矩阵分析第8章课件

第八章矩阵的广义逆序言矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆)是可逆方阵的逆矩阵概念的推广.推广后的广义逆矩阵不仅仍然适用于可逆方阵,更适用于奇异方阵,甚至适用于行列数不相等的长方阵.广义逆矩阵除了上述理论意义之外,还有更大的应用价值.广义逆矩阵是计算许多实际问题的有效工具,特别在数值分析中十分有用.本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆,右逆,自反广义逆和加号逆(伪逆矩阵)等五种广义逆.线性方程组一般理论复习定理A:线性方程组Ax=b,ACnn,x,bCn对任意右端b都有唯一解的充要条件是A-1存在.证:必要性令Ax(i)=ei,i=1,…n,X=(x(1),…x(n))Cnn,其中ei为En的第i列(今后将常用此记号)

则

AX=(Ax(1),…,Ax(n))=(e1,…,en)=EnA-1=X.充分性若A-1存在,则对任意右端bAx=bx=A-1b

即x=A-1b是线性方程组Ax=b的唯一解.线性方程组一般理论复习续定理B:对一般线性方程组Ax=b,ACrmn,xCn,bCm

(1)①(1)有解的充要条件是bR(A)={Ay|yCn}(R(A)也称为A的值域)②(1)有解的充要条件是rank(A,b)=rank

A(增广矩阵(A,b)与系数矩阵A的秩相等)③(1)的通解=(1)的特解+齐次方程组通解N(A)(齐次方程解空间N(A)={xCn|Ax=0}也称为A的核)④(1)有无穷多解的充要条件是rank

A

<

ndim

N(A)=

n-rank

A=

n-r

>

0减号逆定义8.1.1定义:若一般线性方程组Ax=b,ACmn,xCn,bCm

(1)对任意bR(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵A-Cnm

称为A的一个减号逆.因为当ACnnn时,(1)的解都可表示为

x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一减号逆:A-=A-1.这一事实说明减号逆是普通逆矩阵的推广.减号逆举例例1:A=C23有下列两个实质不同的减号逆:A-=或证:易见两种情形都有AA-=E,从而,对任意bC2,AA-b=bAx=b

有解

x=A-bC2即对任意bR(A)=C2,Ax=b的解都可表示为x=A-b所以,这两个A-都是A的减号逆.注:此例说明减号逆一般不唯一.减号逆的充要条件定理8.1.1:XCnm是ACmn的减号逆,当且仅当

AXA=A(2)证:必要性若X=A-,则对任意bR(A)都有AXb=b.令A=(1,…,n),则Aei=iR(A),ei=Xi,AXi=i,i=1,…,n,因此AX(1,…,n)=(1,…,n),得证AXA=A.

充分性若X满足(2)和x为Ax=b的解,则b=Ax=AXAx=AXb,因此,Ax=b的解可表为:x=Xb,从而得证X是A的一个减号逆.推论推论:ACmn的减号逆A-的秩不小于A的秩:rank

Arank

A-证:我们知道:乘积矩阵的秩不大于每个因子矩阵的秩.于是由AA-A=A立即推出rank

Arank

A-

下面讨论减号逆的存在性及求减号逆的方法.先复习用初等变换把任意矩阵等价变换为标准形及相关变换矩阵的计算问题.我们知道:用行,列初等变换可以把任意矩阵ACrmn

化为标准形diag(Er,0).令PCmmm,QCnnn分别表示其中所用行,列初等变换的乘积,则PAQ=diag(Er,0).

求P,Q的方法示意如下:①经行变换(A|Em)--其中BCrrn有r列(常为前r列)可构成Er.②经列变换--例8.1.2(A|Er)=注:求矩阵Q较为容易,先适当交换列顺序把B的前r列变为Er,再把所有别的元全化为0.这样一来,Q的非对角元恰好是B的对应元反号.共有8个任意参数,取全部参数为0得最简单的一个减号逆如下:A-=Q1P1=减号逆存在定理与求减号逆的方法定理a(例8.1.1):

ACrmn的减号逆A-恒存在,并有下列形式:

A-

=(8.1.4)其中,PCmmm,QCnnn

满足X,Y,Z分别为r(m-r),(n-r)r,(n-r)(m-r)参数矩阵.证:首先验证(8.1.4)满足AA-A=A:

