广东省深圳市福田区2021年中考数学一模试卷(含解析)

2021年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷10.一、选择题（共小题）1．﹣5的倒数是（）A．5B．C．﹣2．我国传统文化中的5D．“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．在“百度”中搜索“深圳先行示范区”，能搜索到与之相关的信息约21700000个，若将这数据21700000用科学记数法表示为（）A．0.217×109B．2.17×108C．2.17×107D．217×1054．下列运算正确的是（）A．（﹣ab）＝abB．a3•a5＝a1523246C．（﹣a）＝﹣aD．3a2﹣2a2＝1235组数据组数据中的5．若一2，4，x，5，7的平均数为5，则这x和中位数分别为（）A．5，7B．5，5C．7，5D．7，76．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣1，a）在第二象限，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞1C．0＜a＜1D．﹣1＜a＜01/31．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（）7A．56°B．68°C．28°D．34°所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA．如图8绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）1A．4πB．．．6C4Dπ9．对于实数a，，b定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3＝＝﹣，则方程x⊗（﹣1）＝﹣1的解是（）A．＝．＝．＝．＝x4Bx5Cx6Dx710．如图，在矩形ABCD中，＝，∠的平分线交BC于ADABBAD点E．DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AD＝AE；②∠＝∠CED；③OEAED＝OD；④BH＝HF；⑤BC﹣CF＝，2HE其中正确的有（）2/31A．个．个．个．个2B3C4D5二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）5315．分解因式：﹣＝．112a182．在一个不透明的盒子中装有个白球，个黄球，它们除颜色不122n同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则＝．n．如图，无人机于空中处测得某建筑项部处的仰角为45°，13AB测得该建筑底部处的俯角为35°．若无人机的飞行高度AD为C42m，则该建筑的高度BC为．m（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，°≈tan350.70）．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，：＝：，ABAC34点是DBC上一点，＝，连接AD，作BE⊥AD于点E，连接CE，若ABBD＝，则△ACE的面积为．AD123/31．如图，菱形的一边在轴的正半轴上，是原点，对OCx15OABCO角线和相交于点，若点（，），•＝，反ACOBDC130ACOB312比例函数＝（＞）的图象经过点，并与的延长线交于yx0DBA点，则＝．EAE三、解答题（本题共小题，其中第题分，第题分，第7165176题分，第题分，第题分，第题分，第题18819820821102210分共分）.55．计算：（﹣）°﹣﹣（﹣π）．|+3.14161718+2cos45|1﹣10．先化简，再求值：（﹣）÷，其中＝．x3+1．电子政务、数字经济、智慧社会…一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数字中国建设峰会召开之际，大湾区学校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，赛后对全体参赛学生成绩按A，，，BCD四个等级进行整理，得到如图所示的不完整的统计图表．4/31组别频数频率ABCD5a0.10.4b15100.2（）参加此次比赛的学生共有人，＝，＝；1ab（）请计算扇形统计图中等级对应的扇形的圆心角的度数；2C（）已知等级五名同学中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，3A学校将从这五名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．．某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，件的进价相当195于4件的件，经市场调查发现，如果每件200商品涨价1元，每天就会少卖5件．售价，每天可售出（）该商品的售价和进价分别是多少元？1（）设每天的销售利润为元，每件商品涨价元，则当售价为2wa多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？20．