广东省河源市隆师中学高二数学理测试题含解析

广东省河源市隆师中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，则

A．10 B．9 C．8 D．7参考答案：B2.若函数f（x）=cosx+2xf′（），则f（﹣）与f（）的大小关系是（）A．f（﹣）=f（） B．f（﹣）＞f（） C．f（﹣）＜f（） D．不确定参考答案：C【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】利用已知条件，求出函数的导数，推出f′（），得到函数的表达式，然后比较f（﹣）与f（）的大小．【解答】解：函数f（x）=cosx+2xf′（），所以函数f′（x）=﹣sinx+2f′（），所以f′（）=﹣sin+2f′（）=，f（x）=cosx+x，则f（﹣）=cos﹣；f（）=cos+，所以f（﹣）＜f（）．故选C．3.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有(

) A．36种 B．12种 C．18种 D．48种参考答案：A考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．分析：根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，②若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案．解答： 解：根据题意分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33=24；②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32=12，共有选法12+24=36种，故选A．点评：本题考查组合、排列的综合运用，涉及分类讨论的思想，注意按一定顺序，做到不重不漏．4.已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的正弦值为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出AE，SD所成的角的正弦值．【解答】解：作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），E（），∴=（﹣，，），=（﹣1，﹣1，﹣），∴设AE，SD所成的角为θ，cosθ=|cos＜＞|==，sinθ==．∴AE，SD所成的角的正弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．5.如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（

）

参考答案：B略6.已知向量、满足||=1，||=4，且?=2，则与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的数量积的定义和夹角的概念和范围，即可求得．【解答】解：由于向量、满足||=1，||=4，且?=2，则=||?||?cos＜，＞=2，则有cos＜，＞==，由于0＜＜，＞＜π，则有与的夹角为．故选C．7.△ABC中，若，，则等于

（

）A.2

B.

C.

D.参考答案：A8.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是(

)A．方程没有实根

B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根

D．方程恰好有两个实根参考答案：A9.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：A10.已知a=﹣2（sin2﹣）dx，则二项式（ax+）9的展开式中x的一次项系数为（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：D【考点】二项式定理的应用．【分析】利用微积分基本定理可得a，二项式定理的通项公式，即可得出．【解答】解：a=﹣2（sin2﹣）dx=cosxdx==﹣sin0=1，则二项式（ax+）9=的展开式中的通项公式：Tr+1==x9﹣2r，令9﹣2r=1，解得r=4，∴x的一次项系数为=．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的前n项和，则＝___________参考答案：12.已知a>0，b>0，，，则m与n的大小关系为__参考答案：略13.已知等比数列的各项均为正数，前n项之积为Tn,若

.参考答案：114.有下列命题：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②；③；若双曲线的渐近线方程为y＝±x，⑤对于实数x,y，条件p:x+y≠8,条件q:x≠2或y≠6，那么p是q的充分不必要条件．

其中是真命题的有：

．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：①③⑤略15.若0<a<b，a+b=1，则a、b、2ab、a2+b2、按从小到大的顺序排列为_______________．参考答案：a<b<2ab<<a2+b2解析：取a=，b=特值代入。16.

参考答案：65

解析：设BC中点为E，AD=．由中线公式得AE=．由勾股定理，得120－15+57=，，故m+n=27+38=65．17.已知x与y之间的一组数据：x0246ya353a已求得关于y与x的线性回归方程=1.2x+0.55，则a的值为．参考答案：2.15【考点】BK：线性回归方程．【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出a的值．【解答】解：=3，=a+2，将（3，a+2）带入方程得：a+2=3.6+0.55，解得：a=2.15，故答案为：2.15．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆，点，过点作圆的切线、，为切点、.求：（1）、所在直线的方程；（2）求直线的方程.参考答案：解析：(1)

(2)

19.函数.（1）求函数的单调区间；（2）若方程在区间[－1,2]上恰有两个不等的实根，求实数m的取值范围.参考答案：（1）增区间为，减区间为；（2）.【分析】（1）对函数求导，分别求出导数大于零小于零的解，即可求出函数的单调区间；（2）令，对函数求导，利用导数研究出在区间的单调性，求出极值，求出区间两个端点的函数值，再结合函数大致图像可得实数的取值范围。【详解】（1）的定义域为，，则，，由于恒成立，则在上大于零恒成立；在上为单调递增函数，又，当时，，则函数增区间为，当时，，则函数减区间为；（2）令，则；令，解得：，令，解得：，则的增区间为，令，解得：，则的减区间为，由此可得的大致图像如图：要使方程在区间上恰有两个不等的实根等价于函数与轴在区间有两个不同交点，从图像可得，解得：，故答案为【点睛】本考查利用导数求解函数单调性、根据方程在某一区间内根的个数求解参数范围的问题，解决方程根的个数问题关键是能够将问题转化为函数的零点问题，通过数形结合法的方式进行求解。20.（本题满分15分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，，，面，设为中点，点在线段上且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设二面角的大小为，若，求的长．参考答案：

，，所以． …..15分考点：1.向量的夹角公式及其应用；2.直线与平面平行的判断；3.向量垂直充要条件的应用.21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上．参考答案：（1）（2）见解析【分析】（1）（法一）由题意，求得椭圆焦点坐标，利用椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可得到椭圆的标准方程；（法二）设椭圆的方程为（），列出方程组，求得的值，得到椭圆的标准方程。（2）设，，直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的运算，即可证得三点共线。【详解】（1）（法一）设椭圆的方程为，∵一个焦点坐标为，∴另一个焦点坐标为，∴由椭圆定义可知，∴，∴，∴椭圆的方程为.（法二）不妨设椭圆的方程为（），∵一个焦点坐标为，∴，①又∵点在椭圆上，∴，②联立方程①，②，解得，，∴椭圆的方程为.（2）设，，直线的方程为，由方程组消去，并整理得：，∵，∴，，∵直线的方程可表示为，将此方程与直线联立，可求得点坐标为，∴，∵，所以，又向量和有公共点，故，，三点在同一条直线上.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。22.已知常数,函数.(1)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点,且,求a的取值范围.参考答案：(1)详见解析(2)试题分析:(1)首先对函数f(x)求导并化简得到导函数,导函数的分母恒大于0,分子为含参的二次函数,故讨论分子的符号,确定导函数符号得到原函数的单调性,即分和得到导函数分子大于0和小于0的解集进而得到函数的单调性.(2)利用第(1)可得到当时,导数等于0有两个根,根据题意即为两个极值点,首先导函数等于0的两个根必须在原函数f(x)的可行域内,把关于a的表达式带入,得到关于的不等式,然后利用导函数讨论a的