其次证明任意减号逆A-都可写成(8.1.4)的形式其次证明任意减号逆A-都可写成(8.1.4)的形式证:对任意减号逆A-Cnm,令A-=其中AA-A=APAA-AQ=PAQ=上式左边=∴从而,W=Er,

得证所需结论.讨论①任何矩阵ACmn都有减号逆A-,最简单的一个减号逆是:

其中,Q1,P1分别是Q的前r列,P的前r行所组成的子矩阵.(见上面的例8.1.2)②(8.1.4)中的3个参数矩阵可能缺损.当ACmmn(行满秩)时,A-=QP当ACnmn(列满秩)时,A-=Q(En,X)P当ACnnn时,全缺损,A-=QEnP=QP=A-1A=P-1Q-1(由此推出:A的减号逆唯一的充要条件是ACnnn)当AC0mn(=0)时,{A-}=Cnm

(见补充题8*2)以下定理说明一个减号逆可决定全部减号逆定理b(例8.1.4):若已知矩阵ACmn的一个减号逆A-,则对一切VCnmX=A-+V-A-AVAA-

(8.1.6)

给出A的全部减号逆.证:首先(8.1.6)形的任何矩阵X都是A的减号逆:AXA=AA-A+AVA-AA-AVAA-A=A+AVA-AVA=A其次

A的任一减号逆X都满足(8.1.6):

利用A(X-A-)A=AXA-AA-A=A-A=0得

X=A-+(X-A-)-A-A(X-A-)AA-=A-+V-A-AVAA-令V=X-A-Cnm以下定理说明一个减号逆可决定全部减号逆定理c(例8.1.3):

:若已知矩阵ACmn的一个减号逆A-,则对一切V,WCnmX=A-+V(Em-AA-)+(En-A-A)W

(8.1.5)

给出A的全部减号逆.证:首先(8.1.5)形的任何矩阵X都是A的减号逆(详见教本的推导).其次A的减号逆X都满足(8.1.5).(在下式中令V=X-A-,W=XAA-即可)X=A-+(X-A-)

=A-+(X-A-)-(X-A-)AA-+XAA--A-AA-=A-+(X-A-)-(X-A-)AA-+XAA--A-AXAA-=A-+(X-A-)(Em-AA-)AA-+(En-A-A)XAA-下一定理总结了减号逆的主要性质定理8.1.2:设ACmn,R,A-表示A的减号逆,则①运算T,*与-可交换(这是T,*与-1可交换的推广)AA-A=A(AA-A)T=AT即AT(A-)TAT=AT(A-)T=(AT)-

AA-A=A(AA-A)*=A*即A*(A-)*A*=A*(A-)*=(A*)-②(A)-=+A-,其中,+=1/,当0;+=0,当=0

利用显然的等式:+=不难验证

(A)(+A-)(A)=(+)AA-A=A(A)-=+A-③

SCmmm,TCnnn

,(SAT)-=T-A–S-

这是(SAT)-1=T-1A–1S-1推广(SAT)(T-A–S-)(SAT)=SAA–AT=(SAT)定理8.1.2:设ACmn,R,A-表示A的减号逆,则④AA-,A-A都是幂等矩阵,即其平方等于自己的矩阵;并且rank

A=rank(AA-)=ramk(A-A).证:(AA-)2=AA-AA-=AA-;(A-A)2=A-AA-A=A-A.rank

A=rank

(AA-A)rank

(AA-)rank

A.rank

A=rank(AA-)

同理可证rank

A=rank(A-A).

定理8.1.2:设ACmn,R,A-表示A的减号逆,则⑤

R(AA-)=R(A),N(A-A)=

N(A)

其中,A的值域R(A)={Ay|yCn}

CmA的核(或A的解空间)N(A)={x|Ax=0}

Cn证:我们知道:对每个ACmn,R(A),N(A)都是Cm,Cn的子空间,dim

R(A)=

rank

A,dimN(A)=n-rank

A.xR(AA-),x=AA-z=AyR(A)

R(AA-)是R(A)子空间.因dimR(A)=rank

A=rank

AA-=dimR(AA-),

故由下列命题即得R(AA-)=R(A).

同理可证N(A-A)=N(A)(请大家复习时完成证明).

