水量计算问题

河南理工大学2011年数学建模竞赛论文答卷编号（竞赛组委会填写）：题目编号（A、B、C、D、E之一论文题目：水量计算问题参赛队员信息（必填）：封二答卷编号（竞赛组委会填写）：评阅情况（学校评阅专家填写）：评阅1评阅2评阅3摘要本文通过设计构造辐射井的地下水降落曲线的数学公式，来建立辐射井水量的计算模型。针对问题一：根据辐射管在水平布置上的对称性，可将问题简化为对一扇形域的水流运动的研究。又结合题中相关数据，分析辐射管在含水层中对地下水降落曲线、地下水渗透范围的影响情况，得到辐射管汇集水量的大小与降落曲线高度近似呈正比例关系。分析实测的辐射井降落曲线资料得出地下水降落曲线高度Tx与距离X之间近似呈自然对数的函数关系，构建地下水降落曲线的函数关系式，并将观测井取得的相关数据代入进行验证，证明了函数的可行性。针对问题二：结合题中相关数据，分析辐射管在含水层中对地下水降落曲线、地下水渗透范围的影响情况，将沿辐射井横剖面上的地下水降落曲线近似为高度的平均直线；可知集水井井壁、辐射管端点外侧流进水量占总水量的很小比例，可只计算沿垂直方向流入辐射管的水量。按照降落曲线的函数式，采用积分法得到沿辐射管全程的平均高度，再结合平均高度T对应的水平距R、剖面矩形宽度b、局部H—Tq=k—x 旷阻抗系数e以及集水管的汇流强度公式xex，即可得到辐射井出水量。针对问题三：根据问题一二中建立的模型进行数据处理。在问题一种利用附件一中所给的数据，得出参数«、T，然后将其代入公式中，得出相应的结果，再与实际测量0的数据进行比较，判断误差大小，进行评价；问题二中计算出相应的参数变量—、Td、△匚，然后通过计算公式得出申的值，再代入求出对应时间的Q，比较实际TT n测量数并分析。关键字：汇流强度局部阻抗系数降落曲线弯曲率单管流量1、问题重述辐射井是由一口大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到竖井中。辐射井与常规井相比，具有出水量大、寿命长、管理费用低、维修方便、便于集中管理等优点。从20世纪60年代以来，辐射井技术已在我国推广应用。如辐射井在华北深基坑工程降水中，取得了较好的效果。随着北京东直门地铁站采用辐射井降水技术取得成功，目前辐射井技术在地铁施工又发挥着重要作用。要求：（1） 设计构造辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式。（2） 建立辐射井水量计算模型。（3） 利用所给数据1，2，3对建立公式、模型进行分析检验。2、问题分析此题研究的是辐射井水量计算的数学模型。首先要明确影响辐射井水量计算的可能存在因素：辐射管数量、长度和分布、水位下降时间、渗透系数、孔隙比、井水的种类、地下水的流态等等，其中辐射管数量、长度和分布、渗透系数、孔隙比、井水种类等因素题中已经给出了确切的数据和限定，使我们在构造辐射井地下水降落曲线（面）数学公式和计算水量的过程中可以直接应用。2.1、设计构造辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式辐射井的工作状况与普通筒井有很大不同。就地下水降落曲线看，一般筒井影响范围内,地下水降落曲线呈上凸的抛物线，近井处水力坡度很陡，远井逐渐变平缓，在井壁处往往有明显的水跃发生。而辐射井在水平辐射管延伸范围内，降落曲线与筒井刚好相反，近井处水力坡度平缓，远处陡峭，呈下凹曲线，井壁处几乎不发生水跃。在辐射管的端点处，水力坡度陡增，并出现凸凹拐点。在辐射管延伸范围以外，降落曲线改变成上凸的抛物线，水力坡度由陡变缓，与普通井一致。由于黄土垂直方向的渗透系数比水平方向大若干倍，加上辐射管的水平位置的影响，黄土地含水层的地下水基本是沿着垂直方向进入辐射管。当地下水位由于抽水下降时，这一现象在水平集水管延伸范围内尤为明显。此时，大部分水量由辐射管截取后，通过管道汇入集水井，而通过集水井井壁和辐射管端点外侧流进的水量，则占很少比例。为方便计算，可以只考虑沿垂直方向流入辐射管的水量。辐射管汇集水量的大小与降落曲线高度,基本上成正比例的关系。管中水流,由于有压管流,其水头沿程变化相对很小,可视为相当于井水位的一个固定值。分析实测的辐射井降落曲线资料可以得出，高度T与距离x之间，近似地呈自x然对数的函数关系，并且随集水井中水面的高度T的变化而变化。根据资料得p到经验表达式T=T+（T-T）e-ger）代入表一所给出的数据，对该函数进行多xp0p次检验，如果在误差允许范围内所得计算值与实测值相差不大，则表明该函数是合理的且能够进行运用。经多次检验证明了运用此种方法所得的函数确实是可行的，即得到辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式。

