高一立体几何平行垂直解答题

高一立体几何平行、垂直解答题优选1．已知直三棱柱ABC-A1B1C1，点N在AC上且CN=3AN，点M，P，Q分别是AA1，A1B1，BC的中点.求证，直线PQ∥平面BMN.2．如图，在正方形ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，能否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明原因.3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，O分别是A1B,BD的中点.1/22（1）求证：OM//平面AA1D1D；（2）求证：OMBC1.4．如图，AB为圆O的直径，点E,F在圆O上，且AB//EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面垂直，且ADEFAF1,AB2.（1）求证：平面AFC平面CBF；（2）在线段CF上能否存在了点M，使得OM//平面ADF？并说明原因.5．已知：正三棱柱ABCA1B1C1中，AA13，AB2，N为棱AB的中点．（1）求证：AC1P平面NB1C．（2）求证：平面CNB1平面ABB1A1．（3）求四棱锥C1ANB1A1的体积．6．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且AEAF(01).ACAD1）求证：无论为什么值，总有平面BEF⊥平面ABC；2）当λ为什么值时，平面BEF⊥平面ACD?7．如图，在菱形ABCD中，ABC60o,AC与BD订交于点O，AE平面ABCD，CF//AE,ABAE2.（I）求证：BD平面ACFE；（II）当直线FO与平面ABCD所成的角的余弦值为10时，求证：EFBE；10（III）在（II）的条件下，求异面直线OF与DE所成的余弦值.8．如图，四棱锥PABCD中，AD//BC，AD2BC4，3/22AB23，BAD900，M,O分别为CD和AC的中点，PO平面ABCD.（1）求证：平面

PBM

平面

PAC；（2）能否存在线段

PM

上一点

N

，使用

ON//平面

PAB，若存在，求

PN

的值；假如不存在，说明原因

.PM9．如图，在四棱锥

P

ABCD中，侧面

PAD是正三角形，且与底面

ABCD垂直，底面

ABCD是边长为

2的菱形，

BAD

60,N是PB的中点，过

A,D,N

三点的平面交

PC于M

，

E为

AD

的中点，求证：1）EN//平面PDC；（2）BC平面PEB；3）平面PBC平面ADMN.10．如图，四棱锥PABCD中，PD平面PAB，AD//BC，1AD，E，F分别为线段AD，PD的中点.BCCD2（Ⅰ）求证：CE//平面PAB；（Ⅱ）求证：PD平面CEF；（Ⅲ）写出三棱锥DCEF与三棱锥PABD的体积之比.（结论不要求证明）11．如图，点P是菱形ABCD所在平面外一点，BAD60，VPCD是等边三角形，AB2，PA22，M是PC的中点.（Ⅰ）求证：PAP平面BDM；（Ⅱ）求证：平面PAC平面BDM；（Ⅲ）求直线BC与平面BDM的所成角的大小.12．在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点.（Ⅰ）求证：AOCD.（Ⅱ）求证：平面AOF平面ACE.（Ⅲ）侧棱AC上能否存在点P，使得BPP平面AOF？若存在，求出AP的值；若不存在，请说明原因.PC13．在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，ADC90o，ABADPD1，CD2．5/221）求证：BE//平面PAD；2）求证：BC平面PBD；3）在线段PC上能否存在一点Q，使得二面角QBDP为45o？若存在,求PQ的值；若不存在，请PC述明原因．参照答案1．看法析【分析】试题剖析：依据题目给出的P，Q分别是A1B1，BC的中点，想到取AB的中点G，连结PG，QG后分别交BM，BN于点E，F，依据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出GE=GF=1，从而获得EF∥PQ，而后利用线面平行的判断即可得证；EPFQ3试题分析：如图，取AB中点G，连结PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.而GE∥1AM，GE=1AM，GF∥1AN，GF=1AN，且CN=3AN，所以GE=1，GF=AN=1，所以GE=GF=1，2222EP3FQNC3EPFQ3所以EF∥PQ，又EF?平面BMN，PQ?平面BMN，所以PQ∥平面BMN.2．详看法析.【分析】试题剖析:由正方体的特点及N为BB1的中点，可知平面A1FC与直线DD1订交，且交点为DD1的中点G.若过M，E的平面α与平面A1FCG平行，注意到EM∥B1D1∥FG，则平面α必与CC1订交于点N，联合M，E为棱11，11的中点，易知1∶1＝1.于是平面知足要求．CDBCCNCC4EMN试题分析:如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C时，平面EMN过点E，M且与平面A1FC平行．证明以下：设H为棱C1C的中点，连结B1H，D1H.∵C1N＝C1C，1/22C1N＝C1H.又E为B1C1的中点，∴EN∥B1H.又CF∥B1H，∴EN∥CF.又EN?平面A1，?平面A1FC，FCCF∴EN∥平面A1FC.同理MN∥D1H，D1H∥A1F，∴MN∥A1F.又MN?平面A1FC，A1F?平面A1FC，∴MN∥平面A1FC.又EN∩MN＝N，∴平面EMN∥平面A1FC.点睛:此题考察线面平行的判断定理和面面平行的判断定理的综合应用,属于中档题.直线和平面平行的判断定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行;平面与平面平行的判断定理：一个平面内的两条订交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行．3．（1）看法析（2）看法析【分析】试题剖析：（1）连结A1D，AD1，由M，O分别是A1B，BD的中点可证OM∥A1D，即可证明OM

