、线形函数和抛物线函数外推的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。图7-13零阶保持器的输出特性自动控制理论7/7/202315零阶保持器()是把kT时刻的采样值恒值地保持到下一采样时刻〔K+1〕T。由图7-13(b)得脉冲响应传递函数频率特性把代入上式，得自动控制理论7/7/202316图7-15由ZOH恢复的fh(t)信号图7-14ZOH的幅频和相频特性是一种近似的带通滤波器由恢复的函数比原函数在相位上要平均滞后自动控制理论7/7/202317第三节Ｚ变换与Ｚ反变换一、Ｚ变换设离散化信号令，那么定义：Ｚ变换的三种求法：自动控制理论7/7/202318解：例7-1求：１、级数求和法当时，，那么有如果,那么上式可写为：例7-2求：，解：如果,那么：自动控制理论7/7/2023192、局部分式法例7-3求的Z变换解：例7-4求解：自动控制理论7/7/2023203、留数计算法设的拉氏变换为，且其为真有理式，令为的极点，那么Z变换用下式求得为在上的留数。假设含有的一阶极点时，对应的留数为：假设含有的q阶重极点时，对应的留数为：自动控制理论7/7/202321例7-5求解例7-6试求的Z变换解二、Ｚ变换的根本性质自动控制理论7/7/202322１、线性定理证：2、滞后定理设t<0时,；那么：式中k、T均为常量。证：自动控制理论7/7/202323考虑到n<k，那么有：延迟环节图7-17的滞后特性自动控制理论7/7/2023243、超前定理证：如果，那么自动控制理论7/7/2023254、终值定理设f(t)的Z变换为F(z)，且F(z)不含有z＝１的二重及以上的极点和单位圆外的极点，那么F(t)的终值为证：５、复数移位定理自动控制理论7/7/202326证：令，那么：6、卷积定理设,,的Z变换分别为,,且当t<0时,那么证：自动控制理论7/7/202327考虑到：时那么：令：当k=0时,三、反变换把反变换为的过程叫Z的反变换，记为1、长除法自动控制理论7/7/202328例7-8,求的反变换解2、局部分式法步骤:将分母的多项式分解为因式把展开为局部分式求各局部分式项的Z变换之和例7-9,求自动控制理论7/7/202329或k=0，1，2…3、反演公式例7-10,求的Z反变换自动控制理论7/7/202330解或第四节脉冲传递函数脉冲传递函数定义：在零初始条件下，输出离散化信号的Z变换与输入离散化信号的Z变换之比，即自动控制理论7/7/202331图7-18脉冲传递函数令那么自动控制理论7/7/202332当t=kT时，考虑到t<0时，那么由卷积定理得离散化系统的脉冲传递函数就是该系统单位脉冲响应函数采样值的Z变换自动控制理论7/7/202333图7-19脉冲响应为使能真实地反映C〔t〕,假设在采样开关后没有设置ZOH,那么要求G〔S〕分母多项式S的阶次至少高于其分子二阶。自动控制理论7/7/202334一.串联环节的脉冲传递函数图7-20串联环节的两种连接形式所以图(a)自动控制理论7/7/202335图(b)例7-11,令图7-20中的

试求(a)、(b)两种连接形式下的脉冲传递函数解：图(a)图(b)例7-12,求图7-21a所示系统的脉冲传递函数。自动控制理论7/7/202336自动控制理论图7-21具有ZOH的脉冲传递函数解：令,那么7/7/202337二.闭环脉冲传递函数图7-22离散控制系统自动控制理论所以由于7/7/202338对于单位反响系统图7-23具有数字控制器的离散系统自动控制理论7/7/202339图7-24离散控制系统自动控制理论7/7/202340例7-13,求图7-25所示系统的闭环脉冲传递函数自动控制理论或7/7/202341例7-14,求图7-25所示系统的单位阶跃响应图7-25具有ZOH的离散控制系统图中a=1,k=1,T=1s.