机械优化设计试卷期末考试(补充版)

第一、填空题1.构成优化设计数学模型的三因素是设计变量、目标函数、拘束条件。2.函数fx1,x2x12x224x1x25在X02点处的梯度为12，海赛矩阵4024为243.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反应，所以对它最基本的要求是能用来评论设计的好坏，，同时一定是设计变量的可计算函数4.成立优化设计数学模型的基来源则是切实反应

。工程实质问题，的基础上力争简洁。5.拘束条件的尺度变换常称规格化，这是为改良数学模型性态常用的一种方法。6.随机方向法所用的步长一般按加快步长法来确立，此法是指挨次迭代的步长按必定的比率递加的方法。7.最速降落法以

负梯度

方向作为搜寻方向，所以最速降落法又称为

梯度法，其收敛速度较

慢

。8.二元函数在某点处获得极值的充分条件是

f

X0

0必需条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是经过增添变量将等式拘束优化问题变为无拘束优化问题，这类方法又被称为升维法。改变复合形形状的搜寻方法主要有反射，扩充，缩短，压缩坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转变为单变量的优化问题12．在选择拘束条件时应特别注意防止出现互相矛盾的拘束，，此外应当尽量减少不必需的拘束

。13．目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只好在n+1,维空间中反应目标函数的变化状况，常采纳目标函数等值面

空间中描绘出来，为了在的方法。

n14.数学规划法的迭代公式是

Xk1

Xk

kdk

，其核心是

成立搜寻方向，

和计算最正确步长1516.机械优化设计的一般过程中，成立优化设计数学模型是首要和重点的一步，它是取得正确结果的前提。二、名词解说1．凸规划关于拘束优化问题minfXst..gjX0(j1,2,3,,m)若fX、gjX(j1,2,3,,m)都为凸函数，则称此问题为凸规划。2．可行搜寻方向是指当设计点沿该方向作微量挪动时，目标函数值降落，且不会越出可行域。3．设计空间：n个设计变量为坐标所构成的实空间，它是全部设计方案的组合4．.靠谱度产品在规定的条件，规定的时间内达成规定功能的概率.5．收敛性是指某种迭代程序产生的序列Xkk0,1,收敛于limXk1Xk6.非劣解：是指如有m个目标fiXi1,2,m，当要求m-1个目标函数值不变坏时，找不到一个X，使得另一个目标函数值fiX比fiX，则将此X为非劣解。黄金切割法：是指将一线段分红两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。可行域：知足全部拘束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。9.维修度在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的维修条件下，在规定的维修时间t内修复完成的概率1、设计变量答：在优化设计计程中，一组需要精选的、作为变量来办理的独立设计参数（或需要精选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的一组独立的设计参数）2、目标函数答：在优化设计中，用来评论设计方案好坏程度、并能够用设计变量所表达成的函数，称为目标函数（或用设计变量来表达所追求目标的函数）3、设计拘束答：在优化设计中，对设计变量取值的限制条件，称为拘束条件和设计拘束（或对设计变量取值限制的附带设计条件）4、最长处、最优值和最优解答：选用适合优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作：*＝[x1*，x2*，x3*，．．．．，xｎ*]T使该设计点的目标函数Ｆ

(x*)为最小，点

x*称为最长处（极小点）。相应的目标函数值Ｆ

(x*)称为最优值（极小值）。一个优化问题的最优解包着最长处（极小点）和最优值（极小值）

。把最长处和最优值的总和通称为最优解。或：优化设计就是求解

n个设计变量在知足拘束条件下使目标函数达到最小值，即min

f(x)=f(x*)

x∈Ｒns.t.

ｇu（ｘ）≤

0，ｕ＝

1,2,．．．,m；v（ｘ）＝0，ｖ＝1,2,．．．,p<n称x*为最优解，f(x*)为最优值。最长处x*和最优值f(x*)即构成了最优解三、简答题1．什么是内点处罚函数法？什么是外点处罚函数法？他们合用的优化问题是什么？在构造处罚函数时，内点处罚函数法和外点处罚函数法的处罚因子的选用有何不一样？1）内点处罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐渐迫近拘束界限上的最长处。内点法只好用来求解拥有不等式拘束的优化问题。内点处罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于0的数列。相邻两次迭代的惩在可行域以外，序列迭代点从可行域以外渐渐迫近拘束界限上的最长处。外点法能够用来求解含不等式和等式拘束的优化问题。外点处罚函数法的处罚因子，它是由小到大，且趋近于的数列。处罚因子按下式递加rkcrk1(k1,2,)，式中c为处罚因子的递加系数，往常取c5~102．共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是如何的？试绘图说明。.关于二次函数，fX1XTGXbTXc,从Xk点出发，沿G的某一共轭方向dk作2一维搜寻，抵达Xk1点，则Xk1点处的搜寻方向dj应知足djTgk1gk0，即终点Xk1与始点Xk的梯度之差gk1gk与dk的共轭方向dj正交。3．为何说共轭梯度法实质上是对最速降落法进行的一种改良？.答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依靠于迭代点处的负梯度结构出来的。共轭梯度法的第一个搜寻方向取负梯度方向，这是最速降落法。其他各步的搜寻方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法的实质是对最速降落法的一种改良。4.写出故障树的基本符号及表示的因果关系。略5.算法的收敛准则由哪些？试简单说明。略6.优化设计的数学模型一般有哪几部分构成？简单说明。略7．简述随机方向法的基本思路答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特征，干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值降落最快的随机方向作为可行搜寻方向。