∥平面

AA1D1D

；（2）由

D1C1∥

AB

且D1C1

AB可证

D1C1BA为平行四边形，即可证

AD1∥

BC1，再依据

A1D

AD1即可证明

OM

BC1.试题分析：（1）连结A1D，AD1，因为M，O分别是A1B，BD的中点，所以OM∥A1D，且A1D平面AA1D1D，所以OM∥平面AA1D1D（2）由题意D1C1∥AB且D1C1AB，所以D1C1BA为平行四边形，所以AD1∥BC1，由（Ⅰ）OM∥A1D，且A1DAD1，所以OMBC14．，1）证明看法析；（2，存在，看法析；【分析】试题剖析：（1）要证明平面AFC平面CBF，只需证AF平面CBF，则只需证AFCB,AFBF,再依据题目条件分别证明即可；（2，第一猜想存在CF的中点M知足OM//平面ADF，作辅助线，经过OM//AN，由线面平行的判断定理，证明OM//平面ADF。试题分析：解：（1）因为平面ABCD平面ABEF,CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，所以CB平面ABEF，因为AF平面ABEF，所以AFCB,又AB为圆O的直径，所以AFBF,因为CBBFB，所以AF平面CBF，因为AF平面AFC，所以平面AFC平面CBF.3/22（2）如图，取CF的中点M,DF的中点NA，连结N,MN,OM，则MN//CD,MN1CD，2又AO//CD,AO1CD，所以MN//AO,MNAO，2所以四边形MNAO为平行四边形，所以OM//AN，又AN平面DAF,OM平面DAF，所以OM//平面DAF，即存在一点M为CF的中点，使得OM//平面DAF.5．（1）看法析；（2）看法析；（3）33．2【分析】试题剖析：（1）要证线面平行，就是要证线线平行，考虑过直线AC1的平面AC1B与平面CB1N的交线ON（此中O是BC1与B1C的交点），而由中位线定理易得AC1//ON，从而得线面平行；（2）因为ABC是正三角形，所以有CNAB，从而只需再证CN与平面ABB1A1内另一条直线垂直即可，这可由正棱柱的侧棱与底面垂直获得，从而得线面垂直，于是有面面垂直；（3）要求四棱锥的体积，由正三棱柱的性质知A1B1C1中，边A1B1的高就是四棱锥的高，再求得四边形ANB1A1的面积，即可得体积．试题分析：（1）证明：连结BC1，交B1C于O点，连结NO，∵在VABC1中，N，O分别是AB，BC1中点，NOPAC1，∵NO平面NCB1，AC1平面NCB1，AC1P平面NCB1，（2）证明：∵在等边VABC中，N是棱AB中点，CNAB，又∵在正三棱柱中，BB1平面ABC，CN平面ABC，BB1CN，ABBB1B点，AB，BB1平面ABB1A1，∴CN平面ABB1A1，∵CN平面CNB1，∴平面CNB1平面ABB1A1．（3）作C1DA1B1于D点，5/22C1D是四棱锥C1ANB1A1高，13，hABtan6021319底面积S32，22VC1ANB1A11Sh33．32【点睛】(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判断定理.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转变，在一个平面内作交线的垂线，转变为线面垂直，而后进一步转变为线线垂直.66．（1）看法析（2）λ＝7【分析】(1)证明：，AB，平面BCD，，AB，CD.CD，BC，且AB∩BC＝B，，CD，平面ABC.∵AEAF＝λ(0＜λ＜1)，ACAD，无论λ为什么值，恒有EF，CD.EF⊥平面ABC，EF平面BEF.，无论λ为什么值恒有平面BEF，平面ABC.(2)解：由(1)知，BE，EF，，平面BEF，平面ACD，，BE平，面ACD.，BE，AC.BC＝CD＝1，，BCD＝90°，，ADB＝60°，∴BD＝2，AB＝2tan60°＝6.∴AC＝AB2＋BC2＝7.由AB2＝AE·AC，得AE＝6.∴λ＝AE＝6.7AC7故当λ＝6时，平面BEF⊥平面ACD77．（I）看法析；（II）看法析；（III）5．4【分析】试题剖析：（I）要证BD与平面ACFE垂直，只需证BD与平面ACFE内两条订交直线垂直即可，这由已知线面垂直可得一个，又由菱形对角线垂直又得一个，由此可证；

