福建省三明市宁化县第五中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析

福建省三明市宁化县第五中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆的直角坐标方程为．在以原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（A）（B）（C）（D）参考答案：A因为在极坐标系中，，代入方程得，即，选A.2.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（

）A.最长棱的棱长为B.最长棱的棱长为3C.侧面四个三角形都是直角三角形D.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形参考答案：C【详解】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直，根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图（如图所示）：由图可知，，，面，面，，所以，，中，，，，，所以，所以是直角三角形，所以最长的棱长是，侧面都是直角三角形．本题选择C选项.3.已知实数x，y满足，则x+y的取值范围为（）A．[2，5] B．[2，] C．[，5] D．[5，+∞）参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点A或B点时，z的最值即可．【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，由图知，当直线z=x+y过点A（1，1）时，z最小值为：2．当直线z=x+y过点B（1，4）时，z最大值为：5．则x+y的取值范围为：[2，5]．故选：A．4.如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为(

)A．4π B．2π C．π D．参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分．【解答】解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面积．所以答案为，故选D．【点评】解决此类问题的关键是熟悉结合体的结构特征与球的定义以及其表面积的计算公式．5.设是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列，则的值为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C略6.在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为（） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（2，+∞）参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程． 【分析】把圆的方程化为标准方程后找出圆心坐标和半径，根据第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0且横纵坐标的绝对值小于2得到关于a的不等式，求出a的范围即可． 【解答】解：把圆的方程化为标准形式得（x+a）2+（y﹣2a）2=4，所以圆心（﹣a，2a），半径等于2， ﹣a＞0且2a＜0，解得a＜0；|﹣a|＞2且|2a|＞2， 解得a＜﹣2或a＞2， 所以a的取值范围（﹣∞，﹣2）． 故选A． 【点评】此题考查学生会将圆的一般式方程化为圆的标准方程，掌握第四象限点横坐标大于0纵坐标小于0的特点，是一道基础题． 7.已知集合A={﹣1，1，4}，B={y|y=log2|x|+1，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3，4} B．{﹣1，1，3} C．{1，3} D．{1}参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别让x取﹣1，1，4，然后求出对应的y，从而得出集合B，然后进行交集运算即可．【解答】解：x=﹣1，或1时，y=1；x=4时，y=3；∴B={1，3}；∴A∩B={1}．故选D．8.执行如图的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A．（9，10） B．（12，13） C．（13，14） D．（13，12）参考答案：A考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，n的值，当n=4时不满足条件n＜4，退出循环，输出数对（9，10）．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=7，y=6n=1满足条件n＜4，x=7，y=8，n=2满足条件n＜4，x=9，y=8，n=3满足条件n＜4，x=9，y=10，n=4不满足条件n＜4，退出循环，输出数对（9，10）故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，y，n的值是解题的关键，属于基础题．9.的单调减区间为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=27,=3,则a3=A.±9

B. 9

C.3

D. ±3参考答案：D由已知可得，两式相除可得，，所以.故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，满足约束条件，则的最小值为 ．参考答案：考点：简单线性规划．【方法点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.12.如图为了测量A,C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度（单位：km）：，如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为___________km.参考答案：7【知识点】余弦定理的应用C8∵A、B、C、D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π．∴∠B+∠D=π，∴由余弦定理可得AC2=52+32﹣2?5?3?cosD=34﹣30cosD，AC2=52+82﹣2?5?8?cosB=89﹣80cosB，∵∠B+∠D=π，即cosB=﹣cosD，∴=，∴可解得AC=7．故答案为：7.【思路点拨】利用余弦定理，结合∠B+∠D=π，即可求出AC的长．13.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，，E为AB的中点，将与分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为

。参考答案：

14.抛物线的焦点坐标为

。

参考答案：略15.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为

.参考答案：

设正方体边长为，则，外接球直径为

16.党的十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，团结带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，则这50位农民的年收入（单位：千元）的中位数为_________．参考答案：【分析】先判断中位数所在区间，再根据概率求中位数.【详解】中位数所在区间在，设为，则故答案为【点睛】本题考查频率分布直方图以及中位数，考查基本分析求解能力，属基础题.17.方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在R上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是R；④若函数和的图像关于原点对称，则函数的图像就是方程确定的曲线.其中所有正确的命题序号是

.

