2021年黑龙江省哈尔滨市风华中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021年黑龙江省哈尔滨市风华中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，则|z|等于（）A．3B．2 C．3 D．2参考答案：A【考点】复数求模．【分析】由已知条件利用复数代数形式的乘除运算法则和复数的实部和虚部相等，求出z=3+3i，由此能求出|z|．【解答】解：z====﹣i，∵复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，∴，解得b=﹣9，∴z=3+3i，∴|z|==3．故选：A．【点评】本题考查复数的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用．2.要得到一个奇函数，只需将的图象A、向右平移个单位

B、向右平移个单位

C、向左平移个单位

D、向左平移个单位参考答案：C略3.下列四个选项给出的条件中，能唯一确定四面体ABCD的是

A．四面体ABCD三对对棱（即没有公共顶点的棱）分别相等，长度分别是1cm，2cm,3cm

B．四面体ABCD有五条棱长都是1cm

C．四面体ABCD内切球的半径是1cm

D．四面体ABCD外接球的半径是1cm参考答案：A4.如图，点F是抛物线的焦点，点A,B分别在抛物线C和圆的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则周长的取值范围是(

)A.(3,6) B.(4,6) C.(4,8) D.(6,8)参考答案：B【分析】圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），半径r＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|＝2，|AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA，即可得出三角形ABF的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3，利用1＜yB＜3，即可得出．【详解】抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA，∴三角形ABF的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3，∵1＜yB＜3，∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知数列{an}满足，那么使成立的n的最大值为A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：B6.已知则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.y=sin（x﹣）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣π，0） B．（，0） C．（，0） D．（﹣，0）参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数y=sin（x﹣），令x﹣=kπ，k∈Z，可得它的图象的对称中心为（kπ+，0），k∈Z．令k=﹣1，可得它的图象的一个对称中心为（﹣，0），故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为(

)A． B．1

C． D．5参考答案：C9.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生。为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生A．30人，30人，30人

B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人

D．30人，50人，10人参考答案：B10.已知函数是定义在上的奇函数，当时,，函数则函数的大致图象为参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得△构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是

参考答案：略12.已知双曲线的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为．参考答案：13.等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为

．参考答案：14.已知f(x)＝x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为__________参考答案：g(x)＝3x－2略15.△ABC中，sinB既是sinA，smC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B=_________参考答案：16.设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是__________．参考答案：考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：画出函数f（x）的图象，由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2．由f（x）=﹣2，可得﹣x2=﹣2，x≥0，解得x=，故当f（f（a））≤2时，则实数a的取值范围是a≤；故答案为：点评：本题主要考查分段函数的应用，不等式的解法，关键得到f（a）≥﹣2．结合图形得到a的范围，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．17.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆：（）的焦距为，且过点（，），右焦点为．设，是上的两个动点，线段的中点的横坐标为，线段的中垂线交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围．

参考答案：解：（Ⅰ）因为焦距为，所以．因为椭圆过点（，），

所以．故，…2分所以椭圆的方程为.

…………4分（Ⅱ）由题意，①当直线AB垂直于轴时，直线AB方程为，此时、，得．………5分②当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为()，()，设，，由得，则，故．

…………6分此时，直线斜率为，的直线方程为．即．联立消去，整理得．设，所以，．

……………9分于是

．

……11分由于在椭圆的内部，故.令，，则．

……………12分又，所以．综上，的取值范围为．

……13分

略19.在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，M、N分别是AB、CF的中点，将该正方形沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥，如图所示．（1）证明：MN∥平面AEF；（2）证明：AB⊥平面BEF；（3）求四棱锥E﹣AFNM的体积．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）折叠后的图形：△ABF中，由M、N分别是AB、BF的中点，可得MN∥AF，即可证明MN∥平面AEF；（2）在正方形ABCD中，AB⊥BE，AD⊥DF，折叠后的图形B，C，D三点重合，即可证明AB⊥平面BEF．（3）：VA﹣BEF=．而=，可得VE﹣AFNM=．解答： （1）证明：折叠后的图形：△ABF中，∵M、N分别是AB、BF的中点，∴MN∥AF，MN?平面AEF，AF?平面AEF，∴MN∥平面AEF；（2）证明：在正方形ABCD中，AB⊥BE，AD⊥DF，折叠后的图形B，C，D三点重合，∴三棱锥中，AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，∴AB⊥平面BEF．（3）解：VA﹣BEF===．∵=，∴VE﹣AFNM===2．点评：本题考查了正方形的性质、线面垂直的判定与性质定理、线面平行的判定定理、三角形中位线定理、三棱锥与四棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知函数．（1）设，试讨论函数的单调区间；（2）若不等式在区间内恒成立，求出的取值范围，并证明不等式．参考答案：详见解析当时，，则在区间内单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分当时，，则在区间内单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分从而得到，对依次取值2，3，…，，可得，，……对上述不等式两边依次相加得到：．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1.导数与函数的单调性；2.函数恒成立问题；3.导数与不等式的证明.【方法点睛】本题考查了导数的综合应用问题，属于高档题型，对于本题第二问，是本题的一个难点，需要观察所证明的不等式，需要用累加法，通项是，由条件可得，当时成立，所以可转化为根据通项进行整理为，这样采用累加，放缩法证明不等式. 21.将圆x2+y2﹣2x=0向左平移一个单位长度，再把所得曲线上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得到曲线C．（1）写出曲线C的参数方程；（2）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，若A，B分别为曲线C及直线l上的动点，求|AB|的最小值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将圆方程转化成标准方程，根据坐标变换，即可求得曲线C的方程，即可求得参数方程；（2）由直线l的极坐标方程求得直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得|AB|的最小值．【解答】解：（1）圆x2+y2﹣2x=0的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，向左平移一个单位后，所得曲线的方程为x2+y2=1，把曲线x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到曲线C的方程为+y2=1，故曲线C的参数方程为（α为参数）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由ρsin（θ+）=，得ρcosθ+ρsinθ=3，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x+y﹣3=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以曲线C上的点到直线l的距离d=═≥=，所以丨AB丨≥，即当α=时，丨AB丨取得最小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比