命题:若空间V与其子空间W有相同维数,则

W=V.证:令dim

V=dim

W=n,1,…,n为W的一组基,则1,…,n线性无关,并且其元素个数等于dim

V,所以,1,…,n也是V的基,从而V的任一元x都是1,…,n的线性组合,即xW,得证V是W子集,但W按假设是V子集,所以,W=V.证:xN(A),Ax=0A–Ax=0,即xN(A–A).所以,N(A)是N(A–A)的子空间.另一方面,dimN(A)=n-rank

A=n-rank

AA-=dimN(A–A)

由上述命题即得N(A–A)=N(A).左逆与右逆定义8.1.2:设ACmn,若存在BCnm使得AB=Em,

则称B为A的一个右逆,记为B=AR-1;同时称A为B的一个左逆,记为A=BL-1.例:对任意可逆方阵A,其逆矩阵A-1显然既是左逆,又是右逆.

另外,下列二矩阵互为左右逆:AB=E2左,右逆性质①左右逆都是减号逆.证:AAR-1=Em

AAR-1A=EmA=A,得证AR-1是A的减号逆.左逆情形的证明留作练习②ACmn有右(左)逆的充要条件是:

ACmmn(Cnmn)

注非方阵不会同时有左右逆证:A有右逆rank

Em

=rank

AAR-1=rank

A(用了①及减号逆性质)rank

A=m反之,ACmmn

m=rank

A=rank

AA*AA*Cmmm

A(A*(AA*)-1)=Em

AR-1=A*(AA*)-1存在.此外ACmn有左逆

ATCnm有右逆

ATCnnm

A=(AT)TCnmn注:A有右逆A*(AA*)-1是A的一个右逆.③ACmn有右(左)逆时,A的每个减号逆都是右(左)逆,从而,全体右(左)逆的集正是全体减号逆的集.证:令AR-1,A-分别为A的任意已知右逆和减号逆,则AAR-1=Em

和AA-A=A于是AA-=AA-AAR-1=AAR-1=Em得证A的每个减号逆A-都是它的右逆.注:右(左)逆一般不是唯一的,因减号逆一般不是唯一的.如何求已知矩阵A的左,右逆?先验证

A的左右逆是否存在,即检查它是否行满秩或列满秩.若都不是,则左右逆不存在.方法I:用公式

AR-1=A*(AA*)-1(满行秩时)

或AL-1=(A*A)-1A*(满列秩时)方法II:当为行(列)满秩时,用求减号逆的方法求出某一个减号逆(例如,最简单的减号逆),它一定是左(右)逆.求已知矩阵左(右)逆的例例(见#8*1):A=是否有左(右)逆?如有,求出其中一个.解:易见:A是满行秩,故有右逆,并且任何减号逆都是右逆.在补充题#8*1中已求得减号逆集,其中最简单的一个减号逆是较简单的方法是直接用公式计算:

AR-1=A*(AA*)-1=自反广义逆的定义定义8.1.3:设ACmn,若存在BCnm使得ABA=A,和BAB=B则称B为A的一个自反广义逆,记为B=Ar-注①:由定义知A=Br-B=Ar-.(因定义中A,B的位置完全对称)②:由定义知

自反广义逆必为减号逆,但减号逆未必是自反广义逆.反例:自反广义逆的存在与唯一性定理8.1.4:X,YCnm为ACmn的任意减号逆

Z=XAYCnm为A的一个自反广义逆.证:AZA=AXAYA=AYA=A;ZAZ=XAYAXAY=XAY=Z注:①取X=Y为A任一减号逆,则A有减号逆必有自反广义逆.我们知道任意矩阵A有减号逆,所以,

任意矩阵A有自反广义逆.②我们知道:当ACnnn时,A的减号逆唯一,就是A-1.因此,当ACnnn时,A的自反广义逆也唯一,就是A-1.可证:自反广义逆唯一

ACnnn③一般情况下A的自反广义逆可能不只一个(见定理8.1.5)命题:自反广义逆唯一

ACnnn

证:因自反广义逆Ar-是减号逆,故由定理8.1.2可写出Ar-的一般公式:Ar-=,于是Ar-AAr-=Ar-给出于是,A-=Ar-的充要条件是:Z=XY.因此,在存在唯一自反广义逆的条件下,A-=Ar-的充要条件显然是:X=Y=Z=,即ACnnn

