辽宁省大连市长海中学高三数学理月考试题含解析

辽宁省大连市长海中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知p：函数在[3,+∞)上是增函数，q：函数在［3,＋∞）是增函数，则p是q的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B2.下图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为l与的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积等于（

）A．

B．C．

D．

参考答案：A略3.多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为(

) A． B． C． D．6参考答案：C考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用三视图的数据，把几何体分割为2个三棱锥1个三棱柱，求解体积即可．解答： 解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为2，底面边长为4，2的矩形，棱柱的高为2．可得，故选：C．点评：本题考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力．4.设i为虚数单位,复数z满足，则共轭复数的虚部为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C,所以,共轭复数为,虚部为.故选.5.参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4

【答案解析】B

解析：,故选B.【思路点拨】根据复数的除法法则可知分组分母同乘以分母的共轭复数，然后将其化简成a+bi（a∈R，b∈R）的形式即可．6.设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意的实数x都有f（x）=2x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x．若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，+∞） B．[﹣，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[﹣2，+∞）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用构造法设g（x）=f（x）﹣x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．【解答】解：∵f（x）=2x2﹣f（﹣x），∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，设g（x）=f（x）﹣x2，则g（x）+g（﹣x）=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x，g′（x）=f′（x）﹣2x＜﹣1，故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，则f（m+2）﹣（m+2）2≤f（﹣m）﹣m2，即g（m+2）＜g（﹣m），∴m+2≥﹣m，解得：m≥﹣1，故选：C．7.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为中国古代的算筹数码

A.

B.

C.

D.参考答案：C8.函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点(

)个单位长度． A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移参考答案：A考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先利用函数的图象求出周期，进一步利用函数周期公式求出ω，利用在x=函数的值求出Φ的值，最后通过平移变换求出答案．解答： 解：根据函数的图象：求得：T=π进一步利用：当x=|φ|＜所以：φ=即函数f（x）=要得到f（x）=sin2x的图象只需将函数f（x）=向右平移个单位即可．故选：A点评：本题考查的知识点：利用函数的图象求函数的解析式，主要确定A、ω、Φ的值，函数图象的平移变换问题．9.如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为边的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（

）A．

B．C．

D．参考答案：B10.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（

）

A.（0，

B.（）

C.（0，）

D.（，1）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示的流程图，若输入的值为2，则输出的值为

.参考答案：7

【知识点】程序框图．L1解析：模拟执行程序框图，可得x=2不满足条件x＞6，x=1，x=3不满足条件x＞6，x=5，x=7满足条件x＞6，退出循环，输出x的值为7．故答案为：7．【思路点拨】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，x=7时，满足条件x＞6，退出循环，输出x的值为7．12.已知双曲线：的左右焦点为、，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点，则的面积为

．参考答案：详解：双曲线的焦点为，渐近线方程为，过F2与一条渐近线平行的直线方程为，由得，即，∴．

13.已知函数,且，则通项公式为

．参考答案：14.若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.参考答案：15.已知是函数的一条对称轴，若将函数的图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称，则的最小值为

参考答案：16.若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则

.参考答案：或先做出不等式对应的区域，阴影部分。因为直线过定点，且不等式表示的区域在直线的下方，所以要使所表示的平面区域是直角三角形，所以有或直线与垂直，所以，综上或。17.若集合，则

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数R在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：当N，且时，.参考答案：（1）解：∵，

∴.∵直线的斜率为，且过点，

……………1分∴即解得.

……………3分（2）解法1：由（1）得.当时，恒成立，即，等价于.

……………4分令，则.

……………5分令，则.ks5u当时，，函数在上单调递增，故.

……………6分从而，当时，，即函数在上单调递增，ks5u故.

……………7分因此，当时，恒成立，则.

……………8分∴所求的取值范围是.

……………9分解法2：由（1）得.ks5u当时，恒成立，即恒成立.

……………4分令，则.方程（﹡）的判别式.（ⅰ）当，即时，则时，，得，故函数在上单调递减.由于，则当时，，即，与题设矛盾.…………5分（ⅱ）当，即时，则时，.故函数在上单调递减，则，符合题意.………6分(ⅲ)当，即时，方程（﹡）的两根为，则时，，时，.故函数在上单调递增，在上单调递减，从而，函数在上的最大值为.………7分而，由（ⅱ）知，当时，，ks5u得，从而.故当时，，符合题意.

……………8分综上所述，的取值范围是.

……………9分（3）证明：由（2）得，当时，，可化为，…10分又，从而，.

……………11分把分别代入上面不等式，并相加得，ks5u

……………12分

……………13分.

……………14分19.(本小题满分12分)某班名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于秒且小于秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于的概率.

参考答案：解：（1）由频率分布直方图知，成绩在内的人数为：（人）…3分所以该班成绩良好的人数为人.

………

5分（2）由频率分布直方图知，成绩在的人数为人，设为、；…6分成绩在的人数为人，设为、、、

……

7分若时，有种情况；

………

8分若时，有种情况；

……………

9分若分别在和内时，

ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyD共有种情况.

………

10分所以基本事件总数为种，事件“”所包含的基本事件个数有种.∴（）.

………

12分略20.已知向量

与

共线，设函数。（I）求函数

的周期及最大值；（II）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C，若有，边BC＝，，求△ABC的面积．参考答案：（1）因为，所以则，所以,当

┄┄┄┄┄┄┄6分（2）.┄┄┄┄┄┄┄┄14分21.某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．（1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．参考答案：【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）比赛三局甲获胜的概率是：P3==．（2）再求出P4和P5，甲获胜的概率是：P3+P4+P5=．（3）写出甲比赛次数的分布列，根据分布列求得甲比赛次数的数学期望是EX．【解答】解：记甲n局获胜的概率为Pn，n=3，4，5，（1）比赛三局甲获胜的概率是：P3==；（2）比赛四局甲获胜的概率是：P4==；