2021年辽宁省大连市第三十一高级中学高二数学理月考试题含解析

2021年辽宁省大连市第三十一高级中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（

）A．是的必要条件

B．是的必要条件C．是的充分条件

D．是的充分条件参考答案：B2.已知数列{an}是等比数列，且a1=，a4=﹣1，则{an}的公比q为（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．参考答案：C【考点】等比数列．【分析】由已知的题意利用等比数列的通项公式建立关于公比的方程即可．【解答】由，故选C．3.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为()A．2

B．3C．4

D．5参考答案：C4.设为正数，且，则下列各式中正确的一个是 （

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略5.已知条件：，条件：<1，则是成立的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件参考答案：B6.设是三条不同的直线，是两个不同的平面，则能使成立是()A．

B．C．

D．参考答案：C7.用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是(

)A1

B2

C3

D4参考答案：B略8.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为()A.1 B.0 C.－1 D.－1或1参考答案：B【分析】根据复数为纯虚数的概念，得到复数的实部为0，并且虚部不为0求出m．【详解】因为复数z=m（m+1）+（m2－1）i（i为虚数单位）是纯虚数，所以，解得m=0；故答案为：B．【点睛】本题考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0并且b≠0．9.平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为(

)A.椭圆

B.圆

C.椭圆或线段或不存在

D.不存在参考答案：C略10.复数（A）

（B）

（C）

(D)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的值域为

.参考答案：.12.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则抛物线上一点P（2，b）到抛物线焦点的距离是．参考答案：4【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2=2px的焦点坐标得p=4，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：∵双曲线﹣y2=1中a2=3，b2=1∴c=2，得双曲线的右焦点为F（2，0）因此抛物线y2=2px的焦点（，0）即F（2，0）∴=2，即p=4，∴抛物线上一点P（2，b）到抛物线焦点的距离是2+2=4故答案为4．13.设双曲线（）的渐近线方程为,则该双曲线的离心率为

参考答案：14.对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：对原式子变形得到即故得到故答案为：.

15.方程表示曲线C，给出以下命题：①曲线C不可能为圆；

②若1<t<4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<t<.其中真命题的序号是____________(写出所有正确命题的序号)．参考答案：略16.已知随机变量,．则的值为

．参考答案：117.当满足不等式组时，目标函数的最小值是

.

参考答案：-3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一缉私艇在A处发现在北偏东45°方向距离12海里的海面上C处有一走私船正以10海里/小时的速度沿东偏南15°方向逃窜，缉私艇的速度为14海里/小时。若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追及所需时间和α角的正弦值。参考答案：解:

设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过小时后在B处追上,

则有，

所以所需时间2小时,略19.（12分）在雅安发生地震灾害之后，救灾指挥部决定建造一批简易房，供灾区群众临时居住，房形为长方体，高2.5米，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2.5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内。（1）设房前面墙的长为，两侧墙的长为，一套简易房所用材料费为p，试用。（2）一套简易房面积S的最大值是多少？当S最大时，前面墙的长度是多少？参考答案：解：（1）依题得，

（2）

又因为，解得

,，当且仅当时S取得

最大值。答：每套简易房面积S的最大值是100平方米，当S最大时前面墙的长度是米。20.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和，∴a1=11．当n≥2时，．又∵an=6n+5对n=1也成立所以an=6n+5，{bn}是等差数列，设公差为d，则an=bn+bn+1=2bn+d．当n=1时，2b1=11﹣d；当n=2时，2b2=17﹣d由，解得d=3，所以数列{bn}的通项公式为；（Ⅱ）由，于是，，两边同乘以2，得．两式相减，得==﹣n?2n+2．所以，．21.在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的焦点为（﹣，0）（，0），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若圆M：x2+（y﹣m）2=1上的点到椭圆上的点的最远距离为+1，求m的值；（3）过坐标原点作斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，点N为椭圆上任意一点（异于点P，Q），设直线NP，NQ的斜率均存在且分别记为kNp，kNQ．证明：对任意k，恒有kNPkNQ=﹣．参考答案：（1）解：由题意得，解得a=2，b=1，∴椭圆方程为=1．（2）解：设圆M上任取一点S，椭圆上任取一点T，则ST≤MT+MS=MT+1，故转化为求圆心M到椭圆上点T的距离的最大值，即MT的最大值，设T（x，y），则MT2=x2+（y﹣m）2，又∵点T在椭圆上，∴，∴MT2=x2+（y﹣m）2=﹣3y2﹣2my+m2+4（﹣1≤y≤1），当﹣，即m≥3，此时y=﹣1，MT2取到最大值为m2+2m+1，∴（m+1）2=5，解得m=﹣1?[3，+∞），舍去，当﹣，即m≤﹣3时，此时y=1，MT2取到最大值为m2﹣2m+1，∴（m﹣1）2=5，解得m=1?（﹣∞，﹣3]，舍去，当﹣1，即﹣3＜m＜3时，y=﹣，MT2取到最大值为，∴，解得，符合题意，∴m的值为±．（3）证明：根据题意知P，Q关于原点对称，∴，，∴kNP?kNQ==，又点P，N在椭圆上，∴，两式相减，得，∴对任意k，恒有kNPkNQ=﹣．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意得，由此能求出椭圆方程．（2）原题转化为求MT取最大值实数m的求解，设T（x，y），则MT2=x2+（y﹣m）2=﹣3y2﹣2my+m2+4（﹣1≤y≤1），由此利用分类讨论思想能求出m的值．（3）由已知得kNP?kNQ==，由此能证明对任意k，恒有kNPkNQ=﹣．解答：（1）解：由题意得，解得a=2，b=1，∴椭圆方程为=1．（2）解：设圆M上任取一点S，椭圆上任取一点T，则ST≤MT+MS=MT+1，故转化为求圆心M到椭圆上点T的距离的最大值，即MT的最大值，设T（x，y），则MT2=x2+（y﹣m）2，又∵点T在椭圆上，∴，∴MT2=x2+（y﹣m）2=﹣3y2﹣2my+m2+4（﹣1≤y≤1），当﹣，即m≥3，此时y=﹣1，MT2取到最大值为m2+2m+1，∴（m+1）2=5，解得m=﹣1?[3，+∞），舍去，当﹣，即m≤﹣3时，此时y=1，MT2取到最大值为m2﹣2m+1，∴（m﹣1）2=5，解得m=1?（﹣∞，﹣3]，舍去，当﹣1，即﹣3＜m＜3时，y=﹣，MT2取到最大值为，∴，解得，符合题意，∴m的值为±．（3）证明：根据题意知P，Q关于原点对称，∴，，∴kNP?kNQ==，又点P，N在椭圆上，∴，两式相减，得，∴对任意k，恒有kNPkNQ=﹣．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查直线的斜率之积为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22.在中，角所对的边分别为，且满足，．