X=或Y=Z=;否则,满足Z=XY的Ar-不只一个.减号逆为自反广义逆的充要条件定理8.1.5:A-Cnm是ACmn自反广义逆的充要条件是:rank

A-=rank

A(*)证:若条件(*)成立,则由定理8.1.2得

rank

AA-=rank

A=rank

A-(1)这说明方程组AA-x=0与A-x=0同解(后者的解空间显然为前者的子空间,(1)式说明此二空间的维数相等).易见

AA-(E-AA-)=0

(由定理8.1.2知AA-是幂等的)因而A-(E-AA-)=0,由此推出A-=A-AA-反之,若A-也是自反广义逆,即AA-A=A,A-AA-=A-,

则

rank

Arank

A-,rank

A-rank

A,

从而得证(*)成立.应用举例(1)最简单的减号逆必是自反广义逆证:由定理8.1.2知:ACrmn最简单的减号逆是

A-=,其中PAQ=P,Q都是可逆矩阵.则rank

A-=rank

Er=r=rank

A.从而,由定理8.2.2知A-是自反广义逆.(2)ACrmn是零矩阵当且仅当每个Ar-=0.(由补充题#8*2知:A=0当且仅当Cnm的任一矩阵都是A的减号逆;而零矩阵自反逆为自己,唯一)证:A=0

每个Ar-满足rank

Ar-=rank

A-=rank

A=0Ar-=0反之Ar-=0A=AAr-A=A0A=0用秩分解方法求自反广义逆定理d(例8.1.5):设ACrmn有满秩分解A=BC,其中,BCrmr,CCrrn,则

Ar-=CR-1BL-1.(1)反之,A的任何自反广义逆都有(1)的形式.证:不难验证(1)中的矩阵Ar-满足自反广义逆的两个条件.例如:Ar-AAr-=CR-1BL-1BCCR-1BL-1=CR-1BL-1=Ar-.下证A的任何自反广义逆有(1)形式.AAr-A=ABCAr-BC=BCBL-1BCAr-BCCR-1=BL-1BCCR-1=ECAr-B=E即得Ar-B=CR-1,CAr-=BL-1.再代入Ar-=Ar-AAr-有

Ar-=Ar-BCAr-=CR-1BL-1.用几种方法求自反广义逆已知A=试用各种方法求Ar-解①:满足秩条件的减号逆(rank

A-=rank

A=2)PAQ=P=Q={Ar-}={QP},y1,y2为任意数,取y1=y2=0时得最简自反逆.②:利用秩分解:A=BC,其中B=C=不难看出:BL-1=B-1=CR-1=于是(例8.1.5)

Ar-=CR-1BL-1=用几种方法求自反广义逆已知A=试用各种方法求Ar-③:若有右(左)逆,则每个右(左)逆都是自反广义逆.例如,前面已证右逆是减号逆,现证它也是自反广义逆:AAR-1=EmAR-1AAR-1=AR-1Em=AR-1,

所以,AR-1是A的一个自反广义逆.AC223为满行秩Ar-=AR-1=A*(AA*)-1=加号逆(伪逆)的定义定义8.2.1:设ACmn,若存在A+Cnm使得AA+A=A,A+AA+=A+,(AA+)*=AA+,和(A+A)*=A+A则称A+为A的一个加号逆.注①:由定义知ACnnn

A-=Ar-=A+=A-1唯一②:由定义知加号逆必为自反广义逆,但自反广义逆不一定是加号逆.反例:A=的自反广义逆有无穷多个(见解⑴),但后面将证任何矩阵的加号逆都只有一个.所以,A的无穷多个自反广义逆中一定有一个不是加号逆.{1},{1,2},{1,2,3,4}逆等的定义定义:设ACmn,若存在XCnm使得

AXA=A,⑴

XAX=X,

⑵(AX)*=AX,⑶(XA)*=XA.⑷中的⑴成立,则称X为A的一个{1}逆;使其中的⑴和⑵成立,则称X为A的一个{1,2}逆;使其中的⑴,⑵,⑶和⑷成立,则称X为A的一个{1,2,3,4}逆;仿此类推,例如,{1,3},{1,4}逆等等.注:减号逆,自反广义逆,加号逆分别对应{1},{1,2},和{1,2,3,4}逆.加号逆(伪逆)的存在性定理8.2.1:设ACrmn,A=BC为满秩分解,则存在A的一个加号逆为A+=C*(CC*)-1(B*B)-1B*注①:rank