解把代入,得自动控制理论7/7/202342图7-26图7-25所示系统的单位阶跃响应曲线自动控制理论7/7/202343第五节差分方程一、差分定义一阶前向差分二阶前向差分一阶后向差分二阶后向差分自动控制理论7/7/202344二、差分方程图7-28离散控制系统当t=kT时,由于所以三、用Z变换求解差分方程自动控制理论7/7/202345例7-15求解以下差分方程解：因为所以K=0,1,2…例7-16求解以下差分方程自动控制理论7/7/202346解：,将代入方程得,对方程等号两边取Z变换,得其中因为所以或K=0,1,2…自动控制理论7/7/202347图7-29例7-16x(k+1)和x(k)的响应曲线四、用迭代法求解差分方程例7-17试用迭代法求解以下差分方程自动控制理论7/7/202348解例7-18闭环系统的脉冲传递函数为假设,系统稳定系统不稳定求解系统的单位阶跃响应。自动控制理论7/7/202349解000000012345000.3680.3680.3680.3680.3680.3680.368010.2640.2640.2640.26411.3991.399-0.233-0.632-0.8841.3991.3991.147表7-3式〔7-53〕求解的迭代过程自动控制理论7/7/202350第六节离散控制系统的性能分析一、稳定性分析令,那么闭环脉冲传递函数的极点假设,即的所有极点均位于Z平面上的单位圆内,那么自动控制理论7/7/2023511.S平面与Z平面间的对应关系S平面Ｚ平面σ＜０Σ＝０Σ＞０Σ＝＋∞单位圆内单位圆的圆圈单位圆的外围坐标原点自动控制理论离散系统稳定的充要条件:闭环脉冲传递函数的所有极点均位于Z平面上的单位圆内。7/7/202352设,,那么ω平面上的虚轴,即自动控制理论图7-31s平面向z平面的映射2.劳斯稳定判据令或7/7/202353图7-31z平面向w平面的映射经ω变换后,离散化系统特征方程一般形式为自动控制理论Z平面上单位圆的内域对应ω左半平面；Z平面上单位圆的外域对应ω右半平面。结论Z平面上单位圆的圆周对应ω平面的虚轴的虚轴；7/7/202354例7-19,试用劳斯稳定判据确定该系统稳定时K值范围。图7-32离散控制系统解自动控制理论7/7/202355令代入上式劳斯表0.316K1.26402.376-0.316k>0,0<k<0.866采样具有降低系统稳定性作用。二、闭环极点与瞬态响应的关系自动控制理论7/7/202356设令那么假设无重极点,那么自动控制理论7/7/2023571、实数极点位于单位圆内正实轴上极点对应的瞬态分量是一个单调的衰减过程，而位于圆内负实轴上极点对应的瞬态分量是正负交替变化的衰减过程。2、共轭极点设一对共额极点为令自动控制理论7/7/202358图7-33s、z平面上的极点分布及其对应的脉冲响应自动控制理论7/7/202359下面分析S平面上不同闭环极点与其脉冲响应间的对应关系。⑴图7-33a中示出了实部不同，虚部均为的4对共轭极点和4个实极点。图7-33a中所示的极点均映射到Z平面的正实轴上，为图7-33b所示。在一个完整的振荡周期内只采一次，因而采样后的脉冲序列不能反映原有脉冲响应的变化规律。⑵自动控制理论7/7/202360图7-34s、z平面上的极点分布及其对应的脉冲响应由于即自动控制理论7/7/202361在一个完整的振荡周期内，每隔180°采一次，采样后的输出为正负交替的脉冲序列。⑶自动控制理论7/7/202362图7-35s、z平面上的极点分布与其脉冲响应的对应关系自动控制理论7/7/202363在一个完整的振荡周期内，采样的次数分别为8次，4次和3次，闭环极点尽可能配置在Z平面上单位圆内正实轴的附近，且距坐标原点的距离越小越好。自动控制理论7/7/202364三、离散系统的稳态误差图7-36离散控制系统自动控制理论7/7/202365条件：系统稳定，且不含Z=1的二重及二重以上极点。1、阶跃输入静态位置误差系数0型系统：其中为常数Ⅰ型和Ⅱ型系统：自动控制理论7/7/2023662、斜坡输入静态位置误差系数其中0型系统：Ⅰ型系统：自动控制理论7/7/202367Ⅱ型系统：3、抛物线函数输入，静态加速度误差系数其中自动控制理论Ⅱ型系统：0型、Ⅰ型系统：7/7/202368第七节离散控制系统的数字校正数字控制器脉冲函数D(z)设一离散控制系统如图7-37所示。图中，D(z)为数字控制器的脉冲传递函数，G(s)为零阶保持器与被控对象的广义传递函数。由图7-37求得该系统的闭环脉冲传递函数。