参考答案：【知识点】函数的图像与性质

B9D根据题意画出方程的曲线即为函数的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形

从图形中可以看出，关于函数的有下列说法：

①在R上单调递减；正确．

②由于即，从而图形上看，函数的图象与直线没有交点，故函数不存在零点；正确．③函数的值域是R；正确．③函数的值域是R；正确.

④根据曲线关于原点对称的曲线方程的公式，可得若函数和的图象关于原点对称，则用分别代替，可得就是表达式，可得，则的图象对应的方程是，说明④错误

其中正确的个数是3．【思路点拨】根据题意画出方程的曲线即为函数的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数的结论的正确性．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，点C是以AB为直径的圆O上不与A、B重合的一个动点，S是圆O所在平面外一点，且总有SC⊥平面ABC，M是SB的中点，AB=SC=2．

（Ⅰ）求证：OM⊥BC；

（Ⅱ）当四面体S－ABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为，二面角B－SA－C的大小为，分别求的值．参考答案：（Ⅰ）略（Ⅱ），试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，往往通过证明线面垂直得出.本题即是通过证明BC⊥平面SAC，从而得出OM⊥BC的；（Ⅱ）先找出四面体S－ABC的体积最大时成立的条件，进而找出线面角及二面角的平面角，放在三角形中求出的值.也可建立空间直角坐标系，利用空间向量来解决.试题解析：(Ⅰ)证：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC

又SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC∵，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA 2分

O、M分别为AB、SB的中点，故OM平行于SA

∴OM⊥BC 4分(Ⅱ)解：四面体S－ABC的体积

当且仅当时取得最大值 6分

方法一

取BC的中点N，连接MN、AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC

∴， 9分

作CH⊥SA垂足为H，连接BH，由(Ⅰ)知BC⊥SA，∴SA⊥平面BCH，BH⊥SA

故，在中，, 12分方法二

以分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则

C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，S(0，0，2)

进而M(0，，1)，

是平面ABC的一个法向量，

故， 9分

设v=(x，y，z)是平面SAB的一个法向量，则,即

故可取，由（1）知，是平面SAC的一个法向量

故 12分考点：空间点、线、面的位置关系19.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sin2B=sin2C﹣sinAsinB．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若，△ABC的中线CD=2，求△ABC面积S的值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）正余弦定理化简可得答案．（Ⅱ）由可得：，由余弦定理求出ab的值，即可求出△ABC面积S的值．【解答】解：（I）在△ABC中，∵sin2A+sin2B=sin2C﹣sinAsinB，由正弦定理得：a2+b2﹣c2=﹣ab．由余弦定理可得．∵0＜C＜π，∴．（II）由，可得：，即a2+b2﹣ab=16．又由余弦定理得a2+b2+ab=24，∴ab=4．故得△ABC面积．20.(本小题满分12分)已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．（I）求椭圆的方程；（II）直线与椭圆相交于、两点，为原点，在、上分别存在异于点的点、，使得在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围．参考答案：（I）依题意，可设椭圆的方程为．

由

∵椭圆经过点，则，解得∴椭圆的方程为······························································································（II）联立方程组，消去整理得·························∵直线与椭圆有两个交点，∴，解得

①·························································∵原点在以为直径的圆外，∴为锐角，即．而、分别在、上且异于点，即···············································设两点坐标分别为，则

解得

，

②··································································综合①②可知：·································································

21.（本题满分12分）已知，函数．（Ⅰ）若，求函数的极值点；（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围．（为自然对数的底数）参考答案：（Ⅰ）若，则，．当时，，单调递增；当时，，单调递减． …2分又因为，，所以当时，；当时，；当时，；当时，． …4分故