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB5/31的延长线相交于点，＝．DCACD（）连接，求证：＝；1BCBCOB（）是中点，连接，，若＝，求的长．2ECEBEBE4CE．如图，已知抛物线＝图象与轴相交于（﹣，），211yax+bx+3xA302（，）两点，与轴相交于点．B10yC（）请直接写出抛物线的解析式为．1（）如图，连接，若点在轴上时，和的夹角为21ACPyAPAC15°，求线段CP的长度；（）如图，直线与轴相交于点，直线与线段相交于32lxMlBC点，当△MCN∽△CAMN时，求直线的表达式．l．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在轴上，x221在轴上．为坐标原点，AB∥OC，线段OA，的长AB分别OAyO6/31是方程﹣＝的两个根（＜）．x9x+200OAAB2（）请求出点的坐标；1B（）如图，为上一点，为上一点，＝，将△22POAQOCOQ5POQ翻折，使点落在上的点处，记∠AO'P＝α，∠PQO'＝β，O'OAB求tanα+tanβ的值；（）在（）的条件下，为坐标轴上一点，在平面内是否存在32M点，使以O'，，，为QMN顶点四边形为矩形？若存在，请直接N写出点的坐标；若不存在，请说明理由．N参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）．﹣的倒数是（）15．．．﹣．A5BC5D解：﹣与﹣的乘积是，51所以﹣的倒数是﹣．5故选：D．7/31．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这2四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；AB、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选：．B．在“百度”中搜索“深圳先行示范区”，能搜索到与之相关的信3息约21700000个，若将这数据21700000用科学记数法表示为（）．×．×A．×0.217109B．2.17×108C2.1710D2171075解：将用科学记数法表示为×．217000002.17107故选：．C4．下列运算正确的是（）．（﹣）＝．•＝abBaaaAab232463515．（﹣）＝﹣．﹣＝Ca2aD3a2a15223解：、（﹣）＝，故本选项符合题意；abAab23246、•＝，故本选项不合题意；Baaa358、（﹣）＝﹣，故本选项不合题意；Ca2a63、﹣＝，故本选项不合题意；D3a2aa2228/31故选：．A．若一组数据，，，，的平均数为，则这组数据中的和中524x575x位数分别为（）A．，．，．，．，57B55C75D77解：∵数据，，，，的平均数是，24x575∴＝×﹣﹣﹣﹣＝，x5524577这组数据为，，，，，24577则中位数为．5故选：．C．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣1，）a在第二象限，则的取6a值范围是（）A．a＜0B．a＞1C．0＜a＜1D．﹣1＜a＜0解：由点P（a﹣1，）a在第二象限，得，解得0＜a＜1．故选：．C7．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（）9/31A．56°B．68°C．28°D．34°解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF＝∠DAC＝34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，∴∠α＝56°．故选：A．8．如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）110/31A．4πB．．．6C4Dπ解：由题意，知＝，＝﹣＝，∠＝°．AC4BC422ABC901由旋转的性质，得＝＝．ACAC41在△中，∠＝＝．RtABCcosACA11∴∠＝°．ACA601∴扇形ACA的面积为＝．1即线段CA扫过的图形的面积为．故选：．D9．对于实数a，，b定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3＝＝﹣，则方程x⊗（﹣1）＝﹣1的解是（）A．＝．＝．＝．＝x4Bx5Cx6Dx7解：根据题中的新定义化简得：＝﹣，1去分母得：＝﹣，26x+1解得：＝，x5经检验x＝5是分式方程的解．故选：．B10．如图，在矩形ABCD中，＝，∠的平分线交BC于ADABBAD11/31点．⊥于点，连接并延长交于点，连接EDHAEHBHCDFDE交于点，下列结论：①AD＝；AE②∠＝∠；③OEBFOAEDCED＝；④BH＝；HF⑤BC﹣＝，其中正确的有（）CF2HEODA．个．个．个．