图7-37离散控制系统自动控制理论7/7/202369根据式〔7-68〕和式〔7-69〕，求得数字控制器脉冲传递函数D〔z〕的两种表示形式：由式〔7-68〕和式〔7-69〕可知由此得出离散系统数字控制器的设计步骤是:根据对离散系统性能指标的要求,确定闭环脉冲传递函数T〔z〕和Te〔Z〕按式〔7-70〕或式〔7-71〕设计数字控制器D〔z〕上述仅是从理论上导求数字控制器，要使所求的D〔z〕能在实际中能付诸实施，还必须满足以下条件：自动控制理论7/7/202370D〔z〕必须是稳定的。D〔z〕必须满足物理上可实现的条件。最少拍系统的根本概念最少拍系统是指在典型输入信号作用下,能以有限拍的时间结束其响应过程。并在采样点上实现无稳态误差。图7-38s平面与z平面的映射关系由S平面与Z平面间的映射关系可知：S平面虚轴左方的等δ线，映射到Z平面上是一半径为，圆心在坐标原点的圆，如图7-38所示。当时,，即闭环极点位于Z平面的坐标原点处，相当于连续系统的极点位于S平面左半平面的无穷远处，这种系统能以最短的时间到达稳态值，故称其为最少拍控制系统。自动控制理论7/7/202371设离散控制系统的闭环脉冲传递函数为当T(z)所有的极点均位于z平面的坐标原点处，那么系统的闭环特征多项式为〔7-73〕这样式〔7-73〕就简化为〔7-74〕对式(7-74)取z的反变换，求得系统脉冲响应的序列。〔7-75〕自动控制理论7/7/202372这表示其单位脉冲响应的瞬态过程式能以n拍有限时间结束。其中，n为闭环脉冲传递函数的极点数。最少拍系统的设计单位阶跃函数，单位斜坡函数和单位加速度函数的z变换表达式分别为〔7-76〕自动控制理论7/7/202373式中，A〔z〕为不含有〔1-z-1〕因子的z-1的多项式，m为正整数。最少拍系统的数字控制器D〔z〕是在满足以下条件下求得：1〕系统的广义被控对象G〔z〕中不含有延迟因子z-1，且在z平面的单位圆上和圆外均无零、极点。2〕要求所选择的闭环脉冲传递函数T〔z〕能满足系统在典型输入信号作用下，经过有限个采样周期后，系统的输出就能以无稳态误差跟踪输入信号。由式〔7-69〕可知〔7-77〕根据终值定理，得〔7-78〕自动控制理论7/7/202374下面具体讨论在3种典型输入信号作用下的最少拍系统设计。〔1〕单位阶跃函数输入于是由式〔7-70〕求得系统的输出响应为自动控制理论7/7/202375图7-39a为最少拍系统的单位阶跃响应曲线。〔2〕单位斜坡函数输入据此，求得系统对应的D〔z〕为系统的输出自动控制理论7/7/202376自动控制理论或写作图3-39b为最少拍系统的单位斜坡响应序列〔3〕单位加速度函数输入据此，求得系统对应的D(z)为系统的输出7/7/202377图7-39c为最少拍系统单位加速度函数的响应序列图7-39最少拍系统的响应曲线自动控制理论7/7/202378最少拍系统对于不同的典型输入信号，对其闭环脉冲传递函数和相应的数字控制器的要求见表7-5表7-5最少拍系统设计的总结自动控制理论典型输入闭环脉冲传递函数数字控制器的脉冲传递函数D(s)调节时间ts7/7/202379结论：最少拍系统不仅动态响应快，而且无稳态误差，其设计方法简单，所求的数字控制器D〔z〕易于在计算机上实现。最少拍系统是针对某一典型输入信号而设计，因而所求的数字控制器D〔z〕只适用于该输入信号，对于其他的输入信号，系统就不再具有最少拍系统的特性，因而这种设计方法对输入信号的适应性较差。例7-20现有一按单位斜坡输入设计的最少拍系统，由表7-5可知，其闭环脉冲传递函数为检验该系统在单位阶跃和单位加速度信号输入时的响应特性。解单位阶跃输入为自动控制理论7/7/202380即系统的输出为单位加速度输入为即图7-40和图7-41所示分别为单位阶段跃和单位加速度函数输入时的系统输出响应序列自动控制理论7/7/202381图7-41图7-40〔3〕最少拍系统对参数的变化很敏感，另导致系统的闭环极点偏离z平面的坐标原点，使系统的性能变坏。〔4〕最少拍系统的设计只能保证在采样点上的误差为零，但不能使采样点间的误差为零，即系统存在着纹波。图7-42中的虚线为在单位斜坡输入下最少拍系统的实际响应曲线。图7-42例7-21一离散控制系统如图7-43所示。其中K=10，Tm=1s,采样周期T=1s。要求该系统在r(t)=t输入时，实现最少拍控制。自动控制理论7/7/202382求数字控制器D〔z〕；分析该系统输出信号中有纹波的原因。