A=rCC*,B*BCrrr②:令CR-1=C*(CC*)-1,BL-1=(B*B)-1B*,则有(比较例8.1.5)A+=CR-1BL-1.证:直接验证AA+A=A,A+AA+=A+,(AA+)*=A+,和(A+A)*=A+A(补充题8*4).因它已是{1,2}逆,故只须验证它是{3,4}逆即可.下面验证它是{3}逆:AA+=BCC*(CC*)-1(B*B)-1B*=B(B*B)-1B*(AA+)*=(B(B*B)-1B*)*=(B*)*((B*B)-1)*B*

=B((B*B)*)-1B*=B(B*B)-1B*=AA+思考题:由上述证明能否推出的每个自反广义逆和加号逆都等于C*(CC*)-1(B*B)-1B*?(前者不对,后者对.为什麽?)关于作业第八章章末习题#8-3可以仿自反广义逆的类似证明,直接验证.布置做#8-4⑶,⑹.

下一周收交几个同学的作业,第八章的作业能做多少算多少,未做的我会在堂上讲.求加号逆(伪逆)的例例8.2.2:已知A=求A+

解:A==BC为满秩分解,故A的一个加号逆为

A+=C*(CC*)-1(B*B)-1B*

==命题:A=BCC1mnB,C分别为列,行向量

A+=C*‖C‖-2‖B‖-2B*=A*/(‖B‖2‖C‖2)推论:ACrmrA=AEr,B=A,C=ErA+=C*(CC*)-1(B*B)-1B*=(A*A)-1A*ACrrnA=ErA,B=Er,C=AA+=C*(CC*)-1(B*B)-1B*=A*(AA*)-1意义:满行(列)秩时,加号逆也是右(左)逆.加号逆(伪逆)的唯一性定理8.2.2:任何矩阵ACrmn的加号逆不会多于一个.证:设A有两个加号逆:X,Y,则

X=XAX=XAYAX=X(AY)*(AX)*=X(AXAY)*=X(AY)*

=XAY=XAYAY=(XA)*(YA)*Y=(YAXA)*Y=(YA)*Y=YAY=Y加号逆(伪逆)的性质(定理8.2.3)ACmn,记其加号逆为A+①:A+有定理8.1.5中的性质,如运算T,*与+都可交换:(A+)T=(AT)+,(A+)*=(A*)+;(A)+=+A+,其中,+=1/,当0;+=0,当=0;ACnn,UUnn,

(UAU*)+=UA+U*.特别,上面各式以

R-

代

+

也成立.②:对合性(A+)+=A+(由定义及唯一性推出)③:(AA*)+=(A*)+A+=(A+)*A+

(A*A)+=A+(A*)+=A+(A+)*(红等式=直接由(A+)*=(A*)+推出.并且上,下式只须证其中一式,因为由A的任意性,以A代上式的A*立即推出下式;反之,从下式可推出上式)①:AA+A=A(AA+A)T=AT即AT(A+)TAT=ATA+AA+=A+(A+AA+)T=(A+)T即(A+)TAT(A+)T=(A+)TA+AHnn

AT(A+)T=(A+A)THnnA+AHnnAA+Hnn

(A+)TAT=(AA+)THnn

∴(AT)+=(A+)T注:AHnn

(AT)*=(A*)T=ATHnn

AA+Hnn

UAU*UA+U*=UAA+U*Hnn

②

AA+A=A,A+AA+=A+,(AA+)*=AA+,和(A+A)*=A+A上述4条件中,A与A+的地位完全对称,再加上的加号逆唯一性就能断定:(A+)+=A.③证

(AA*)+=(A+)*A+AA*(A+)*A+AA*=AA+AA+AA*=AA*利用A+A=A*(A+)*(A+)*A+AA*(A+)*A+=(A+)*A+AA+AA+=(A+)*A+AA*(A+)*A+=AA+AA+=AA+与(A+)*A+AA*=(A+)*A*(A+)*A*=(AA+AA+)*=(AA+)*都是Hermite矩阵④:A+=A*(AA*)+=(A*A)+A*证:(A*A)+A*=A+(A+)*A*用③:(A*A)+=A+(A+)*

