陕西省咸阳市乾县薛录中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

陕西省咸阳市乾县薛录中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.g（x）=﹣1定义域[m，n]，且m，n为整数，相应的值域是[0，1]，满足条件的整数对（m，n）共有（）A．4对 B．5对 C．6对 D．7对参考答案：D【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的解析式判断函数的单调性，根据值域求出对应x的取值，然后进行讨论即可．【解答】解：当x≥0时，函数g（x）减函数，当x≤0时，g（x）为增函数，由g（x）=﹣1=0得g（x）==1得|x|+3=6，即|x|=3，得x=±3，由g（x）=﹣1=1得g（x）==2得|x|+3=3，即|x|=0，得x=0，即0∈[m，n]，x=3或﹣3至少有一个，若m=﹣3，则n=0，或n=1或n=2或n=3，即（﹣3，0）（﹣3，1），（﹣3，2），（﹣3，3），若n=3，则m=0，或m=﹣1或m=﹣2，即（0，3）（﹣1，3），（2，3），共有7对，故选：D．2.集合，中的角所表示的范围（阴影部分）是参考答案：C3.设是实数，且，则实数

（

）

A．

B．1

C．2

D．参考答案：B因为，所以不妨设，则，所以有，所以，选B.4.O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C

上一点，若，则POF的面积为

A.

B．

C．2

D.3参考答案：B略5.设函数则的值为A.15

B.16C.-5

D.-15参考答案：A略6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B．+6 C．+5 D．+5参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出表面积即可．【解答】解：三视图复原的组合体是下部是棱长为1的正方体，上部是底面边长为1的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为：5×1×1+4××1×=+5，故选：C【点评】本题考查由三视图求表面积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．7.阅读下面程序框图，输出的结果s的值为（

）A. B.0 C. D.参考答案：C由于即每项的和为零，程序运行得.8.函数，在同一直角坐标系第一象限中的图像可能是

（

）参考答案：B9.下列说法正确的个数为（

）①函数的一个对称中心为；②在中，，，是的中点，则；③在中，是的充要条件；④定义，已知，则的最大值为.A．1

B．2

C.

3

D．4参考答案：D10.已知集合,,则（）

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将学生随机地从1~160编号，按编号顺序平均分成20组(1-8,9-16...153-160)若第16组得到的号码为126,则第1组中用抽签的方法确定的号码是

．参考答案：612.已知向量，，若，则

．参考答案：10

13.定义：eiθ=cosθ+isinθ，其中i是虚数单位，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对都eiθ适应．若x=Ccos3﹣Ccossin2，y=Ccos2sin﹣Csin3，则x+yi=．参考答案：【考点】二项式定理的应用；复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数单位i幂的运算，化简a+bi构造二项式定理的形式，然后求出值即可．【解答】解：x+yi=Ccos3﹣Ccossin2+iCcos2sin﹣iCsin3=（cos+isin）3=cos+isin=．故答案为：．【点评】本题考查二项式定理的应用，复数棣美弗定理的应用，考查计算能力．14.如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点P，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，假设，，，，那么MN=_____参考答案：【分析】由相交弦定理算得，再由切割线定理算得.【详解】由相交弦定理得，，得，则，由切割线定理得，，得.故答案为：【点睛】本题主要考查相交弦定理和切割线定理的运用，属基础题.15.函数的最小正周期T=__________参考答案：16.（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R=________.参考答案：【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。答案：

17.设，，则的值是____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)设，当时，，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）,

……1分当时，，；当时，；所以f(x)在单调递减，在单调递增

……3分当时，令得x=1，x=（1）当时，，；当时，；当时，；所以f(x)在，单调递增，在单调递减

……4分（2）当时，，所以f(x)在R单调递增

……5分(3)当时，，；当时，；当时，；所以f(x)在，单调递增，在单调递减

……6分（Ⅱ）令有

……7分令，有当时，，单调递增，所以，即

……9分（1）当时，，在单调递增，，不等式恒成立

……10分（2）当时，有一个解，设为根所以有，，单调递减；当时，；单调递增，所以有，故当时，不恒成立；综上所述，的取值范围是

……12分19.设不等式的解集与关于的不等式的解集相同．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.参考答案：解：（Ⅰ）不等式的解集为，是的解集（Ⅱ）函数的定义域为，显然有，由柯西不等式可得：

，当且仅当时等号成立，即时，函数取得最大值略20.已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=2an﹣n2+3n+2（n∈N*）（Ⅰ）求证：数列{an+2n}是等比数列；（Ⅱ）设bn=ansinπ，求数列{bn}的前n项和；（Ⅲ）设Cn=﹣，数列{Cn}的前n项和为Pn，求证：Pn＜．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）利用递推式可得：an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4，变形为an+2n=2[an﹣1+2（n﹣1）]，即可证明；（II）由（I）可得an=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n．可得bn=ansinπ=﹣（2n+2n），由于==（﹣1）n，于是bn=（﹣1）n+1（2n+2n）．对n分类讨论即可得出．（III）Cn=﹣=，当n≥2时，cn．再利用等比数列的前n项和公式即可证明．【解答】（I）证明：由Sn=2an﹣n2+3n+2（n∈N*），∴当n≥2时，，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4，变形为an+2n=2[an﹣1+2（n﹣1）]，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+3+2，解得a1=﹣4，∴a1+2=﹣2，∴数列{an+2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；（II）解：由（I）可得an=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n．∴bn=ansinπ=﹣（2n+2n），∵==（﹣1）n，∴bn=（﹣1）n+1（2n+2n）．设数列{bn}的前n项和为Tn．当n=2k（k∈N*）时，T2k=（2﹣22+23﹣24+…+22k﹣1﹣22k）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k）=﹣2k=﹣n．当n=2k﹣1时，T2k﹣1=﹣2k﹣（﹣22k﹣4k）=+n+1+2n+1=+n+1．（III）证明：Cn=﹣=，当n≥2时，cn．∴数列{Cn}的前n项和为Pn＜==，当n=1时，c1=成立．综上可得：?n∈N*，．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生中k次的概率计算公式能求出恰有2人申请A大学或B大学的概率．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，则P（M）==，∴恰有2人申请A大学或B大学的概率为．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为：X01234PE（X）=4×=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题