关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例(曹文红)

对于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教教事例湖北省宜昌市夷陵中学曹文红问题背景圆锥曲线的中点弦问题是分析几何中的一类常有问题。对于求解以定点为中点的弦所在直线方程问题，很多同学习惯于利用“点差法”先求直线斜率：即第一设弦的两头点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，代入圆锥曲线方程得到双方程后再相减，进而获得弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决。此方法奇妙地将斜率公式和中点坐标公式联合起来，设而不求，代点作差，能够减少计算量，提升解题速度，优化解题过程，对解决此类问题的确拥有很好的成效。但在详细应用时，因为“点差法”所一定具备的前提条件是切合条件的直线的确存在，不然就会产生增根。而学生因为认知方面的原由，对于此类问题常常只注意利用“点差法”先求直线斜率再求方程却经常忽视了查验切合条件的直线能否存在，进而走入“点差法”的误区，出现错误却没法觉察。为此，我特意设计了一节利用“点差法”求直线斜率的习题课，经过师生互动、合作研究的方式，使教课过程生动开朗，一波三折，使学生加深了对求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题的认识，认清了产生增根的本源，找到了简易易行的查验方法，收到了较好的教课成效。事例实录1、创建情形，提出问题师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的地点关系，知道认识决这类问题的主要方法。下边请大家看问题1：已知点M(4,2)是直线l被椭圆x2y21所截得的线段的中点，求直线l的方程。369问题提出后，如同一石激起千层浪，学生的研究热忱被激倡始来，开始了对问题的研究。2、自主研究，裸露思想学生求解的同时，教师内行间巡视，发现生1很快得出了却果，于是请生1登台板书：生1：解：设直线l与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x124y1236，x224y2236，两式相减，得：x1x2x1x24y1y2y1y20，因为M(4,2)为AB中点，所以有：x1x28,y1y24，所以kABy1y2(x1x2)1，故所求直线l的方程为x1x24(y1y2)2y21。(x4)，即x2y802师：很好！先求直线斜率，过程特别简捷。同学们还有没有其余的方法？生2：有，明显直线l斜率存在，设其斜率为k，则所求直线方程为y2k(x4)，联立椭圆方程消去y并整理可得(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360，由韦达定理求得k再求出直线l的方程。可是这类解法计算量比较大，过程比较麻烦。师：以上两种解法就是求解以定点为中点的弦所在直线方程的常用方法，们不如称之为“点差法”和“联立法”。此中联立直线与椭圆方程消去

1，2我y（或x）再由韦达定理求出k固然思路很清楚，但运算比较复杂，故一般状况下优先考虑“点差法”。那么，使用“点差法”时要注意什么问题呢？我们再来看看问题2：已知双曲线的方程为x2y21，问能否存在被2点M(1,1)均分的弦？若存在，求出弦所在直线方程；若不存在，说明原由。（片晌后）生3：（登台板书）解：假定存在被点M均分的弦AB，设22y222y11，x21，相减得：A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x122x1x2x1x2y1y2y1y20，2因为M1,1为AB的中点，所以有：x1x22,y1y22，所以kABy1y22，故所求直线l的方程为y2x1。x1x2师：仍是用“点差法”先求直线斜率，过程和问题1完整近似。那么能否无论题目中是椭圆或许双曲线，对此类问题都是这样求解的呢？3、辨析错误，概括结论生4：老师，我经过绘图，发现直线y2x1跟已知双曲线没有交点，是不是我绘图不正确啊？可是我画了好几遍呢。会不会是这样的直线根本就不存在呢？师：真的是绘图不正确吗？大家再换个角度想一想看，除了绘图外，我们还有没有其余方法来判断直线y2x1能否为我们要求的直线呢？（片晌后）生5：可用“联立法”并联合来判断。我的解法是：假定切合条件的直线存在，则它明显不与y轴平行，故可设其方程为：y1kx1，代入双曲线方程化简整理得：2k2x22k22kxk22k30①又设弦的两头点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两实根，由韦达定理有xx22k22k2，可解得k2，但此时方程①中212k80，说明直线与双曲线无交点，故被点M(1,1)均分的弦不存在。师：很好！方才两位同学都很擅长思虑：一位同学经过绘图发现了直线与双曲线无交点；另一位同学用代数方法考证了所求直线y2x1与双曲线确实没有公共点，即切合题意的直线不存在，这就启迪我们此后在解决直线与圆锥曲线地点关系的有关问题时，要注意运用对所求得结果进行查验。同学们再考虑一下，前面的问题1能否也需要考证0？生6：需要。经过考证，0建立，说明所求直线x2y80切合题意。生7：可不需考证0。因为点M(4,2)明显在椭圆x2y21内部，369故过点M的直线x2y80与椭圆必然有两个交点。师：若是点M在椭圆的外面呢？生7：这时点M不行能是椭圆的弦的中点，这样的直线不存在。师：问题2能否也能够不考证0而只要经过点M与双曲线的地点关系来判断呢？也就是说中点弦的存在能否只与中点（定点）的地点有关呢？（思虑片晌后）生7：能够。假如点M在双曲线的内部，那么以该点为中点的弦必定存在，此时不需考证；假如点M在双曲线的外面（如问题2），那么以该点为中点的弦可能存在也可能不存在，此时一定考证0。师：概括得很好，操作性很强。此后再求解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再考证0能否建立，也可经过定点与椭圆、双曲线的位置关系来判断以定点为中点的直线能否存在。可是对于解答题，从考试得分的角度看，仍是借助于鉴别式判断较为安妥。4、深入研究，正本清源生3：老师，我仍是不理解，为何在问题

