福建省福州市培汉中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

福建省福州市培汉中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（2016?郑州三模）已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则?的值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．不能确定参考答案：A【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣3n2=3，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣3n2=3，由双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．=（，），=（，），则?=+=﹣=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．2.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，四棱锥的表面积为．故选D．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的表面积的求法，考查计算能力，空间想象能力．3.能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，则下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D【知识点】函数的奇偶性的判断B4解析：根据“和谐函数”的定义可得，若函数为“和谐函数”，则该是函数过原点的奇函数，A.定义域为R，，所以为奇函数；B.定义域为，即，所以为奇函数；C.定义域为R，，所以为奇函数；D.定义域为R，，即，所以不是奇函数；故选择D.【思路点拨】根据题意可得若函数为“和谐函数”，则该函数是过原点的奇函数，逐一判断即可.4.已知a＞b＞0且ab=1，若0＜c＜1，p=，q=，则p，q的大小关系是（）A．p＞q B．p＜q C．p=q D．p≥q参考答案：B考点： 基本不等式；对数值大小的比较．

专题： 探究型．分析： 此题是比较两个对数式的大小，由于底数0＜c＜1，对数函数是一个减函数，故可以研究两对数式中真数的大小，从而比较出对数式的大小，选出正确选项解答： 解：∵a＞b＞0且ab=1，∴＞ab=1，∴＞，又y=logcx是减函数∴＜，即p＜q故选B点评： 本题考查基本不等式，研究出相关的对数函数的单调性及比较出两个真数的大小是解本题的关键，在使用基本不等式时，要注意“一正，二定，三相等”，基本不等式在近几年高考中经常出现，比较大小时一个常用方法，应好好理解掌握．5.执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（

）A．3

B．126

C．127

D．128参考答案：C6.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为A.3π B.12π C.18π D.27π参考答案：D【分析】根据三视图还原出几何体，结合几何体的特征求出其外接球的表面积.【详解】根据三视图还原成几何体如图，它是从一个四棱锥截下的部分,四棱锥如图，四棱锥又可以看作是从边长为3的正方体中截取出来的，所以三棱锥的外接球就是截取它的正方体的外接球，正方体的对角线的长就是外接球的直径，所以其外接球半径为,故外接球的表面积为,故选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原几何体时，要注意数据的对号入座.侧重考查直观想象的核心素养.7.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，且，则(

)A．

B．

C．2

D．0参考答案：D因为，所以，由正弦定理可得，即，因为，因为，所以，，所以，，，又因为，所以，所以，故选D.

8.设全集,，，则（

） Ａ.Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C略9.已知分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于两点，且未等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.若函数在区间，内恒有，则的单调递增区间为

（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知经过同一点的N个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则

，

.参考答案：8；。当时，任意不经过同一条直线的三个平面将空间分成了八部分，即；当时，任意不经过同一条直线的四个平面将空间分成了十四部分，即；依次下去可得任意不经过同一条直线的个平面将空间分成了部分，且

12.设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是

．参考答案：13.函数的定义域为参考答案：(1,1+e)14.当恒成立，则的取值范围是

参考答案：答案：15.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现，函数对称中心为

；参考答案：16.已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为

.参考答案：17.设a，b，c，d都是正数，且．求证：．参考答案：证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）﹣（a2c2+2abcd+b2d2）=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立，又a，b，c，d都是正数，∴?≥ac+bd＞0，①同理?≥ad+bc＞0，∴xy≥．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,在直三棱柱中,,,,点是的中点,(1)求证:;(2)求证:参考答案：略19.已知数列{an}满足a1=3，an+1=an2+2an，n∈N*，设bn=log2（an+1）．（I）求{an}的通项公式；（II）求证：1+++…+＜n（n≥2）；（III）若=bn，求证：2≤＜3．参考答案：【考点】8K：数列与不等式的综合；8H：数列递推式．【分析】（I）由题意可知：，，两边取对数，即可求得bn+1=2bn，则{bn}是以2为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求得an，代入即可求得an；（II）利用数学归纳法即可求证1+++…+＜n（n≥2）；（III）．证明：由得cn=n，，利用二项式定理展开，，当n=1时显然成立．所以得证．【解答】解：（I）由，则，由a1=3，则an＞0，两边取对数得到，即bn+1=2bn又b1=log2（a1+1）=2≠0，∴{bn}是以2为公比的等比数列．即又∵bn=log2（an+1），∴（2）用数学归纳法证明：1o当n=2时，左边为=右边，此时不等式成立；

2o假设当n=k≥2时，不等式成立，则当n=k+1时，左边=＜k+1=右边∴当n=k+1时，不等式成立．综上可得：对一切n∈N*，n≥2，命题成立．（3）证明：由得cn=n，∴，首先，其次∵，∴，，当n=1时显然成立．所以得证．20.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在曲线C上，求x+y的最大值和最小值．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）直接根据极坐标和直角坐标方程互化公式求解得到其直角坐标方程，然后，再将其化为参数方程即可，（Ⅱ）依据曲线C的参数方程，可以设该点P的三角形式，然后，借助于三角函数的最值求解．解答： 解：（I）C的极坐标方程化为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0，∴C的直角坐标方程是x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，C的参数方程是，φ是参数；…（II）∵点P（x，y）在曲线C上，由（φ是参数）得到，∴x+y的最大值是6，最小值是2．…点评：本题重点考查极坐标方程和直角坐标方程、参数方程的互化、三角函数的最值等知识，属于中档题．21.已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】创新题型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（x）的单调期间；（Ⅱ）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数φ（x）=x2，由函数零点存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用导数求得a0∈（0，1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【解答】解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），g（x）=，∴．当0＜a＜时，g（x）在上单调递增，在区间上单调递减；当a时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）由=0，解得，令φ（x）=x2，则φ（1）=1＞0，φ（e）=．故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增．∴．即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增，故当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）=0．∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0．综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题．22.（2017?乐山二模）已知数列{an}满足a1=3，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＜﹣4的最小自然数n．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，=2+n﹣1=n+1，即可求得数列{an}的通项公式；（2）由（1）可知bn=log2=log2=log2（n+1）﹣log2（n+2），求得Sn=b1+b2+…+bn=1﹣log2（n+2），由Sn＜﹣4，利用对数的运算性质，即可求得最小自然数n的值．【解答】解：（1）由，则数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴=2+n﹣1=n+1，∴an=n2+2n，数