图7-43例7-21中的离散控制系统解〔1〕由表7-5可知，系统的闭环脉冲传递函数应为而自动控制理论7/7/202383那么由工〔7-70〕得〔2〕因为所以零阶保持器的输入为即自动控制理论7/7/202384该系统相关点的波形如图7-44～图7-46所示。数字控制器D〔z〕的实现最少拍控制系统的设计是与输入信号R(z)的形式、广义对象的脉冲传递函数G(z)以及对输出有无纹波的要求有关。为了能设计出稳定的物理上可实现的最少拍控制系统的数字控制器D(z)必须按如下提出的要求去选择T(z)和Te(z)由式〔7-70〕得〔7-79〕根据式〔7-79〕，提出以下要求：1〕为了保证系统稳定，T(z)和Te(z)不能含有z平面上单位圆上和单位圆外的极点。2〕假设G(z)中含有延迟因子z-r，那么需选择T(z)的分子局部要含有与G(z)完全相同的延迟因子z-r。3〕T(z)需把G(z)在单位圆上和单位圆外的零点作为自己的零点。自动控制理论7/7/2023854〕D(z)的极点数必须大于或等于其零点数。图7-45图7-46自动控制理论7/7/202386第八节MATLAB在离散控制系统中的应用自动控制理论用MATLAB对离散系统进行分析与设计，有如下的优点：1〕离散系统稳定性的判别可由MATLAB直接求出闭环系统特征方程式的根，或在z平面上直接画出闭环极点来答复。2〕应用Simulink直接对离散系统进行参数的调整与仿真，通过输出响应曲线可直观地看到系统校正前后性能的变化。显然，用这种方法有利于设计出性能优良的离散系统。一、数学模型的处理1.求z变换和z反变换MATLABToolbox工具箱中的指令ztrans和iztrans分别用于求取时间函数的z变换和z反变换。求取时间函数f(t)的z变换可用指令F=ztrans(f)7/7/202387自动控制理论求取F(z)的z反变换的指令为F=iztrans(F)例7-22〔1〕求单位斜坡函数f(t)=t的z变换〔2〕求F(z)=z/3z2-4z+1的z反变换解1〕在MATLAB命令窗口中键入指令：SymstT;Ztrans(t*T);运行结果为Ans=T*z/(z-1)^22〕在MATLAB命令窗口中键入指令：Symsz;F=z/(3*z^2-4*z+1);f=iztrans(F);7/7/202388自动控制理论运行结果为Ans=1/2-1/2*〔1/3〕^n2.模型转换将连续系统模型G(s)转换为离散系统的模型G(z)，可用指令c2d来实现，其格式为sysd=c2d(sys,T)或sysd=c2d(sys,T,method)前一种格式表示对连续对象sys离散化，且有零阶保持器，采样周期为T。后一种格式比前一种格式多了用“method〞定义离散化的方法。“method〞可为以下字符串之一：‘zoh’——零阶保持器;“foh〞——一阶保持器;‘tustin’——双线性逼近〔tusin〕方法;‘prewarp’——采用改进fusin方法;7/7/202389自动控制理论反之，要实现由离散系统模型转换为连续系统的模型，可以使用指令d2c，其格式为sys=d2c(sysd,T,method)例7-23G(s)=1/s(s+1)，T=1s，求G〔z〕。Sys=tf([1],[110]);C2d(sys,1)运行结果略。二、离散系统的输出响应1.输入函数的MATLAB表示1〕单位阶跃输入假设令k=100，T=1s，那么在MATLAB中表示为7/7/202390自动控制理论2〕单位斜坡输入假设取k=50，那么在MATLAB中表示为3〕单位加速度函数输入假设取k=10，T=0.2s，那么在MATLAB中表示为2.求离散系统的输出响应设离散系统的闭环脉冲传递函数为令输入信号为r，那么可用指令Y=filter(num,den,r)求取系统的输出响应。7/7/202391自动控制理论例7-24一离散控制系统如图7-47所示。假设令K=1，T=1s，r(t)=1(t)，求系统的输出响应。图7-47例7-24中的离散控制系统解由传递函数G(s)的z变换G(z)，求得该系统的闭环脉冲传递函数%MATLAB程序如下Num=[0.6320];Dem=[1,-0.732,0.368];U=ones(1,51);K=0:50;Y=filter(num,den,u);Plot(k,y),grid;Xlabel(‘k’);ylabel(‘y(k)’);运行结果如图7-48所示。图7-48图7-47所示系统的单位阶跃