2019-2020学年湖南省衡阳市衡阳县高二期末数学试题及答案

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat17页共NUMPAGES\*MergeFormat18页2019-2020学年湖南省衡阳市衡阳县高二期末数学试题及答案一、单选题1．在中,若,则一定是(

)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】根据正弦函数关系得关系，即得三角形形状.【详解】∵，∴，或.故选：D【点睛】本题考查正弦函数性质以及三角形形状判断，考查基本分析化简能力，属基础题.2．给出命题：若函数是幂函数，则它的图像不过第四象限，在它的原命题､逆命题､否命题､逆否命题四个命题中，真命题的个数是()A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】根据互为逆否命题真假相同，判断原命题与逆命题真假，即可得出结论.【详解】由幂函数的性质判断原命题为真，则逆否命题也是真；逆命题：若函数图像不过第四象限，则它为幂函数.显然为假命题，则否命题也是假.故选:B.【点睛】本题考查命题间的关系，属于基础题.3．在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为和，则塔高是()A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，山高为，塔高为，根据已知在中，求出，在用正弦定理，即可求出.【详解】如图所示，山高为，塔高为，分别为山下一塔顶与塔底的俯角，，在中，在中，，由正弦定理得.故选:D.【点睛】本题考查解三角形的实际应用题，关键要熟练运用正弦定理，属于基础题.4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升 B．升 C．升 D．升【答案】B【解析】试题分析：设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，把d=代入①得：a1=，则a5=+（5﹣1）=．故选B点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．5．设均为单位向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6．若（）A． B． C． D．【答案】D【解析】故.【考点定位】本题主要考查基本不等式的应用及指数不等式的解法，属于简单题.7．已知是，夹角为的两个单位向量，则与的夹角是()A． B． C． D．【答案】B【解析】求出，根据向量夹角公式，即可求解.【详解】，，设的夹角为，.故选:B,【点睛】本题考查向量的夹角、向量的模长、向量的数量积，考查计算能力，属于中档题.8．数列为等比数列，是它的前项和，已知，且与的等差中项为，则()A．31 B．32 C．16 D．15【答案】A【解析】设数列的公比为，将已知条件转化为关于的关系式，即可求解.【详解】设数列的公比为，，，与的等差中项为，，.故选:A.【点睛】本题考查等比数列的基本量的运算，属于基础题.9．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是()A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x【答案】B【解析】作图可知圆心(1,0)到P点距离为，所以P在以(1,0)为圆心，以为半径长的圆上，其轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.10．在正方体，中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为()A． B． C． D．【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，求出平面法向量以及坐标，按线面角向量法求解.【详解】设正方体边长为，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立坐标系，则，平面法向量为，设直线与平面所成的角为，.故选:C.【点睛】本题考查用向量法求直线与平面所成的角，考查计算能力，属于基础题.二、填空题11．不等式组的解集为________.【答案】{x|0＜x＜1}【解析】直接利用二次不等式的解法求解即可．【详解】解：∵x2－1＜0，∴－1＜x＜1，∵x2－3x＜0，∴0＜x＜3，∴0＜x＜1.故答案为：{x|0＜x＜1}【点睛】本题考查二次不等式的解法，考查计算能力．12．如图，五角星魅力无穷，一动点由处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2019应在______________处(填大写字母)【答案】D【解析】从点按照规律运行一次周期为5，求出2019除以5的余数，即可求解.【详解】当第一次运动结束回到处时，数字为6，按此规律每完整运行一次周期为5，，余数为，故在D位置.故答案为:D.【点睛】本题考查归纳推理，注意周期的应用，属于基础题.13．已知命题若数列的前项和，则数列是等差数列.当是假命题时，实数的值为______________.【答案】0【解析】由已知可得命题为真，根据求出，又有为等差数列，即可求出.【详解】当是假命题时，则命题为真，即数列的前项和，则数列是等差数列，当时，，当时，，为等差数列，.故答案为:0.【点睛】本题以命题的真假为背景，考查数列的前和与通项的关系，属于基础题.14．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数______.【答案】【解析】化双曲线方程为标准方程，求得的值，依题意列方程，解方程求得的值.【详解】双曲线方程化为标准方程得，故，依题意可知，即，解得.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.15．过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则．【答案】【解析】【详解】故答案为：.三、解答题16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为【考点】正余弦定理解三角形.17．在数列中，，，(1)设，证明：数列是等差数列；(2)求数列的前项和.【答案】（1）略（2）【解析】试题分析：（1）题中条件，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式转化为的递推公式：，从而，，进而得证；（2）由（1）可得，，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②，②-①得.试题解析：（1）∵，，又∵，∴，，∴则是为首项为公差的等差数列；由（1）得，∴，∴①，①得：②，②-①得.【考点】1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.18．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.【答案】（1）；（2）；（3）外周长的最小值为米，此时腰长为米.【解析】试题分析：（1）将梯形高、上底和下底用或表示，根据梯形面积的计算得到和的等式，从而解出，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.试题解析：⑴，其中，，∴，得，由，得∴；6分⑵得∵∴腰长的范围是10分⑶，当并且仅当，即时等号成立．∴外周长的最小值为米，此时腰长为米．16分【考点】函数的应用、基本不等式、函数的最值.19．已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）存在点．【解析】（Ⅰ）由于椭圆：过点且离心率为，，，椭圆的方程为.,直线的方程为：，令，；（Ⅱ），直线的方程为：，直线PB与x轴交于点N，令，则.设,,,则，所以，（注：点在椭圆上，），则，存在点使得.【考点】1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.20．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.(1)证明:直线平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求平面与所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)；(3)【解析】（1）连接，交于，连结，得到为中点，可证，即可证明结论；（2）以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，求出坐标，再求出向量夹角的余弦，即可求解；（3）求出平面的法向量，取轴上的单位向量为平面法向量，根据向量的面面角公式，即可求解.【详解】(1)