2023年辽宁省阜新市统招专升本高数自考真题(含答案)

VersionStartHTMLEndHTMStartFragmentEndFragm2023年辽宁省阜新市统招专升本高数自考真题(含答案)的定义域为A.[-3,4]C.[0,2]设f(x)是连续函数，则是A.f(x)的一个原函数C.2x·f(x²)的一个原函数D.2x·f(x²)的全体原函数微分方满足y(3)=4的特解是A.x²+y²=25D.y²-x²=7函数f(x)=(x+1)e'(A.有极大值B.有极小值C.既有极大值又有极小值D.无极值A.y=2r-1B.y=2²x-1C.y=4²r1D.y=4x-1.微分方程xy'+2y+4x²=0满足初始条件y的特解是B.20.如图，曲线段的方程为y=f(x),函数f(x)在区间[0,a] A.曲边梯形ABOD的面积B.梯形ABOD的面积C.曲边三角形ACD的面积D.三角形ACD的面积D0第20题图.不定积函数的单调减区间为D.D(18.设曲线y=f(x)过点(0,1),且在该曲线上任意一点(x,y)处切线的斜率为x+e²,则已C.C设y=f(x)由参数方程(t>0)所确定，则D.B.既有水平又有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线已A.B.C.CD.D设函数f(x·y)连续，则交换积分次序为AAC.CB.BD.D已知e⁻是微分方程y"+3ay'+2y=0的一个解，则常数a=()A.1B.-1则f[g(x)]=)二、填空题(10题)微分方程微分方程通过点M(1,2,3)且与直线L:x=2+3t.y=2t,x=-1+t垂直的平面,则p=幂级的收敛区间为其中a>0,贝的反函数为三、判断题(10题)A.否B.A.否B.在区间[-1,1]上，函数满足罗尔定理，设f(x)是连续函数，满足,则A.否B.是方程x³-3x²+5x+1=0在区间(1,2)内有实根.A.否B.是是连续函数，则是是同一函数的原函数.39.方程x⁵-3x=1至少有一个根介于1和2之间.A.四、计算题(5题)求函数f(x,y)=x²+3y²-2xy+8x的极值.求幂级数的和函数.与x轴围成图形的面积.五、证明题(2题)已知方程x¹¹-x⁷-x³+x=0有一正根x=1,证明方程11x¹⁰-7x⁶-3x²+1=必有一个小于1的正根.2半径10cm的金属圆片加热后，半径伸长了0.05cm,问其面积增大了多少?求曲线y=x³-6x与y=x²所围成图形的面积.49现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做无盖纸箱，问剪去的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱的容积最大?假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的销售量分别是,Q₂=12-x,其中x为该产品在两个市场的价格(万元/吨).该企业生产这种产品的总成本函数是C=2(Q₁+Q)+5.试确定x的值，使企业获得最大利润，并求出最大利润.某家银行准备新设某种定期存款业务，假设存款量与利率成正比，经预测与存款量相同的贷款投资的收益率为16%,假定客户所有存款全部贷出，那么存款利率定为多少时，银行能获得最大利润?参考答案故选C.2.C[答案]C【精析】对本题可采用验证排除法，首先B与C选项中含任意常数C,不正确，其次对D项两边求微分与方程不符合，也错误，故应选A.令f(x)=0,得x=-2,而 e⁻²>0,故只有极小值. [答案]C,则通解为将初始条件7.Caf(a)表示以a为长，f(a)为高的矩ABCDABOD[答案][答案]B【精析】易知函数的定义域为x∈(-c,0)U(0,+x).且,令y'=0,得(驻点).故函数的单调减区问为x²)³+C.曲线过点(0,I),所以C=0,故又因为,故应选B.x²)³+C.渐近线，故选B.