安徽省宿州市第四中学高二数学理月考试卷含解析

安徽省宿州市第四中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合若,则（

） A． B． C． D．参考答案：D2.若，则sin（π+2α）=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】利用两角差的正弦函数公式化简已知等式，得：（cosα﹣sinα）=，两边平方后，利用二倍角公式可求sin2α的值，进而利用诱导公式化简所求即可得解．【解答】解：∵，可得：（cosα﹣sinα）=，∴两边平方可得：1﹣2sinαcosα=，解得：sin2α=，∴sin（π+2α）=﹣sin2α=﹣．故选：A．3.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A． B． C．3 D．6参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】通过抛物线的图象，利用抛物线的定义以及=3，求解即可．【解答】解：如下图所示，抛物线C'：B的焦点为（2，0），准线为x=﹣2，准线与x轴的交点为N，P过点Q作准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义知：|MQ|=|QF|，又因为=3，所以，3|MQ|=|PF|，所以，，可得：|MQ|=4×=．所以，．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．4.若向量与的夹角的余弦值为，则（

）Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．2或参考答案：C5.将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1m，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率P（A）=．故选：A．6.若圆的方程为(θ为参数)，直线的方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是(

)A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定参考答案：B【分析】先求出圆和直线的普通方程，再判断直线与圆的位置关系得解.【详解】由题得圆的方程为，它表示圆心为原点，半径为1的圆.直线的方程为x-y-2=0,所以圆心到直线的距离，所以直线和圆相交，故选：B【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.记Ⅰ为虚数集，设，，则下列类比所得的结论正确的是（

）A．由，类比得B．由，类比得C.由，类比得D．由，类比得参考答案：C8.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，则△ABC的形状是（

）A．

等边三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形参考答案：B略9.已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是

(

)A．

B．

C． D．参考答案：A10.已知集合，下列结论成立的是(

)A．NM

B．M∪N=M

C．M∩N=N

D．M∩N={2}参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于命题：，则是

．参考答案：12.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3﹣a6=0，则=．参考答案：28【考点】等比数列的通项公式．【分析】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n项和得答案．【解答】解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案为：28．13.设f（x）=﹣x3+x2+2ax，若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是

．参考答案：a＞

【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解，只需f′（）＞0即可，根据一元二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵，∴函数的导数为f′（x）=﹣x2+x+2a，若函数f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在（，+∞）上有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a，∴只需f′（）＞0即可，由f′（）=﹣++2a=2a+＞0，解得a＞，故答案为：a＞．14.某射击运动员在四次射击中打出了10，x，9,8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这则数据的方差是

.参考答案：15.已知函数是定义在上的偶函数，若方程恰有两个实根，

则实数的取值范围是

▲

．参考答案：略16.为椭圆上的点，是其两个焦点，若，则的面积是

▲

．参考答案：略17.给定两个命题P：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．参考答案：解：命题P：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，则“a＝0”，或“a>0且a2－4a<0”．解得0≤a<4.命题Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，则Δ＝1－4a≥0，得a≤.因为P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则P，Q有且仅有一个为真命题，故綈P∧Q为真命题，或P∧綈Q为真命题，则或解得a<0或<a<4.所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(，4)．

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知实数a,b满足：关于x的不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R均成立

（1）验证a=-2,b=-8满足题意；（2）求出满足题意的实数a，b的值，并说明理由；

（3）若对一切x>2，都有不等式x2+ax+b≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围。参考答案：解析：（1）当a=-2,b=-8时，所给不等式左边=x2+ax+b|=|x2-2x-8|≤2|x2-2x-8|=|2x2-4x-16|=右边

∴此时所给不等式对一切x∈R成立

（2）注意到2x2-4x-16=0x2-2x-8=0(x+2)(x-4)=0x=-2或x=4∴当x=-2或x=4时|2x2-4x-16|=0

∴在不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|中分别取x=-2，x=4得

又注意到（1）知当a=-2，b=-8时，所给不等式互对一切xR均成立。∴满足题意的实数a,b只能a=-2,b=-8一组

（3）由已知不等式x2-2x-8≥(m+2)x-m-15对一切x>2成立x2-4x+7≥m(x-1)对一切x>2成立①

令②则（1）m≤g(x)的最小值

又当x>2时，x-1>0

（当且仅当时等号成立）

∴g(x)的最小值为6（当且仅当x=3时取得）③∴由②③得m≤2∴所求实数m的取值范围为（-∞，2]

19.（本题12分）已知函数（1）当=2时，求的零点；（2）若是的极值点，求的[1，]上的最小值和最大值；（3）若在上是增函数，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）的零点为0，3，-1.（2）是的极值点a=4

f（x）在递减，递增f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12最小值为-18，最大值为-6（3）在上是增函数恒成立记略20.从扬州中学参加2018年全国高中数学联赛预赛的500名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．（1）根据表中已知数据，你认为在①、②、③处的数值分别为

▲

，

▲

，

▲

．（2）补全在区间[70，140]上的频率分布直方图；（3）若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？

分组

频数

频率[70，80）

0.08[80，90）

0.10[90，100）

③[100，110）

16

①[110，120）

0.08[120，130）

②

0.04[130，140]

0.02合计

50

参考答案：解：（1）0.32；2；0.36

（2）如图．

（3）在随机抽取的50名同学中有7名出线,．

答：在参加的500名中大概有70名同学出线．

21.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短半轴长为1，离心率为（1）求椭圆C的方程（2）直线l与椭圆C有唯一公共点M，设直线l的斜率为k，M在椭圆C上移动时，作OH⊥l于H（O为坐标原点），当|OH|=|OM|时，求k的值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：b=1，e==，a2=b2+c2，则a=2，即可求得椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，令△=0，得m2=4k2+1，由韦达定理可知：2x0=﹣，x02=，则OM丨2=x02+y02=，|OH|2==，由|OH|=|OM|，即可求得k的值．【解答】解：（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由题意可知b=1，由椭圆的离心率e==，a2=b2+c2，则a=2∴椭圆的方程为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设直线l：y=kx+m，M（x0，y0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令△=0，得m2=4k2+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由韦达定理得：2x0=﹣，x02=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴丨OM丨2=x02+y02=x02+（kx+m）2=①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又|OH|2==，②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由|OH|=|OM|，①②联立整理得：16k4﹣8k2+1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴k2=，解得：k=±，k的值±．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C的极坐标方程是.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）己知直线l与曲线C交于A、B两点，且，求实数a的值.参考答案：（1）l的普通方程；C的直角坐标方程是；（2）【分析】（1）把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线的普通方程，由曲线C的极坐标方程为ρ＝2si