第16次课-矩估计幻灯片

不像其他科学，统计从来不打算使自己完美无缺，统计意味着你永远不需要确定无疑。

——GudmundR.Iversen【统计名言】1第七章参数估计2在数理统计中经常要根据样本来对总体的种种统计特征做出判断。实际工作中碰到的问题大致分为两类：一是总体的分布往往可以根据经验来判断其类型，但确切的形式并不知道，亦即总体的参数未知；二是在某些情况下，所关心的并不是总体的分布，而只是总体的某些数字特征，特别是数学期望和方差。因此，要根据样本来估计总体的参数，这类问题称为参数估计。参数估计的方法：点估计和区间估计。估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本方差等【例如】

样本均值就是总体均值的一个估计量参数用表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是的估计值【参数估计的相关概念】3§7.1点估计一、点估计的概念4点估计是指把总体的未知参数估计为某个确定的值或在某个确定的点上.点估计的方法有很多，本节主要介绍:矩法和极大似然估计法.二、矩法

其基本思想是用样本矩估计总体矩.

理论依据:它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.大数定律记总体k阶原点矩为样本k阶原点矩为记总体k阶中心矩为样本k阶中心矩为5这是含待估参数的联立方程组，其解可作为待估参数的矩估计量,其观察值为待估参数的矩估计值.7【例1】已知总体X的概率密度为:其中未知，样本为，求参数的矩法估计.【解】只有一个参数，因此只需一个方程即可.而因此有解得用样本1阶矩“代替”总体1阶矩，即■8方程组为【解】估计两个参数需要两个方程，即分别用样本1、2阶矩“代替”总体1、2阶矩.【例2】而另外又有因此有方程组9解得参数的矩估计量分别为：■10

【练习】已知总体X的概率密度为:〖解〗因为总体一阶矩其中未知参数θ>0,求θ的矩估计量.由11故所求矩估计量为：即解得:■12【例3】在某班期末数学考试成绩中随机抽取9人的成绩.结果如下表所示，试求该班数学成绩的平均分数，标准差的矩估计值.序号123598764分数948963657175788555而样本1、2阶矩分别为【解】设X为该班数学成绩，而总体X的1、2阶矩为13解得参数的矩估计量分别为：■14【练习】求服从二项分布b(m,p)的总体X未知参数p的矩估计量.

〖解〗单参数，离散型.由即故所求矩估计量为：■因为所以总体X的一阶矩(期望)为15

矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布。缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息。一般场合下,矩估计量不具有唯一性。其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性。16三、极大似然估计法极大似然估计法是在总体的分布类型已知的条件下所使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出.GaussFisher然而这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.17

【例子】是谁击中的野兔,你会怎样想?若让你推测一下，一只野兔从前方窜过，只听一声枪响，野兔应声倒下.某同学与一位猎人一起外出打猎。忽然，极大似然估计法是基于极大似然原理提出的。为了说明极大似然原理,

我们先看个例子。18你会想：只一枪便击中,一般情况下猎人击中的概率比同学击中的概率大。故，这一枪极大可能是猎人打的。你的这一想法中就已经包含了极大似然估计法的基本思想.为了进一步体会极大似然估计法的思想,我们再看一个例子.19【例如】有一事件A，我们知道它发生的概率只可能是:p=0.1，0.3或0.6若在一次观测中，事件A竟然发生了，你自然会认为事件A发生的概率是0.6，而非其他数值。【极大似然原理】概率大的事件在一次观测中更容易发生。试让你推想一下应取何值?由上述两例可知，极大似然估计法是要选取这样的，当它作为估计值时，使观测结果出现的可能性最大，即概率最大.20设X为离散型总体，其分布律为：对来自总体X的样本（X1,X2,…,Xn），若在极大似然估计法中，关键的问题是求似然函数。下面分别就离散型总体与连续型总体介绍似然函数的求法。1、似然函数（1）离散型总体似然函数的定义为其观测值，样本的联合分布律为:称为样本的似然函数。21（2）连续型总体似然函数的定义设X为连续型总体，其概率密度为：对来自总体的样本,其观测值为,样本的联合概率密度为:其中未知称为样本的似然函数。2223极大似然法求估计量的步骤：24【解】

θ的似然函数为：取对数【例4】

设(X1,X2,…Xn)是来自总体X的一个样本,求θ的极大似然估计量．25求导并令其为0:=0从中解得

即为θ的极大似然估计值。26

【例5】在泊松总体中抽取样本，其样本值为

试对泊松分布的未知参数作极大似然估计.

【例6】设总体X服从上的均匀分布，求未知参数的极大似然估计量.27【练习】设X1,X2,…,Xn