【精析】对等式两边关于x求导得：则【精析】先对y积分，后对x积分，则积分区域可表示为(x,y)|l≤x≤2,1≤y≤x},,故选A.令y=e⁻,y'=-e⁻,y"=e⁻*,故应选A.由[答案]D20.C[答案]C[答案]e”(xy+y²+1)【精析】【精析】微分方程的特征方程为r²-Zr+1=0,则特征方程有二重根r=1,故微分方程的通解为y=(C₁+Czx)e',[答案]3x+2y+x-10=0【精析】L的方向向量为{3,2,1},又L与所求平面垂直，则所求平面法向量可取为{3.2,1},又过点M(1,2.3),所以平面方程为3(x-1)+2(y-2)+(x-3)=0,即3x+[答案]所以幂级数的收敛半径=1,故有-1<x-5<1,即4<x<6,收敛区间为所以幂级数的收敛半径答案](y³dx+2xydy)cos(xy²)dx=y²cos(xy²)dx+2rycos(xy²)dy=drxydycosxy【精析】【精析】[答案]8a³π【精析】表示区域D的面积.本题中区域D表示为圆环域，面积为Sp=[答案]【精析】2²>0,故可判断0<y<1.又y=,可得反函数因为f(x)在[-1,1]上连续，在(-1,1)上可导，且f(-1)=f(1)=1,f(x)满足罗尔定理.32.N[答案]×【精析】,对题中等式两边取[-1,1]上的定积分，【精析】【精析】令f(x)=x³-3x²+5x+1,则f(x)=3x²-6x+5=3(x-1)²+2>0,f(x)在(1,2)内单调递增，又因f(1)=4,f(2)=7,所以当1<x<2时，4<f(x)<7,即方程在区间(1,2)内无实根.【精析】由于定积!是个常数，故其导数为0.【精析】由于定积是个常数，故其导数为0.的连续性，知1-a=a,即[答案]√2(e'-c⁻')·(c'Ie⁻')=2(c²-c⁻²),可见两个函数的导数相同，故他们是同一函数的原函数.【精析】令f(x)=x⁵-3x-1,则f(x)在闭区间[1,2]上连续，f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0.由零点定理得至少存在一点5∈(1,2),使得f(s)=0,即方程至少有一个根介于1和2之间.【精析】解得驻点为x=-6,y=-2,对于驻点(-6,-2),A=f,(-6,-2)=2,B=fy(-6,-2)=-2,于是B²-AC=4-2×6=-8<0,又因为A=2>0,所以函数在(一6,-2)处取得极小值f(-6,-2)=-24.=1.所以幂级数收敛半径R=1,在=1.所以幂级数收敛半径R=1,在端点x=±1处，级数xE(-1.1),令广(x)=0得驻点x=0,x=-1,f(x)的单调区间和极值列表如下：x-1(一1.0)0+00极大值极小值因此，f(x)的递增区间为(-,-1),(0,+x),递减区间为(-1,0),极大值为f(-1)=-2,极小值为f(0)=-c+第24题图【证明】【证明】令f(x)=x¹¹-x⁷-x³+x,则根据题意可知f(1)=0,因为f(x)在[0.1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,故方程11x¹0-7x⁶-3x²+1=0必有一个小于1的正根.【证明】且f'(x)在(0,+)上连续，则x>0且f(x)在(0,+)上连续，所以x>0+1).从而f(x)单调递增，即【精析】【精析】由解得交点为(-2,4),(0,0),(3,9),故【精析】设剪去的小正方形的边长为xcm,则纸箱的底面边长为(96-2x)cm,高为rcm,容积V=(96-2r)²·x.令V'=0得x₁=16,x₂=48(舍),由于实际问题最大值一定存在，∴当剪去的小正方形的边长为16cm时，纸箱的容积最大.x盖【精析】由已知条件得利润函数为L=(Q₁+Q₂)x-C=(Q₁+Q)x-2(Q₁+Q)-5求导得L'=-3x+24,令L'=0,得驻点x=8.根据实际情况，L存在最大值，且驻点唯一，则驻点即为最大值点.故当两个市场价格为8万元/吨时，企业获得最大利