产生若从初始点出发，沿搜寻方向以必定的步进步行搜寻，获得新的

X值，新点应当知足必定的条件，至此达成第一次迭代。而后将开端点移至

X

，重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最后获得拘束最优解。数值计算迭代法的基本思想和迭代格式。数值计算迭代法的基本思想：数值计算迭代法完整部是依靠于计算机的数值计算特色而产生的，它不是剖析方法，而是拥有必定逻辑结构并按必定格式频频运算的一种方法。（5分）其迭代法计算的基本格式是：从一点出发，依据目标函数和拘束函数在该点的某些信息，确立本次迭代计算的一个方向S(k)和适合的步长α(k)，进而到一个新点，即：X(k+1)＝x(k)＋α(k)S(k)k=0,1,2,3.式中：x(k)——前一步获得的设计方案（迭代点）。在开始计算时，即为迭代的初始点x(0)；X(k+1)——新的改正设计方案（新的迭代点）；S(k)——第k次迭代计算的搜寻方向（能够看作本次改正设计的定向挪动方向）；(k)——第k次迭代计算的步长因子，是个数目的。计算题1．试用牛顿法求f25x20TX8xX01010T，则初始点处的函数值和梯度分别为fX01700fX016x14x2200，沿梯度方向进行一维搜寻，有4x110x2140X1X00fX0102001020010014010140

00为一维搜寻最正确步长，应知足极值必需条件fX1minfX0fX0min81020024102001014051014020000min59600进而算出一维搜寻最正确步长00.05622641060000则第一次迭代设计点地点和函数值X11020010140

00

1.24528302.1283019fX124.4528302，进而达成第一次迭代。按上边的过程挨次进行下去，即可求得最优解。2、试用黄金切割法求函数f20的极小点和极小值，设搜寻区间a,b0.2,1（迭代一次即可）解：明显此时，搜寻区间a,b0.2,1，第一插入两点1和2，由式1b(ba)10.61810.20.50562a(ba)0.20.61810.20.6944计算相应插入点的函数值f140.0626,f229.4962。因为f1f2。所以消去区间a,1，获得新的搜寻区间1,b，即1,ba,b0.5056,1。第一次迭代：插入点10.6944，20.50560.618(10.5056)0.8111相应插入点的函数值f129.4962,f225.4690，因为f1f2，故消去所以消去区间a,1，获得新的搜寻区间1,b，则形成新的搜寻区间1,ba,b0.6944,1。至此达成第一次迭代，持续重复迭代过程，最后可获得极小点。fX16x1225x22+5的极小点，设X0T3．用牛顿法求目标函数22。f解：由X022TfX0x132x164，则f50x2100x22f2f2fX0x12x1x2320，其逆矩阵为2f2f050x2x1x22102fX01321050210640所以可得：X1X02fX01X032f211000050fX15，进而经过一次迭代即求得极小点X00TX5，f4.下表是用黄金切割法求目标函数f20的极小值的计算过程，请达成下表。迭代序号a12by1比较y200.211迭代序号a12by1比较y200.20.50560.6944140.0626〉29.496210.50560.69440.8111129.4962〉25.46905、求二元函数f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在x0=[00]T处函数变化率最大的方向和数值？解：因为函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P表示函数变化率最大和数值是梯度的模IIf(x0)II。求f(x1,x2)在x0点处的梯度方向和数值，计算以下：f4f(x0)=x12x14f==22x22x0x2x0IIf(x0)II=(f)2(f)2=(4)2(2)225x1x242f(x0)2P=5f(x0)2515在x1x2平面上画出函数等值线和x0（0,0）点处的梯度方向P，如图2-1所示。从图中能够看出，在x0点函数变化率最大的方向P即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方向。6、用共轭梯度法求二次函数f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2x1x2的极小点及极小值？解：取初始点x011T则2x12x244g0=f(x0)2x124x2x0取d0=-g0=42沿d0方向进行一维搜寻，得1414x1=x0+0d0=02121

00此中的0为最正确步长，可经过f（x1）=min1(),1(0)0求得10=4则x11414=02121

00

212为成立第二个共轭方向d1，需计算x1点处的梯度及系数0值，得1f（x1）=2x12x241g=4x22x12x12510g12204g0进而求得第二个共轭方向114211034222再沿d1进行一维搜寻，得2222x2=x1+1d1=113132222

11此中的1为最正确步长，经过f（x2）=min2(),2(1)0求得1=1则x2=计算x2点处的梯度

2222113132222

4=22x12x240g2=f（x2）=2x1x204x20说明x2点知足极值必需条件，再依据x2点的海赛矩阵G(x2)=2224是正定的，可知x2知足极值充分必需条件。故x2为极小点，即x*x242而函数极小值为f(x*)8。7、求拘束优化问题Minf(x)=(x1-2)222+(x-1)s.t.h(x)=x1+2x2-2=0的最优解？解：该问题的拘束最优解为x*1.60.2T,f(x*)0.8。