=A+(AA+)*

=A+AA+=A+练习:证A*(AA*)+=

A+用(AA*)+=(A+)*A+⑤:对角矩阵的加号逆=diag(1,…,n)+=diag(1+,…,n+),其中,+=1/,当0;+=0,当=0.证:直接验证加号逆的4个条件.例如+=diag(11+1,…,nn+n)=diag(1,…,n)=+=diag(11+,…,nn+)为实对角阵Hnn用酉对角化求加号逆(伪逆)的公式定理(例8.2.1):对任何矩阵ACrmn令U*A*AU=diag(1,…,r,0,…,0)=,

(或U*AA*U=)其中UUnn,i,i>0,则

A+=U+U*A*(或A+=A*U+U*)证:A*A=UU*,(A*A)+=(UU*)+=U+U*

由④:A+=(A*A)+A*=U+U*A*

或(AA*)+=(UU*)+=U+U*

由④:A+=A*(AA*)+=A*U+U*求加号逆(伪逆)的例例8.2.2:已知A=求A+

解1:A==BC为满秩分解A+=A*/(‖B‖-2‖C‖-2)=(1/10)A*=解2:见教本p.307解3:AA*=谱(AA*)={10,0},对应于它们的互相正交的特征向量是:(-12)T

和(21)T于是有U*AA*U=diag(10,0)=,U=UnnA+=A*U+U*=用减号逆给出相容线性方程组的通解定理8.3.2:线性方程组Ax=b,ACrmn,bR(A)

的通解是:x=A-b+(En-A-A)z,zCn

为任意向量,

(*)A-是A的任一减号逆.证:因A-b是特解,故只须证明A的零空间为:N(A)={(En-A-A)z|zCn}即可.事实上z,A(E-A-A)z=Az-Az=0{(E-A-A)z|zCn}N(A)此外A-=QP,PAQ=(见例8.1.1)Q-1(En-A-A)Q=En-rank(En-A-A)=rank(Q-1(En-A-A)Q)=n-rdim{(En-A-A)z|zCn}=n-r=dimN(A)证毕Q-1(En-A-A)Q=Q-1EnQ-Q-1A-P-1PAQ=En-这个矩阵的列秩显然等于n-r=n-rank(A)=dim

N(A)用减号逆求解线性方程组的例例:已知

A=(例8.1.2),b=(222)求线性方程组Ax=b的通解.解:最简单的一个减号逆是

A-=Q1P1=按定理8.4.1,通解是x=相容线性方程组的最小模解定义:相容线性方程组Ax=b的解集合中2-范数

‖‖(模)最小的那个解y称为最小模解,即Ay=b&‖y‖=

min{‖x‖|

xCn,Ax=b}例:不难求得方程组的通解是:x=,z1为任意实数0‖x‖2

=

z12+(2-z1)2+(2-z1)2

=

3(z1-4/3)2+8/3

当z1=4/3时min{‖x‖|xCn,Ax=b}=2(2/3)∴最小模解是y=注:最小模解y的模唯一,但y一般不一定唯一.相容方程组最小模解存在的充分条件定理8.3.3:若BCnm为ACmn的满足条件

(BA)*=BA的减号逆({1,4}逆),则y=BbCn是相容线性方程组Ax=b的一个最小模解,即Ay=b&‖y‖=min{‖x‖|

xCn,Ax=b}证:Ax=b的通解是:x=Bb+(En-BA)z,zCn‖x‖2=‖Bb‖2+‖(En-BA)z‖2+2Re[(Bb)*(En-BA)z]令b=Au(bR(A)),则(Bb)*(En-BA)z

=u*(BA)*(En-BA)z=u*BA(En-BA)z=u*B0z=0∴‖x‖2=‖Bb‖2+‖(En-BA)z‖2

‖Bb‖2=‖y‖2得证:y=Bb为最小模解.(取z=0时,对应的x达到最小值)相容方程组最小模解存在的必要条件定理8.3.3:若BCnm为ACmn的减号逆,满足条件:bR(A),y=BbCn都是相容线性方程组Ax=b的最小模解,则(BA)*=BA.B为{1,4}逆证:Ax=b的通解是:x=Bb+(En-BA)z,zCn‖x‖2=‖Bb‖2+‖(En-BA)z‖2+2Re[(Bb)*(En-BA)z]‖x‖2‖Bb‖2