辐射井的平面布设图和表示其工作状况的剖面图，参看图1和图2）图1辐射井平面布设图图2辐射井工作状况（纵剖面）图2.2、建立辐射井水量计算模型辐射井能够充分利用黄土垂直方向渗透性强这一特点,从黄土层中大量汇集地下水，其主要靠水平方向的辐射管加大出水量，辐射管的尺寸大小、长度、埋设部位以及地下水位的高度等,与辐射管汇集地下水能力的大小有密切关系。因此我们以地下水的运动规律为依据建立合理的辐射井出水量的计算模型。在每个辐射管中，对于任意部位x，进入水平集水管的单长流量（或汇流强H一T H一T度）q可用公式q=k_丄〜kH—^P计算。由于q是随着x变化的一个变x x OQ x量，欲求每根辐射管的流量Q,须将q沿辐射管全程累计起来。比较简单的处x理办法是，按照地下水降落曲线的计算公式，采用定积分法，求出沿管全程的平均高度T，与T相应的水平距R,剖面矩形宽度b和局部阻抗系数©，代入上面公式可求出x=R的平均汇流强度q=k口P，然后乘以辐射管长度，即得单管©的流量Q，则辐射井的出水量Q等于单管流量与辐射管根数n的乘积。则出水n量的计算问题主要转移到平均高度T，剖面矩形宽度b和局部阻抗系数©的求解问题上了，这样就使得我们对模型的求解变得更为清晰。2.3、利用所给数据1，2，3对建立公式、模型进行分析检验由于我们在问题一的求解中所运用的方法就是由设想到检验证明的过程，所以这个过程已经实现了对问题一中所引入的公式进行分析检验。需要指出的是，利用公式进行计算检验时，由于辐射孔端点处无观测孔和水位资料，而这些在计算中又不可缺少，因此，我们采用了相邻两观测孔N和N实测到的水位平23均值，来近似代替辐射孔端点的水位。在分析检验问题二中所建模型时，可进行多次降低井水位的抽水试验。试验过程中，用电测水位计观测地下水位，用量水堰测井的出水量，并把计算值与实际值相比较。3、模型假设与符号说明3.1、模型的假设辐射井的出水量，是设计和布置辐射井工作中所需要解决的问题之一。试在下列假定条件下：（1）潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限分布；不考虑水和介质骨架的压缩性。（2）潜水完整井，无越流补给也无入渗或蒸发。（3）垂直方向的渗透性远大于水平方向的渗透性。（4）竖井的直径3.5米。水平辐射管的长度为120米，8根辐射管均匀的分布在距隔水底板1.2米平面上，辐射管的直径为0.12米。如图2（辐射井平面布设图）。（5）该黄土含水层的渗透系数k在0.0554~0.1607（米/小时）,孔隙比（含水层中空隙的体积与固体颗粒体积之比）为0.75%。（6）实验知，辐射井的地下水降落曲线在水平集水管（辐射管）延伸范围内，呈凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓，远处陡峭。在辐射管的端点，水力坡度陡峭曲线出现凹凸拐点。在辐射管延伸范围以外，降落曲线改变成凸形的抛物线，水力坡度由陡变缓。3.2、符号说明符号符号说明Tx距集水井中心的水平距离为X处得横剖面水位平均高度（米）TP集水井中水面的咼度（米）To辐射管端点的水位高度（米）反映降落曲线弯曲程度的经验数值Ro辐射管端点距井中心的水平距离（米）r集水井的半径（米）R2距离水井较远的一个观测孔的水平距（米）Ri距集水井较近的一个观测孔的水平距（米）T2距离为R的观测孔中测得的水位高度（米）2Ti距离为R的观测孔中测得的水位高度（米）1Tr井壁处的水位咼度（米）Qn辐射井的出水量（米3 小时）