（II

）由已知线面垂直得

FC

平面

ACFE，从而知FOC为直线

FO与平面

ACFE

所成的角，从而可得

FC,FO

，而后计算出三线段

EF,BE,BF

的长，由勾股定理逆定理可得垂直；III）取BE中点M，则有MO//DE，从而可得异面直线所成的角，再解相应三角形可得．试题分析：（I）BDBDAC菱形ABCD平面ACFE{AE；BDAE平面ABCD（II）FC平面ABCD直线FC与平面ABCD所成的角FOC10并且RtFOCcosFOC10中，CO1FO10,FC3，过E作EN//AC交FC于点NRtFNE中EF5,RtFCB中FB13,RtEAB中EB8EF2EB2FB2EFEB；（III）取BE边的中点M，连结MO,MO//DE且MO1DE2FOM为所求的角或其补角，2而在RtFEM中，FMEF2EM27RtFOM中cosFOMFO2MO2FM252FOMO4异面直线OF与DE所成的余弦值为5.48．（1）证明看法析；（2）1.3【分析】7/22试题剖析：（1）以A为原点成立空间直角坐标系uuuuruuur(23,2,0)，Axyz，可得BM(3,3,0)，ACuuuuruuurAC又BMPO得BM平面PAC，从而得结论；（2）设OPh，可得平面PABBMAC0，BMruuurr2hhh0可解得.的一个法向量为n(0,h,1)，再依据ONn试题分析：（1）如图，以A为原点成立空间直角坐标系Axyz，CDuuuuruuur(23,2,0)，，，所以中点，则，，B(23,0,0)M(3,3)BM(3,3,0)C(23,2,0)D(0,4,0)uuuuruuur(3)(23)320，则BMAC所以BMAC.又PO平面ABCD，所以BMPO，由ACIPOO，所以BM平面PAC，又BM平面PBM，所以平面PBM平面PAC.（2）法一：设OPh，则O(3,1,0)uuuurh)，，P(3,1,h)，则PM(0,2,设平面PAB的一个法向量为ruuuruuurn(x0,y0,z0)，AP(3,1,h)，AB(2,0,0)，ruuur0nAP3x0y0hz00，令z01，所以ruuur0，则nAB2x00r(0,h,1)，得nuuuruuuur(0,2,h)(01)，则设PNPMuuuruuuruuur(0,2,hh)，ONOPPNuuurr1若ON//平面PAB，则ONn2hhh0，解得.3法二：（略解）：连结MO延伸与AB交于点E，连结PE，若存在ON//平面PAB，则ON//PE，证明OE1即可.EM3考点：1、利用空间向量证明线面垂直、面面垂直；2、利用空间向量研究线面平行.9．（1）看法析（2）看法析（3）看法析【分析】试题剖析：(1)先证明四边形EDMN是平行四边形，得ENPDM,DM平面PDC，从而可得结论；(2)先由面面垂直的性质可得PEBC，再证BEAD，由ADPBC可得BEBC，可得BC平面PEB；（3）由（2）可得PBMN，由等腰三角形性质得PBAN，从而由面面垂直的判断定理得结论.