个2B3C4D5解：①∵平分∠，AEBAD∴∠＝∠＝∠＝BAD45°，BAEDAE∵AD∥BC，∴∠＝∠＝AEB45°，DAE∴∠＝∠＝BAE45°，AEB∴＝，ABBE∴＝，AEAB∵＝，ADAB∴＝，故①正确；ADAE②在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（），AAS∴＝，BEDH∴＝＝＝，ABBEAHHD12/31∴∠＝∠＝（180°﹣45°）＝67.5°，ADEAED∴∠＝CED180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠＝∠CED，故②正确；AED∵AB＝AH，∵∠＝（180°﹣45°）＝°，∠＝∠（对顶AHB67.5OHEAHB角相等），∴∠＝OHE67.5°＝∠AED，∴＝OEOH，∵∠＝DHO90°﹣67.5°＝22.5°，∠＝ODH67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠＝∠，DHOODH∴＝OHOD，∴＝＝OEODOH，故③正确；∵∠＝EBH90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠＝∠，EBHOHD在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴＝BHHF，HE＝DF，故④正确；∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故⑤正确；13/31故选：．D二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）5315．分解因式：﹣＝（）（﹣）．112a182a+3a32解：﹣＝（﹣）2a182a922＝（）（﹣）．2a+3a3故答案为：（）（﹣）．2a+3a3．在一个不透明的盒子中装有个白球，个黄球，它们除颜色不122n同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则＝．n6解：根据题意得：＝，解得：＝，n6故答案为：．6．如图，无人机于空中处测得某建筑项部处的仰角为45°，13AB测得该建筑底部处的俯角为35°．若无人机的飞行高度AD为C42m，则102m该建筑的高度BC为．（参考数据：°≈sin35，°≈，°≈0.70）．0.57cos350.82tan35解：∵AD⊥CD，AE⊥BC，EC⊥CD，14/31∴四边形ADCE是矩形，∴＝，ADEC∵＝，AD42m∴＝，EC42m∵∠＝EAC35°，∠＝AEC90°，∴＝≈＝，AE60m∵∠＝BAE45°，∠＝AEB90°，∴∠＝∠＝BAE45°，ABE∴＝，AEBE∴＝，BE60m∴＝BCBE+EC＝＝60+42102（m），故答案为：102．14．如图，在△ABC中，∠＝BAC90°，AB：AC＝3：4，点D是BC上一点，＝，连接AD，作BE⊥AD于点E，连接CE，若ABBD＝，则△ACE的面积为AD12．2415/31解：由题意，设＝，＝，则＝，＝，AB3xAC4xBC5xBD3x∵cos∠ABC＝，∴＝（）（）﹣×（）•∠，AD3x+3x23xcosABD2222∴＝144，解得：＝，x2∵等腰三角形，＝，＝，AE6AC8∴在△ACD，中，，，∴解得：∠sinDAC＝，∴，故答案为：24．15．如图，菱形OABC的一边OC在x轴的正半轴上，是原点，对O角线AC和OB相交于点D，若点C（，），130AC•OB＝，312反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，并与BA的延长线交于点E，则＝．AE16/31解：作⊥轴于点，作⊥轴于点，AMxMBNxN∵•＝，ACOB312∴＝•AC•OB＝，156SOABC菱形∴＝＝，即•＝，COAM78SS78OAC△OABC菱形∵（，），即＝，C130OC13∴＝，AM12∴＝＝＝，OM5则（，），A512∵四边形OABC是菱形，∴∥，＝，BCOABCOA∴∠BCN＝∠AOM，在△和△中BCNAOM，∴△≌△（），BCNAOMAAS∴＝＝、＝＝，BNAM12CNOM5∴（，），B1812∵D为BO的中点，17/31∴D（，），96∵在反比例函数图象上，D∴k＝9×6＝，即反比例函数解析式为＝；54y当＝时，＝，y12x则点（，），E12∴AE＝，故答案为．三、解答题（本题共小题，其中第题分，第题分，第7165176题分，第题分，第题分，第题分，第题18819820821102210分共分）.55．计算：（﹣）°﹣﹣（﹣π）．16|1|+3.14+2cos45﹣10解：原式＝﹣4+2×﹣（﹣）1+1＝﹣﹣4++1+1＝﹣．2．先化简，再求值：（﹣）÷，其中＝．x3+171解：原式＝•＝﹣，x318/31当＝时，x3+原式＝．18．电子政务、数字经济、智慧社会…一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数字中国建设峰会召开之际，大湾区学校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，赛后对全体参赛学生成绩按A，，，BCD四个等级进行整理，得到如图所示的不完整的统计图表．组别频数频率ABCD5a0.10.4b15100.2（1）参加此次比赛的学生共有人，＝，＝；50a20b0.3（2）请计算扇形统计图中C等级对应的扇形的圆心角的度数；（3）已知A等级五名同学中包括来自同一班级的甲、乙名两同学，学校将从这五名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙名两同学都被选中的概率．