n辐射孔（管）的根数k黄土含水层的渗透系数（米/小时）H0x局部阻抗系数0相邻两根辐射孔（管）之间的夹角（度）d辐射孔（管）的直径（米）AT辐射孔（管）中心的咼度（米）附注：以上公式中各符号的高度，都是从井底算起的。4、模型建立与解答4.1、问题一的解答在扇形区间x'ox"内，由于地下水下降而从黄土含水层中释放出来的地下水，全部进入水平集水管（辐射管）CD。其中ox'及ox"为两根相邻辐射管之间的水流分界线。由于辐射管在水平布置上均匀对称的，因此，只需研究一个扇形域的水流运动，就可以概括其他；只需求出其中一根辐射管的汇集水量，就可以推算出整个辐射井的出水量。沿ox轴线方向，距井中心点x部位，具有典型代表性的运动面，应为圆弧面,其长度为A'A”。若采用长度相近的直线运动面B'B”，来代替圆弧面a'A”，就为寻求近似的理论解答创造了条件，使复杂的三维空间运动问题，转化为二维的剖面运动问题，于是，使用数学解析法求解，就变得简单易行了。图1辐射井平面布设图B'B”直线从A点穿过水平辐射管的中心线ox，并与ox相交成直角，直线的两端分别与分界线ox'和ox"相交与B'和B”。ox',ox"的夹角为0，ox为0的分角线。直线典型运动剖面的形状近似矩形，其宽度为b，平均高度为T（见图3）.xx在该剖面上，地下水降落曲线的弯曲度一般较小，故可采用平均直线来代替，即H+bT—xxx厶 O图3距离井中心x处的横剖面运动图图4中，AT为辐射管中心距井底隔水层的距离，d为辐射管（或辐射孔）的直径。当T比AT大很多倍时，也可以近似采用H或h的高度来代替平均高x xx度T。x辐射管汇集水量的大小与降落曲线高度，基本上成正比例的关系。管中水流，

由于有压管流，其水头沿程变化相对很小，可视为相对与井水位的一个固定值（见图4）。分析实测的辐射井降落曲线资料看出，高度T与距离x之间，近似地呈x自然对数的函数关系，其经验表达式如下：T—T+（T-T）e七（R0-x） ⑴xp0p

尺一耳尺一耳图4辐射井纵剖面和计算中各符号图标a为表示降落曲线弯曲程度的一个经验数值，也可以利用抽水试验观测资料，代入下式求得：1 T-T-- T_ C s（2）a= inR-R T-T211p式中T和T-21-距离集水井中心R和R两处的水位咼度；21R-R 两个观测点之间的水平距离。21在辐射管延伸范围内，对于同一条降落曲线，采用任意两个观测点的数据进行计算所得出的a值，应当是相同的。对于同一地区，同样井型结构的辐射井,a值应当是接近的。例如黄土地区，a值变化范围通常在0.01〜0.03之间。将x=R代入（1）式，得到：T=T，0 x0将x=r代入（1）式，得到：T=T=T+（T—T）e-a（R0-『） （3）xrp0p其中r 大口集水井的半径（米）；T 井壁处的水位高度（米）；r辐射管的长度（米）；其他符号同前。由公式（3）可以看出，用经验公式（1）计算得到的井壁水位高度T，比井中水面高度T要大一些。这个差值并非井壁水跃，而是由于经验曲线的局限性p所造成。辐射管的长度R-r越大，T-T差值越小，这个概念是符合实际情况p rp的。通过模拟图可以看出,模拟的辐射井的地下水的水位高度与实测水位高度还是比较接近的，其中在x=50米时，误差为0.1912%，在x=121.75米时，误差为0.9452%。大致看来还是比较符合事实的，基本上能够反映实际的曲线。（相关数据及运算见附件二）4.2、问题二的解答对于任意部位x，进入水平集水管的单长流量（或汇流强度）q用x式计算（见参考文献［5］和［6］）：4）H—Tq=k_x p4）x Qx其中：k其中：k黄土含水层的渗透系数，Q=f—，—,丄、 相应于x剖面的局部阻抗系数。xTTTxxx由于q是随着x变化的一个变量，欲求辐射管的流量Q，需将q沿辐射管xx

