2021年福建省南平市九三英华高级中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021年福建省南平市九三英华高级中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面向量与的夹角为60°，则=（

）A．

B．

C．4

D．12参考答案：B2.设为坐标原点，第一象限内的点的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，则的最小值为（

）（A）

（B）

（C）1

（D）4参考答案：B略3.执行如图所示的程序框图，则输出的n值为（

）A．9

B．10

C.11

D．12参考答案：C执行程序框图过程如下：第一次循环，是；第二次循环，是；第三次循环，是；…第九次循环，是；第十次循环，否，结束循环.输出，故选C.

4.已知函数，其中的最小正周期为，且当时，取得最大值，则

（

）

A．在区间上是增函数

B．在区间上是增函数

C．在区间上是减函数

D．在区间上是减函数

参考答案：A本题考查了三角函数的图象性质，考查了正弦波的周期性、最值性，难度中等。

因为最小正周期为，所以，又因为且，则，函数解析式为，由此逐个检验四个答案，故选A.5.在等于

（

）

A．-13

B．-26

C．13

D．26参考答案：D6.球O的半径为1，该球的一小圆O1上两点A、B的球面距离为，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.已知，不等式的解集是，则满足的关系是(

)A．

B．

C．

D．的关系不能确定参考答案：B8.已知直线平面，直线平面，给出下列命题：①∥

②⊥∥

③∥⊥

④∥

其中正确命题的序号是（

）A．①②③

B．②③④

C．①③

D．②④参考答案：C9.已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B．试题分析：因为，，所以点在第四象限．又因为，所以角的最小正值为．故应选B．考点：任意角的三角函数的定义．10.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为A． B． C． D．1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}满足,,若[x]表示不超过x的最大整数，则

．参考答案：112.曲线在点处的切线方程为

．参考答案：13.已知x，y满足，且z=2x﹣y的最大值与最小值的比值为﹣2，则a的值是．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】由题意可得先作出不等式表示的平面区域，由z=2x﹣y可得y=2x﹣z，则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小，可求Z的最大值与最小值，即可求解a．【解答】解：由题意可得，B（1，1）∴a＜1，不等式组表示的平面区域如图所示的△ABC，，由z=2x﹣y可得y=2x﹣z，则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小，作直线L：y=2x，把直线向可行域平移，当直线经过A时z最小，由，可得A（a，2﹣a），此时Z=3a﹣2，当直线经过点B时，z最大，B（1，1），此时z=1，故=﹣2，解得：a=，故答案为：．【点评】线性规划是高考重要内容，也是常考内容．此题考查该知识点增加一点变化，比较好．14.已知点和在直线的两侧，则的取值范围是

参考答案：15.从等腰直角的底边上任取一点，则为锐角三角形的概率为

；参考答案：

16.如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=

m．参考答案：17.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知的面积为，b-c=2,则a的值为

参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点α，β，且α＜β，若f（α）＜b+1恒成立，求实数b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出α的范围，求出，根据函数的单调性求出f（α）的最大值，从而求出b的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），…（2分）令g（x）=x2+mx+1，对应△=m2﹣4，若△≤0，即﹣2≤m≤2时，f'（x）≥0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）若△＞0时，即m＜﹣2或m＞2时，当m＞2时，对应方程的根分别为x1，x2，且由根与系数的关系可知：，所以两根均为负数，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（4分）当m＜﹣2时，对应方程的两根均为正数，且，，此时函数f（x）在（0，x1）上单调递增，（x1，x2）上单调递减，（x2，+∞）上单调递增．综上：当m≥﹣2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＜﹣2时，f（x）在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函数有两个极值点α，β，则m＜﹣2，且即：，解得0＜α＜1…（8分），．…（9分）∵0＜α＜1，∴f'（α）＞0，即函数y=f（α）在0＜α＜1上单调递增，…（10分）∴，∴，即．综上可得：．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．19.（14分）已知函数f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值：（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职?x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a进行讨论；（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对?x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，即求f（x）min≥k2+6k恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a2﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分③当a＞1时，2a＞a+1，∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分（Ⅲ）当a=时，f（x）=﹣+lnx，由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减，因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，∴f（e）﹣f（1）=．设g（x）=x2﹣11x+25，则g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且e＜3＜，∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分若要满足对对?x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，只需f（x）min≥k2+6k恒成立，即求﹣5≥k2+6k恒成立，即k2+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．体会数学转化思想的运用．20.今天你低碳了吗？近来国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×0．785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0．785等，某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：A小区

低碳族

非低碳族

B小区

低碳族

非低碳族

比例P

1/2

1/2

比例P

4/5

1/5

（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰好有两人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳中有20%的人加入到低碳族的行列，如果两周后随机地从A小区中任选25个人，记表示25个人中的低碳族人数，求E和参考答案：（1）0.33（2）,．（1）记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A（2）设A小区有a人，2周后非低碳族的概率2周后低碳族的概率依题意,所以,．21.如图，在多面体中，四边形是正方形，AC=AB=1，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值的大小.参考答案：（1）证明见解析；（2）.试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：解：（1）取的中点，连结，，，，，四边形为平行四边形，从而，面，面面

2分，，四边形为平行四边形，且又是正方形，，且故为平行四边形，面，面面

，面面面，面

6分（2）四边形为正方形,,，

由勾股定理可得：，，

，面，，由勾股定理可得：，

8分故以为原点，以为轴建立坐标系如图，则，，所以，，，.设面的法向量为，由，令，则设面的法向量为，则则，令，则

10分所以设二面角的