湖南省常德市莲池中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省常德市莲池中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列满足，，则它的前6项的和为（

）A.21

B．135

C．95

D．23参考答案：A略2.设a=（3x2﹣2x）dx，则（ax2﹣）6的展开式中的第4项为（）A．﹣1280x3 B．﹣1280 C．240 D．﹣240参考答案：A【考点】定积分．【专题】导数的综合应用；二项式定理．【分析】先计算定积分，再写出二项式的通项，即可求得展开式中的第4项．【解答】解：由于a=（3x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）=4，则（ax2﹣）6的通项为=（﹣1）r?，故（ax2﹣）6的展开式中的第4项为T3+1=，故选：A．【点评】本题考查定积分知识，考查二项展开式，考查展开式中的特殊项，属于基础题．3.集合，，则下列结论正确的是(

)A．

B．C．

D．参考答案：D4.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略5.若等差数列的前7项和，且，则(

)A.5 B.6 C.7 D.8参考答案：C

解得，知识点：等差数列性质

难度：16.在各项均为正数的等比数列中，则

A．4

B．6 C．8

D．参考答案：C7.已知集合，若，则m的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：8.平面直角坐标系中，在由x轴、x=、x=和y=2所围成的矩形中任取一点，满足不等关系y≤1﹣sin3x的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】以面积为测度，求出相应区域的面积，即可求出概率．【解答】解：由x轴、x=、x=和y=2所围成的矩形的面积为2×=．利用割补法，可得满足不等关系y≤1﹣sin3x且在矩形内部的区域面积为=，∴所求概率为，故选D．9.

在复平面内，复数对应的点位于

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：答案：D10.已知函数y=2的定义域为[a,b],值域为[-2,1]，则b-a的值不可能是(

)A.

B.π

C.

D.2π参考答案：D【知识点】正弦函数的图象;利用图象求函数的值域.【答案解析】解：函数在上有

函数的周期,值域含最小值不含最大值，故定义域小于一个周期,故选D【思路点拨】结合三角函数R上的值域，当定义域为，值域为，可知小于一个周期，从而可得结果．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于

.

参考答案：.试题分析：当时，第一次执行循环体：，；第二次执行循环体：，；第三次执行循环体：，；第四次执行循环体：，，此时输出.考点：程序框图与算法.12.若向量满足∥，且⊥，则＝

．参考答案：0略13.若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为

参考答案：或略14.公比为的等比数列的各项都为正数，且，则_______；_________________.参考答案：；由，解得。又，所以，所以.15.一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地抽取了3张标签，则取出的3张标签的标号的平均数是3的概率为

．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从1，2，3，4，5这五个数中任取3个数，先求出基本基本事件总数，再用列举法求出三个数的平均数是3包含的基本事件个数，由此能求出取出的3张标签的标号的平均数是3的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中任取3个数，用列举法可知，共有10种情况，而其中三个数的平均数是3的只有1，3，5和2，3，4两种情况，∴取出的3张标签的标号的平均数是3的概率为．故答案为：．16.平面向量与的夹角为60°，=(2,0)，||=1，则|+2|＝

参考答案：2【知识点】平面向量的数量积及应用F3由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12∴|a+2b|=2.【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．17.(极坐标系与参数方程选做题)若分别是曲线和上的动点，则两点间的距离的最小值是

；

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，⊙O和⊙相交于两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明[]参考答案：略19.在△ABC中，A=30°，BC=2，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD=2，△BCD的面积为4．（Ⅰ）求cos∠BCD的值；（Ⅱ）求边AC的长．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用三角形面积公式表示出三角形BCD面积，把BC，CD以及已知面积代入求出sin∠BCD的值，即可确定出cos∠BCD的值；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把CD，BC，以及cos∠BCD的值代入求出DB的值，利用勾股定理的逆定理确定出三角形ACD为直角三角形，利用含30度直角三角形的性质求出AC的长即可．【解答】解：（Ⅰ）∵BC=2，CD=2，S△BCD=BC?CD?sin∠BCD=4，∴sin∠BCD=．∵∠BCD为锐角，∴cos∠BCD==；（Ⅱ）在△BCD中，CD=2，BC=2，cos∠BCD=，由余弦定理得：DB2=CD2+BC2﹣2CD?BC?cos∠BCD=4+20﹣8=16，即DB=4，∵DB2+CD2=BC2，∴∠CDB=90°，即△ACD为直角三角形，∵A=30°，∴AC=2CD=4．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20.已知函数f（x）=exsinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣ex，（其中e是自然对数的底数）．（1）?x1∈，?x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．参考答案：【考点】6P：不等式恒成立的问题．【分析】（1）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（2）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】（1）解：∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣ex，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣ex，∵x∈，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0，ex≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=﹣，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（2）证明：x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证exsinx﹣cosx＞xcosx﹣ex，只要证ex（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证，下面证明x＞﹣1时，不等式成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，∴直线AB的方程为y=k（x+），由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．21.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面，∥,，，为上一点，平面．（Ⅰ）求证：∥平面.（Ⅱ）若，求点D到平面EMC的距离.参考答案：见解析考点：空间几何体的表面积与体积平行（Ⅰ）证明：取的中点，连接，因为，

所以，又因为平面，

所以，所以平面，

因为平面，所以∥，

面，平面,

所以∥平面；

（Ⅱ）因为平面，面，所以平面平面，

平面平面,

过点作直线,则平面，

由已知平面，∥,，

可得，

又，所以为的中点，在中，，

在中，，

在中，，由等面积法知，

所以，即点D到平面EMC的距离为．22.已知函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx．（1）；令F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（2）设r（x）=f（x）+g（）对任意a∈（1，2），总存在x∈[，1]使不等式r（x）＞k（1﹣a2）成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出F（x）的导数，解关于导函数的方程，从而求出函数的单调区间即可；（2）a∈（1，2）时，求出F（x）的导数，判断函数在（，+∞）时，F（x）是增函数，于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式ln+1﹣a+k（a2﹣1）＞0恒成立，再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ax﹣lnx，x＞0F′（x）=2x﹣a﹣=，令h（x）=2x2﹣ax﹣1，△=a2+8＞0，解h（x）=0得：x1=＜0（舍），x2=＞0，∴F（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）r（x）=f（x）+g（）=x2﹣ax+ln，∴r′（x）=，∵a∈（1，2），∴＜，∴x∈（，+∞）时，F（x）是增函数，∴x∈[，1]，F（x）max=F（1）=1﹣a+ln，a∈（1，2），∵对任意的a∈（1，2），总存在x∈[，1]，使不等式F（x）＞k（1﹣a2）成立，∴对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a+ln＞k（1﹣a2）成立．于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式ln+1﹣a+k（a2﹣1）＞0恒成立．记g（a）=ln+1﹣a+k（a2﹣1），（1＜a＜2）则g′（a）=（2ka﹣1+2k），当k=0时，g′（a）=＜0，∴g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）＜g（1）