试题分析：（1）QAD//BC,ADADMN,BC平面ADMN,BC//平面ADMN,QMN平面ADMN平面PBC,BC平面PBC，BC//MN,又因AD//BC,AD//MN,ED//MN，QN是PB的中点，E是AD的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，EDMN1,四边形EDMN是平行四边形，9/22EN//DM,DM平面PDC,EN//平面PDC；（2）Q侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，E为AD的中点，PEAD,PEEB,PEBC,QBAD60,AB2,AE1,由余弦定理可得BE3，由正弦定理可得：BEAD由AD//BC可得BEBC,QBEPEE,BC平面PEB；(3)Q由（2）知BC平面PEB，EN平面PEBBCEN,QPBBC,PBAD,PBMN,QAPAB2,N是PB的中点，PBAN,MNANN,?PB平面ADMN.平面PBC平面ADMN.【方法点晴】此题主要考察线面平行的判断定理、线面垂直的判断定理及面面垂直的判断定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判断定理，使用这个定理的重点是想法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特点，合理利用中位线定理、线面平行的性质或许结构平行四边形、找寻比率式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在此中一平面内的直线平行于另一平面.此题（1）是就是利用方法①证明的.10．（1）看法析（2）看法析（3）【分析】试题剖析：

VDCEF1VPABD4（Ⅰ）要证线面平行，就要证线线平行，在四边形ABCD中，由已知可得AE与BC平行且相等，从而得平行四边形，所以有CE//AB，因可得线面平行；（Ⅱ）要证PD与平面CEF垂直，就要证PD与此平面内两条订交直线垂直，而已知PD与平面PAB垂直，所以PD与平面PAB内全部直线垂直，此刻已有CE//AB，所以有PDCE，再有，E,F是所在线段中点，所以有EF//PA，从而也可得PDEF，这样可得题设线面垂直；（Ⅲ）都改为以D为极点，则底面积比为1，高的比也是1，所以体积比为1．224试题分析：（Ⅰ）证明：因为BC//AD，BC1AD，2E为线段AD的中点，所以AE//BC且AEBC，所以四边形ABCE为平行四边形，所以CE//AB，又有AB平面PAB，CE平面PAB，所以CE//平面PAB．（Ⅱ）证明：因为E，F分别为线段AD，PD中点，所以EF//PA，又因为PD平面PAB，PA,AB平面PAB，所以PDAB，PDPA；所以PDEF，又CE//AB，所以PDCE因为EFCEE，所以PD平面CEF．11/22（III）结论：VDCEF1VPABD．411．（Ⅰ）看法析;（Ⅱ）看法析;（Ⅲ）.6【分析】试题剖析：（Ⅰ）要证明PA与平面MDB平行，只需找到一条平行线，因为M是PC中点，AC与BD的交点O是AC中点，则必有PA//MO，从而有线面平行；（Ⅱ）要证面面垂直，就要证线面垂直，从图形中知BDAC，在MBD，计算后可得BDMO，从而BOPA于是有线面垂直，从而得面面垂直；（Ⅲ）易证