2中直线

y

2x

1不切合题意，却又能够被我们用“点差法”求出来？师：问得好，我们在学习中就需要这类“打破沙锅问究竟，不达目的不罢手”的精神。下边请大家持续研究，一同来解决这个问题好吗？（学生疏组进行议论，教师赐予适合指导，最后教师进行总结）师：对于问题2，直线与双曲线的交点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标需要知足方程组（Ⅰ）；而使用“点差法”求斜率时，A(x1,y1),B(x2,y2)两点坐标只要知足方程组（Ⅱ）。此中：方程组（Ⅰ）x12y121(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0222y221；方程组（Ⅱ）x1x21x22x12x21y1y2122y1y212明显方程组（Ⅰ）的解必然知足方程组（Ⅱ），而反之却不必定知足。问题2中方程组（Ⅱ）有解但方程组（Ⅰ）却无解，也就是知足条件的点A,B其实不存在。而在用“点差法”求解的过程中对坐标的要求降低（只要知足方程组（Ⅱ）即可），所以会出现增根的现象。故“点差法”不过求中点弦的必需条件，一定还要考证能否切合题设条件。5、留下问题，课后研究研究到这里，很快就要下课了。为进一步激发学生的学习兴趣，鼓舞他们踊跃思虑，我又向学生提出了一个思虑题，让学生带着问题走出讲堂。师：本节课，我们主要研究了利用“点差法”求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题。经过大家的努力，不单掌握了用“点差法”求直线斜率的方法，并且认识到中点弦能否存在只与中点（定点）的地点有关，并对于所求结果能否为增根找到了两种查验方法。希望同学们切记“点差法”要诀：“设点作差，考证”。此外，使用“点差法”，我们还能够证明与椭圆、双曲线的中点弦有关的一些实用的结论，如：若AB是椭圆x2y21(ab0)中不平行于坐标轴的弦，M为弦AB的中点，则a2b2kOMkABb2a2；在双曲线中也有近似结论，建议同学们课后进一步研究。教后反省利用“点差法”求解以定点为中点的弦所在的直线方程，是在学习完圆锥曲线的有关内容后的一节分析几何习题课。本节课从常有的两道例题入手，从指引学生发现问题起，自然引出了椭圆、双曲线的中点弦能否存在的问题，并让学生直接参加研究过程。经过对例题的讲评，纠错，教师适合点拨指引，学生活动踊跃充分，使学生在亲自体验中不单加深了对椭圆、双曲线知识的认识，并且能够进一步理解和掌握分析几何的基本思想方法，使学生在学习数学的过程中培育了思想能力。特别是在研究的过程中突出了数形联合的思想方法，学生既有从形下手，察看图形，并勇敢猜想得出规律的；也有从数下手，定性剖析，用代数计算考证结论的，做到了既重几何直观又重代数推理，使之有机交融，条理化的体现，研究逐渐深入。最后把对椭圆、双曲线中点弦问题的研究推向一般化，不单实现了教课任务，并且所得结论对于学生系统掌握直线与圆锥曲线的中点弦问题拥有必定的指导意义。高中数学课程标准明确指出：数学研究是贯串于整个高中数学课程的重要内容。对教师来说，研究什么？怎样研究？在研究过程中教师和学生疏别饰演什么样的角色？，等等问题，值得我们教师进行深层