Re[(Bb)*(En-BA)z]=0(见后)

现在b=Ay,y,zCn

Re[y*(BA)*(En-BA)z]=Re[(Bb)*(En-BA)z]=0(BA)*(En-BA)=0(证明见后)

由此推出(BA)*=(BA)*(BA)是Hermite矩阵,从而BA也是Hermite矩阵.证毕注意:‖(En-BA)z‖2为z的二次函数,而

Re[(Bb)*(En-BA)z]为z的一次函数.若后者不等于0,则适当选足够小的非零向量z,可使‖(En-BA)z‖2+2Re[(Bb)*(En-BA)z]<0

便得‖x‖2<‖Bb‖2与‖x‖2‖Bb‖2矛盾.∴Re[(Bb)*(En-BA)z]=0Re[y*(BA)*(En-BA)z]=0W=(BA)*(En-BA)=0证:对任意i,j{1,…,n},若wij0,则适当取

y=ei&z=ej;或y=(-1)ei&z=ej

便得出

wij=Re[y*(BA)*(En-BA)z]=0的矛盾.求相容线性方程最小模解举例命题:相容线性方程组Ax=b的一个最小模解是A+b,其中A+是A的加号逆.(B=A+也是{1,4}逆满足定理8.4.2条件)

例:不难求得方程组系数矩阵AC223的加号逆:A+=A*(AA*)-1=∴最小模解是x=A+b=(与前面用别的方法求得结果相一致)存在不相容线性方程组例:试证方程组

(1)

是不相容的.证:因为此方程组系数矩阵的秩为2,而增广矩阵的秩为3.

也可直接说明:不存在x=(x1,x2)T满足(1).

事实上,由(1)的后两个方程得:x1=1;x2=0;因此应有

x1+x2=1.但这与(1)的第一个方程:x1+x2=0相矛盾.不相容线性方程组的最小二乘解对不相容方程组Ax=b也可求某种意义下的满意解.我们知道:Ax=b有解的充要条件是bR(A).R(A)b因此,对于不相容方程组必有bR(A).也就是说,xCn,bAx,即‖Ax-b‖>0.显然,满足‖Ax0-b‖=

min{‖Ax-b‖|xCn}(*)的x0Cn应该是作为不相容方程组Ax=b的满意解的一种最好选择.由此引出定义8.3.2:满足条件(*)的点x0称为方程组

Ax=b的一个最小二乘解.注:对相容方程组最小二乘解就是通常的解.Ax0不相容方程组的最小二乘解举例例:求方程组

Ax=(1)的一个最小二乘解.解:‖Ax-b‖2=‖(x1+x2,x1-1,x2)T‖2

=(x1+x2)2+(x1-1)2+x22=2x12+2x1x2+2x22-2x1+1=2(x22+x1x2+x12/4)+(3/2)(x12-4x1/3+4/9)+1-2/3=2(x2+x1/2)2+(3/2)(x1-2/3)2+1/31/3∴x0=(2/3,-1/3)T

满足‖Ax0-b‖=min{‖Ax-b‖}从而,x0就是所要求的最小二乘解.‖Ax0-b‖=1/3;x1＝2/3;x2=-x1/2=-1/3如何用广义逆矩阵求最小二乘解定理8.3.4:若BCnm为ACmn的满足条件

(AB)*=AB

的减号逆({1,3}逆),则x0=BbCn是线性方程组Ax=b的一个最小二乘解.证:‖Ax-b‖2=‖(AB-Em)b+A(x-Bb)‖2

=‖(AB-Em)b‖2+‖A(x-Bb)‖2

+2Re(((AB-Em)b)*A(x-Bb))此项为0=‖(AB-Em)b‖2+‖A(x-Bb)‖2

=‖Ax0-b‖2+‖A(x-Bb)‖2x=x0=Bb得证x0是一个最小二乘解.‖Ax0-b‖=minx{‖Ax-b‖}((AB-Em)b)*A(x-Bb)=b*(A