欧氏空间和酉空间课件

矩阵论电子教程DepartmentofMathematics,CollegeofSciences哈尔滨工程大学理学院应用数学系

内积空间第二章教学内容和基本要求1.理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系.3.理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法，2.了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定方法.4.掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质

重点:

内积空间的概念；正交基及子空间的正交关系难点:正交变换的判定方法

定义:设V是R上线性空间,存在映射,使对任意x,y,z∈V,c∈R,有 (1).(x,y)=(y,x) (2).(x+y,z)=(x,z)+(y,z) (3).(cx,y)=c(x,y) (4).(x,x)≥0且等号成立当且仅当x=0. 一、欧氏空间与酉空间的定义1.欧氏空间的定义§2,1欧氏空间和酉空间（对称性）（数乘）（可加性）（正定性）①V为实数域R上的线性空间;②V除向量的线性运算外，还有“内积”运算;欧氏空间V是特殊的线性空间注：

则称在V上定义了一个内积().线性空间V称为:

实内积空间.有限维实内积空间称为Euclid空间③内积

例1．在中，对于向量

当时，1）即为几何空间中内积在直角坐标系下的表达式这样对于内积就成为一个欧氏空间.易证满足定义中的性质～.1）定义

（1）

所以,为内积.则称为的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质：定义：设，用表示以的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记补充:复共轭转置矩阵定义：设,如果，那么称为

Hermite矩阵,如果，那么称为反Hermite矩阵。定义:设V是C上线性空间,存在映射:使得对任意x,y,z∈V,

c∈C,有 (1). (2).(x+y,z)=(x,z)+(y,z) (3).(cx,y)=c(x,y) (4).(x,x)≥0且等号成立当且仅当x=0. 则称在V上定义内积(,).V称为复内积空间. 有限维复内积空间称为酉空间.2、酉空间的定义例3

设是维复向量空间，任取规定例4在中,对定义:则是酉空间

容易验证是上的一个内积，从而成为一个酉空间3、几点说明:欧氏空间和酉空间统称为内积空间。当(x,y)=0时,称x与y正交,记x⊥y.定义x的长度为:定义x,y的夹角θ的余弦为:定义x与y的距离为:1.欧氏空间的性质：二,内积的简单性质2.酉空间的性质：3.定理:

设V是实的或复的内积空间,设x,y∈V,c为常数(实数或复数),则(1).(2).(Cauchy-Schwarz不等式)(3).(三角不等式)(2).(Cauchy-Schwarz不等式)证明：不妨假设考虑取，则有：所以(3).(三角不等式)证明：由Cauchy-Schwarz不等式三,内积在基下的矩阵定义：设是维内积空间，为其一组基底，令:,则称:

为内积在基下的矩阵(又称度量矩阵)

在线性空间中,向量是可以由基来唯一的表示,而内积空间是赋予了运算的向量空间,即是两个向量的运算,所以,自然要考虑到内积与基的关系定理1:设为内积空间的一组基,则:(1)内积在基下的矩阵是Hermite矩阵(2),其中:(3)若,均有:定理2:设内积空间的内积在两组基,下的矩阵分别为和,并且:,则:证明:设,

则:所以例5，,定义内积:对欧氏空间,求内积在基1,下的矩阵.解:由于是实对称阵,所以:定义2：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量，向量总是单位向量，称此过程为单位化。一,向量的正交与标准正交基

§2.2向量的正交标准正交基定义1：在酉空间中，如果，则称

与正交。记为:定义3：设为一组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组定义4：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。例1

在中向量组都是标准正交向量组定理1:标准正交向量组必为线性无关向量组证明:设为标准正交向量组,即:令:,并和做内积:即线性无关,所以,是线性无关组

维欧氏(酉)空间中，由个向量构成的正交向量组称为正交基；由单位向量构成的正交基称为标准正交基.

注：①由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基.定义5：（正交与标准正交基的定义）②维欧氏(酉)空间V中的一组基为标准正交基(1)

定义6：设为一个阶复矩阵，如果其满足则称是酉矩阵，一般记为定义7：设为一个阶实矩阵，如果其满足则称是正交矩阵，一般记为

二.酉矩阵正交矩阵例2.是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵酉矩阵与正交矩阵的性质：设，那么证明5:设是的特征值,则存在使得:证明6:设,由知:

所以,这里

(ii)

(i)设有

定理1设V是维欧氏(酉)空间

为V的一组标准正交基，则证明:因为定理2:维欧氏(酉)空间V中的一组基为标准正交基当且仅当其度量矩阵

推论:设为酉(欧氏)空间,为的两组标准正交基,为过渡矩阵,在两组基下的坐标分别为,则:(定理1)维欧氏(酉)空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.三.标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程

(定理2)设欧氏(酉)空间的线性无关组,则在中存在正交向量组,且其中:为单位上三角阵.Schmidt正交化过程:化成正交向量组先把线性无关的向量组再单位化得标准正交向量组不难证明:是V中正交向量例1.把

变成单位正交的向量组.解：令正交化再单位化即为所求．例2.在中定义内积为

求的一组标准正交基．(由基出发作正交化)解:取正交化单位化于是得的标准正交基一,子空间的正交1,定义:2)与是欧氏(酉)空间V中的两个子空间，如果对则称子空间与为正交的，记作恒有

§2.3正交子空间1)设是欧氏(酉)空间V中的子空间,如果对恒有

则称向量与子空间正交，记作①当且仅当中每个向量都与正交．

②③当且时，必有

说明:④若,则:2,定理:(1),设酉(欧氏)空间,为标准正交基,则:(2),设,则:证明:设:反之,令:则有:即:二、正交子空间的和1.正交补的定义：如果欧氏空间V的子空间满足并且则称为的正交补.2．

维欧氏空间V的每个子空间都有唯一正交补.证明：当时，V就是的唯一正交补．

当时，也是有限维欧氏空间.取的一组正交基由定理，它可扩充成V的一组正交基记子空间

显然,又对

即为的正交补.

再证唯一性.设是的正交补，则由此可得对由上式知

即有

又从而有

即有

同理可证唯一性得证.证明：设子空间两两正交，3.两两正交的子空间的和必是直和．要证明中零向量分解式唯一．只须证：设

由内积的正定性，可知②维欧氏空间V的子空间W满足:

①子空间W的正交补记为即i)

ii)iii)注：ⅳ)W的正交补必是W的余子空间.但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.定义：设是一个维酉空间，是的一个线性变换，如果对任意的都有则称是的一个酉变换。1.酉变换的定义§2.4酉(正交)变换、正交投影一,酉变换与正交变换定理1：酉（正交）变换是线性变换定理2：设是一个维酉（正交）空间，是的一个线性变换，那么下列陈述等价：（1）是酉（正交）变换；(2)（3）将的标准正交基底变成标准正交基底；（4）酉（正交）变换在标准正交基下的矩阵表示为酉（正交）矩阵。推论：设为阶酉（正交）矩阵，则