PC

平面

BDM

，从而知

BM

为BC在平面

BDM

内的射影，所以

CBM

就是直线

BC与平面BDM

所成的角，在

CBM

中求解可得．试题分析：（Ⅰ）证明：连结

MO

.在菱形ABCD中，O为AC中点，且点M为PC中点，所以MO//A，又MO平面BDM，PA平面BDM.所以PA//平面BDM（Ⅱ）证明：在等边三角形VPCD中，DCAB，M是PC的中点，所以DM3.2在菱形ABCD中，BAD60，AB2，所以DO11.BD2又MO2，所以DO2MO2DM2，所以BDMO.在菱形ABCD中，BDAC.又ACMOO，所以BD平面PAC.又BD平面BDM，所以平面PAC平面BDM.（Ⅲ）因为BD平面PAC，PC平面PAC，所以BDPC又因为PDDC，M为PC中点，所以DMPC又DMBDD，所以PC平面BDM，则BM为直线BC在平面BDM内的射影，所以平面CBM为直线BC与平面BDM的所成角因为PC2，所以CM1，在RtVCBM中，sinCBMCM1，所以CBMBC26所以直线BC与平面BDM的所成角为.6AC上存在点P，使得BPPAOF，且AP1．12．(Ⅰ)证明看法析；(Ⅱ)证明看法析；(Ⅲ)侧棱平面PC2【分析】试题剖析：（1）要证A1OCE，只需证明A1O平面BCDE即可；（2）连结BD,因为四边形BCDE为菱形，所以CEBD,因为O,F分别为BE,DE的中点，所以OF//BD，且CEOF，由（1）知AO平面BCDE,从而证得CE平面AOF，从而证的平面AOF平面ACE；（3）设CE与BD,OF的交点分别为M,N连结AN,PM，因为四边形BCDE为菱形，O,F分别为BE,DE的中点，所以NM1，设PAPNM1MC2为AC上凑近A点三平分点，则PCMC，所以PM//AN,从而获得BP//平面AOF．2试题分析：解：（1）因为ABE为等边三角形,O为BE的中点,所以AOBE又因为平面ABE平面BCDE,平面ABE平面BCDEBE,AO平面ABE,所以AO平面BCDE,又因为CD平面BCDE,所以AOCD.13/22（2）连结BD,因为四边形BCDE为菱形，所以CEBD,因为O,F分别为BE,DE的中点,所以OFPBD,CEOF，由（1）知AO平面BCDEQCE平面BCDE,,AOCE,QAOOFO,CE平面AOF,又因为CE平面ACE,所以平面AOF平面ACE.（3）当点P为AC上的三平分点（凑近A点）时,BPP平面AOF.证明以下：设CE与BD,OF的交点分别为M,N连结AN,PM.因为四边形BCDE为菱形,O,F分别为BE,DE的中点,所以NM1,设P为AC上凑近A点三平分点，MC2则APNM1,所以PMPAN,因为AN平面AOF,PM平面PCMC2AOF,PMP平面AOF.因为BDPOF,OF平面AOF,BD平面AOF,BDP平面AOF,即BMP平面AOF,QBMPMM,所以平面BMPPAOF,平面QBP平面BMP,BPPAOF.可见侧棱AC上存在点P,使得BPP平面AOF,平面且AP1.PC2考点：直线与平面垂直的判断与证明；探究性问题的求解.PQ13．（1）看法析；（2）看法析；（3）存在，且2