19/31解：（）参加此次比赛的学生人数为＝（人）；150a＝×＝；500.420＝＝；b0.3故答案为；；；50200.3（）扇形统计图中等级对应的扇形的圆心角的度数为360°×2C0.3＝108°；（）另外三名同学用A、B、C表示，3画树状图为：共有20种等可能的结果，其中甲、乙两名同学都被选中的结果数为2，所以甲、乙两名同学都被选中的概率＝＝．售价比进价多6元，5件的进价相当200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．．某新型高科技商品，每件的19于4件的售价，每天可售出（）该商品的售价和进价分别是多少元？1（）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价a元，则当售价为2多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？解：（）设该商品每件的售价为元，进价为每件y元，由题意1x得：20/31，解得，∴该商品每件的售价为元，进价为每件元；3024（）由题意得：2w＝（﹣）（﹣）30+a242005a＝（）（﹣）6+a2005a＝﹣5a+170a+12002＝﹣（﹣），5a17+26452∴当＝时，有最大值，最大值为，此时售价为30+17a17w2645＝（元）．47∴当售价为元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为472645元．．如图，为⊙O直径，为⊙O上的一点，过点的切线与20ABCCAB的延长线相交于点，＝．DCACD（）连接，求证：＝；1BCBCOB（）是中点，连接，，若＝，求的长．2ECEBEBE4CE解：（）如图，连接，，过点作⊥，垂足为，1OCAEAAMCEM∵是⊙O的切线，PC∴∠CAB＝∠DCB，21/31又∵＝，CACD∴∠＝∠，CABCDB∴∠＝∠，DCBCDB∴＝，BCBD又∵是⊙O的直径，AB∴∠＝ACB90°，∴∠∠＝CAB+CBA90°，∵∠＝∠＝∠，CBA2CDB2CAB∴∠＝CBA90°×＝60°，∵＝，OCOB∴△OBC是正三角形，∴＝BCOB；（2）连接AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵是中点，E∴＝＝，∠＝∠＝∠＝×90°＝45°，AEBE4ACEBCEACB在Rt△AEM中，＝，∠＝∠＝CBA60°，AE4AEM∴＝＝，＝＝，EMAE2AMAE2在Rt△ACM中，＝，∠＝ACM45°，AM2∴＝＝，CMAM2∴＝＝，CEEM+CM2+2答：CE的长为2+2．22/31．如图，已知抛物线＝图象与轴相交于（﹣，），211yax+bx+3xA302（，）两点，与轴相交于点．B10yC（）请直接写出抛物线的解析式为＝﹣﹣．yx2x+312（）如图，连接，若点在轴上时，和的夹角为21ACPyAPAC°，求线段CP的长度；15（）如图，直线与轴相交于点，直线与线段相交于32lxMlBC点，当△MCN∽△CAM时，l求直线的表达式．N解：（）1设抛物线的表达式为＝（﹣）（﹣）＝（﹣）yaxxxxax112（）＝（﹣），x+3ax+2x32∴﹣＝，解得a＝﹣，3a31故抛物线的表达式为＝﹣﹣，yx2x+32故答案为＝﹣﹣；yx2x+3223/31（）当点在下方时，2PAC∵＝＝，OAOC3∴∠＝∠＝CAO45°，ACO∵和的夹角为15°，APAC∴∠＝APO45°﹣15°＝30°，则＝OPOA•tan30°＝3×＝，∴＝﹣＝﹣；PCOCOP3当点（′）在AC上方时，PP同理可得：PC＝，33故PC＝或333﹣；（）由点、的坐标得，直线AC的表达式为＝，ACyx+3324/31∵△∽△，MCNCAM∴∠＝∠，∠＝∠＝CAO45°，ACMCMNMCB∵∠＝∠，ACMCMN∴AC∥MN，故设直线l的表达式为y＝，x+t在△中，∠＝＝，∠＝°，＝＝BCMtanCBM3BCM45BC，过点M作MH⊥BC于点H，则设BH＝，x则MH＝＝，3xCH则BC＝BH+CH＝＝，x+3x解得x＝，则MB＝＝＝，x则点M的坐标为（﹣，0），将点M的坐标为代入y＝x+t并解得t＝，故直线l的表达式为y＝x+．22．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上．O为坐标原点，AB∥OC，线段OA，AB的长分别是方程﹣＝的两个根（OA＜AB）．x9x+200225/31（）请求出点的坐标；1B（）如图，为上一点，为上一点，＝，将△22POAQOCOQ5POQ翻折，使点落在上的点处，记∠OABO'AO'P＝α，∠PQO'＝β，求tanα+tanβ的值；（）在（）的条件下，为坐标轴上一点，在平面内是否存在32M点，使以O'，，，为QMN顶点四边形为矩形？若存在，请直接N写出点的坐标；若不存在，请说明理由．N解：（）﹣1x9x+20＝，02（﹣）（﹣）＝，x4x50得＝，＝．x4x512∵OA＜AB，∴OA＝，＝，4AB5∴B（，）54．（）连接BQ，226/31∵∥，＝＝，ABOCOQAB5∴四边形AOQB为平行四边形．∵∠＝AOQ90°，∴四边形AOQB为矩形，∴＝＝，∠＝ABQ90°，BQOA4∴O′B＝＝，′＝，3OA2由△POQ翻折，使点O落在AB上的点O'处，可得OQ＝＝，OQ'5∠PO′Q＝90°，∴∠∠＝1+2