黑龙江省绥化市永安满族第一中学高一数学理月考试题含解析

黑龙江省绥化市永安满族第一中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆x2+y2﹣6x﹣2y+3=0的圆心到直线x+ay﹣1=0的距离为1，则a=（）A． B． C． D．2参考答案：B【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【分析】圆x2+y2﹣6x﹣2y+3=0即（x﹣3）2+（y﹣1）2=7的圆心（3，1），再利用点到直线的距离公式即可得出结论．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣2y+3=0即（x﹣3）2+（y﹣1）2=7的圆心（3，1）到直线x+ay﹣1=0的距离d==1，∴a=﹣．故选：B．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.化简式子的结果为（）A．1 B．﹣1 C．tanα D．﹣tanα参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式化简可得答案．【解答】解：由=．故选：D．3.在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（

）A

B

C

D

参考答案：B4.点是三角形的重心，是的中点，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A5.（4分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（） A． y=﹣|x|（x∈R） B． y=﹣x3﹣x（x∈R） C． D． 参考答案：B考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题： 证明题．分析： 依据函数的奇函数性质与函数是减函数的性质对四个选项中的函数进行判断，找出符合条件的选项解答： A选项不正确，因为y=﹣|x|（x∈R）是一个偶函数，且在定义域内不是减函数；B选项正确，y=﹣x3﹣x（x∈R）是一个奇函数也是一个减函数；C选项不正确，是一个减函数，但不是一个奇函数；D选项不正确，是一个奇函数，但在定义域上不是减函数．综上，B选项正确故选B点评： 本题考查函数奇偶性的判断与函数单调性的判断，解题的关键是对四个选项中所涉及的四个函数的性质比较熟悉，方能快速判断出正确结果，对一些基本函数的性质的记忆是快速解答此类题的关键．6.已知sinα=m（|m|＜1），，那么tanα=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由sinα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵sinα=m，＜α＜π，∴cosα=﹣=﹣，则tanα=．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．7.设，则与的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．与的值有关参考答案：A略8.不等式的解集为

(

)（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C9.中，表示的面积，若，，则A.

B.

C.

D.参考答案：B10.平面向量=(1,2)，=(4,2)，=m+（m∈R），且与的夹角与与的夹角互补，则m=（）A．－2

B．－1

C．1

D．2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于函数有下列命题：①由可得必是的整数倍②由的表达式可改写为③的图像关于点对称④的图象关于直线对称.

其中正确命题的序号是_________.参考答案：2,3.12.高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有______人.参考答案：2013.已知，则在上的投影为

参考答案：14.已知函数，任取，记函数f(x)在区间上的最大值为最小值为记.则关于函数有如下结论：①函数为偶函数；②函数的值域为；③函数的周期为2；④函数的单调增区间为.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）参考答案：③④.试题分析：因为，其中分别是指函数在区间上的最大值、最小值，注意到函数是最小正周期为的函数，所以在区间的图像与在的图像完全相同，所以，所以，所以函数的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究的性质即可.根据的图像（如下图（1））与性质可知当时，在区间的最小值为，最大值为，此时当时，在区间的最小值为，最大值为，此时；当时，在区间的最小值为，最大值为，此时；当时，在区间的最小值为，最大值为1，此时；当时，在区间的最小值为，最大值为1，此时；当时，在区间的最小值为，最大值为，此时作出的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为，故只有③④正确.考点：1.三角函数的图像与性质；2.分段函数.15.函数

的最小正周期T是。参考答案：略16.在边长为1的正三角形纸片ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠三角形纸片后，顶点A正好落在边BC（设为P），在这种情况下，AD的最小值为。

参考答案：

17.观察如图列数表：第1行1第2行131第3行13931第4行13927931根据如图列数表，数表中第n行中有2n﹣1个数，第n行所有数的和为

．参考答案：2×3n﹣1﹣1考点：归纳推理．专题：等差数列与等比数列；推理和证明．分析：设以1为首项，以3为公比的等比数列的前n项和为：Sn，数表中第n行中所有数的和为Tn，分析已知中的图表，可得Tn=Sn+Sn﹣1，代入等比数列前n项和公式，可得答案．解答： 解：由已知可得：第1行有1个数；第2行有3个数；第3行有5个数；…归纳可得：第n行有2n﹣1个数；设以1为首项，以3为公比的等比数列的前n项和为：Sn，数表中第n行中所有数的和为Tn，则T2=S2+S1，T3=S3+S2，T4=S4+S3，…故Tn=Sn+Sn﹣1=+=2×3n﹣1﹣1，即数表中第n行中有2n﹣1个数，第n行所有数的和为2×3n﹣1﹣1，故答案为：2n﹣1，2×3n﹣1﹣1点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分13分）某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：

(1)画出散点图。(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程。（结果保留两位小数）参考答案：解：(1)图略

(5分)

(2)解：设y与产量x的线性回归方程为略19.某地区2018年人口总数为45万.实施“放开二胎”新政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年每年人口比上年增加0.5万人，从2029年开始到2038年每年人口为上一年的99%.（Ⅰ）求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式（注：2019年为第一年）；（Ⅱ）若新政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年后是否需要调整政策？（参考数据：）参考答案：（Ⅰ），（Ⅱ）到2038年不需要调整政策。【分析】（Ⅰ）由题意可知，从2019年开始到2028年每年人口数成等差数列增长，从2029年开始到2038年每年人口数组成一个等比数列，由等差数列与等比数列的通项公式写出即可；（Ⅱ）求出从2019年到2038年的人口总数，求其平均值即可.【详解】（Ⅰ）当时数列是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，当时数列是公比为的等比数列，且，即实施新政策后第n年的人口总数的表达式为（Ⅱ）设为数列的前项和，则从2019年到2038年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：新政策实施后的2019年到2038年人口平均值故到2038年不需要调整政策。【点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.20.（本小题满分14分）

已知圆过坐标原点，且与轴，轴分别交于点，圆心坐标（1）求证：的面积为定值；（2）直线与圆交于点，若，求圆的方程；（3）在（2）的条件下，设分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标。参考答案：解:（Ⅱ）∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率∴t＝2或t＝－2.

……7分∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

……9分（Ⅲ）点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，

……11分又B′到圆上点Q的最短距离为21.（本小题满分12分）已知函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”。记集合（1）已知，若是在上单调递增函数，是否有？若是，请证明。（2）记表示集合中元素的个数，问：若函数，若,则是否等于0？若是，请证明，若，试问：是否一定等于1？若是，请证明参考答案：1）证明：先证任取，则

再证任取

若，不妨设

由单调递增可知：

与

矛盾

同理也矛盾，所以

综上：（2）①若

由于无实根

则对任意实数x，

从而

故无实根

同理若

对任意实数x，，从而

故也无实根

ks5u

②不妨设是B中唯一元素

则

令

那么

而

故

说明t也是的不动点

由于只有唯一的不动点

故

即

这说明t也是的不动点，从而存在性得证以下证明唯一性：若还有另外一个不动点m，即

则

这说明还有另外一个稳定点m

与题设矛盾。略22.如图，半径为30cm的圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设OB与矩形材料的边OA的夹角为θ，圆柱的体积为Vcm3．（Ⅰ）求V关于θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）求圆柱形罐子体积V的最大值．参考答案：【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）由已知条件寻找数量间的等式关系，由此能求出圆柱的体积V关于θ的函数关系式．（Ⅱ）令t=sinθ，t∈（0，1），cos2θ=1﹣t2，f（t）=，t∈（0，1），f′（x）=，由此利用导数性质能求出体积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵半径为30cm的圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料OABC