2021年北京第七十八中学高二数学理联考试卷含解析

2021年北京第七十八中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值（

）A．－8

B．－1

C．1

D．8参考答案：D2.圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0的公切线有（）A．.1条 B．.2条 C．.3条 D．.4条参考答案：D【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，1；两圆圆心距离：=＞2+1，说明两圆相离，因而公切线有四条．故选：D．3.过椭圆的一个焦点F作与椭圆长轴的夹角为arccos的直线，交椭圆于A、B两点。若|AF|?|BF|=1?3，那么椭圆的离心率等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D4.如果执行如程序框图，那么输出的S等于（）A．20 B．90 C．110 D．132参考答案：C【考点】循环结构．【分析】先根据循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出所求．【解答】解：根据题意可知该循环体运行10次第一次：s=2，第二次：s=2+4，第三次：s=2+4+6…∴S=2+4+6+…+20=110．故选C．5.设，则的反函数=（

）(A)1+

(B)

(C)-1+

(D)1-

参考答案：C略6.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，别且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是

D

A

B

C

参考答案：C7.房间有8个人坐成一排,现要调换其中3个人中每一个人的位置,其余5个人的位置不变,则不同的调换方式有A. B. C. D.参考答案：B本题主要考查的是排列组合的应用,意在考查学生的逻辑思维能力.分步进行考虑,先从8人中选出3人有种方法,3人位置全调,由于不能是自己原来的位置,因此有种排法,故有种调换方式,故选B.8.已知函数，其中为常数．那么“”是“为奇函数”的(

)A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略9.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0参考答案：B【考点】简单线性规划．

【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示在坐标系中画出可行域平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，则目标函数z=2x+y的最小值为2．经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，则目标函数z=2x+y的最大值为：4．故选B．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．10.在平行四边形中，为一条对角线，

A．（2，4）

B．（3，5）C．（—2，—4）

D．（—1，—1）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

▲

.参考答案：或

12.已知某算法的流程图如图所示，输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，…．若程序运行中输出的一个数组是(t，－8)，则t=

．参考答案：8113.若函数为奇函数，且当则的值是_________

参考答案：14.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与面BCC1B1所成角的正切值为

．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空直角坐标系，利用向量法能求出DE与面BCC1B1所成角的正切值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空直角坐标系，∵E为BC1的中点，∴D（0，0，0），E（1，2，1），∴=（1，2，1），设DE与面BCC1B1所成角的平面角为θ，∵面BCC1B1的法向量=（0，1，0），∴sinθ=|cos＜，＞|=||=，∴cosθ=，∴tanθ=．故答案为：．15.渐近线为且过点的双曲线的标准方程是_______

____

参考答案：16.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至多有一个偶数”正确的反设应为

．参考答案：a，b，c中至少有两个偶数【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a，b，c中至少有两个偶数”，由此得出结论．【解答】解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“自然数a，b，c中至多有一个偶数”的否定为：“a，b，c中至少有两个偶数”，故答案为：a，b，c中至少有两个偶数．17.不等式的解集为___________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分）已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值；（2）求在上的最大值；（3）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？参考答案：（1）当时，，由题意得，解得；-----3分

（2）由（1），知，①当时，，由，得；由，得或；所以在和上单调递减，在上单调递增。因为，，，则在上的最大值为2.

②当时，，当时，；当时，在上单调递增；所以在上的最大值为.故当时在上的最大值为；当时在上的最大值为2.

----6分（3）假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，因为是以O为顶点的直角三角形，所以，

不妨设，则，且，即。（*）是否存在，等价于方程（*）是否有解。

若，则，代入方程的（*），得，此方程无实数解。当时，则，代入方程的（*），得，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，从而，则的值域为。则当时方程有解，即方程(*)有解。所以对于任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形的斜边中点在轴上。

-----------12分略19.已知函数f（x）=x3+mx2﹣m2x+1（m为常数，且m＞0）有极大值9．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率为﹣5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程．参考答案：考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（I）求出导函数，求出导函数等于0的两个根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况的表格，求出极大值，列出方程求出m的值．（II）将（I）求出的m的值代入导函数，利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率，令导数等于﹣5，求出x即切点横坐标，将横坐标代入f（x）求出切点坐标，利用直线方程的点斜式写出切线方程．解答：解：（Ⅰ）f’（x）=3x2+2mx﹣m2=（x+m）（3x﹣m）=0，则x=﹣m或x=m，当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：从而可知，当x=﹣m时，函数f（x）取得极大值9，即f（﹣m）=﹣m3+m3+m3+1=9，∴m=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2﹣4x+1，依题意知f’（x）=3x2+4x﹣4=﹣5，∴x=﹣1或x=﹣．又f（﹣1）=6，f（﹣）=，所以切线方程为y﹣6=﹣5（x+1），或y﹣=﹣5（x+），即5x+y﹣1=0，或135x+27y﹣23=0．点评：本题考查利用导数求函数的极值的步骤：求出导数；令导数为0求出根；列出表格判断根左右两边导函数的符号；求出极值．考查导数的几何意义：导数在切点处的值是曲线的切线斜率．20.（12分）解下列不等式：（1）（6分）

（2）（6分）参考答案：略21.(10分)某几何体的三视图如下，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为和，几何体的高为，求此几何体的表面积和体积．参考答案：22.在平面直角坐标系xoy中，设抛物线C：y2=4x（1）求抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标；（2）设命题p：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于点A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为kMA，kMB，kAB若为定值，则kAB为定值．判断命题p的真假，并证明；（3）写出（2）中命题p的逆命题，并判断真假（不要求证明）．参考答案：解：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，解得x=4，∴抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标为4．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，则，，∵点A，B在抛物线C上，∴，即，代入上式，化简得：===，kAB==，∴+为定值时，y1+y2为定值，∴kAB为定值．（3）命题p的逆命题：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为kMA，kMB，kAB，若kAB为定值，则+为定值．命题p的逆命题是真命题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，由此能求出抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，则，，由此能证明当+为定值时，kAB为定值．（3）把命题p的题设和结论互换，能求出逆命题，命题p的逆命题是真命题．解答：解：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，解得x=4，∴抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标为4．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x