全程累计起来。比较简单的处理办法是，按照降落曲线的计算公式，采用定积分

法，求出沿管全程的平均高度T，与T相应的水平距R，剖面举行宽度b局部阻

抗系数Q，代入公式（4）,求出（x=R）的平均汇流强度q=kT—T-，然后乘Q5)以辐射管长度，即得单管流量5)Q=k(R0—r)

沿管全程平均水位高度根据公式（1）T=T+（T-T沿管全程平均水位高度根据公式（1）T=T+（T-T）e七（Rc-r），代入上式并积分，得:xp0p1—e—欣R0"r)+(T—T)一0pa(R—r)06)相应于咼度T的水平距离R，由公式（1）决定，代入x=R，T=T得到:x1T—TR=R一ln 皆0aT—T相应于T和R的矩形剖面宽度b，用下式计算:7)b=2tan(Q)R=2tan(Q)(R—1ln0p)2 2 0aT—T8)相应于T和b的局部阻抗系数，为含有参变量的函数bdAT0=f（, , ）•TTT根据参考文献［6］所做的理论分析，0的表达式如下:11T—AT0=ln, +(1+冗 ■ 冗AT兀d bsin2-一sin2 (AT—)2T2T2二）2T9)式中个符号同前。辐射井的出水量Q等于单管流量Q与辐射管根数n的乘积nTTQ=nk(R一r) p00（10）（即公式9）其中bdAT0=f(,, )，TTTQ 1 T—Tb=2tan( )(R一 ln 严)2 0aT—Tp（即公式8）1—e—a(R0—r)T=T+(T—T)-p 0 pa(R—r)（即公式6）1 T—Ta= ln pR—R T—T2 1 1 p（即公式2）

计算©的理论公式（9）比较冗长，使用不便。为简化记忆，将公式（9）的©函数按参变量b，d和工计算出相应的函数值，列入表1-4中，以供查找使TTT用。（见附录三中图表1,2,3,4）4.3、计算辐射井的出水量，并用实测数据验证。首先用公式（1）和（2），计算出沿管全程平均高度T，和相应的矩形剖面宽度b，然后根据b、d和工的比值，查函数表得出局部阻抗系数©，然后计算出辐射井的出水量。这里还用4月19日21时的实测数据进行计算。已知t=77.56米，，=81.165p0米，a=0.0224,r=121.75米，r=1.75米，r—r=120米，n=8,9=45。,d=0.1200米，AT=1.2米。将上述数据代入公式（6），得：1—e—0.0224X120T=77.56+(81.165—77.56) =78.8099米,0.0224X120将T=78.8047米及其他数值代入公式（8）,得:b=2xtg(22.5。)f121.75——1—In81.165-77.56]=83.0772米I 0.0224 78.8099-77.56丿各参量的比值分别为：仝T64.9578 d各参量的比值分别为：仝T64.9578 d=0.8242，-78.8099 T0.1278.8099=0.001523ATT1.2ATT1.2=0.0152378.8099，代入下面公式1—ln冗1—ln冗1 冗AT 冗'sin2 —sin2-' 2T 2Tvb+8TT-AT、2T丿得:©=2.77将以上得到的已知变量代入公式（10），在这里由于距离开始抽水的时间不长,而水位较高，考虑到土壤稀松，故取k=0.1607得出辐射井的出水量为：78.8099—77.56Q=8x0.1607x120 =69.62m3/hn1.72这个时间抽水试验实测到的辐射井出水量为70.67m3/h。模拟结果与实际测得的数据比较接近，误差为1.487%。接下来，再对其他时间点的出水量进行模拟，并与实际测量值进行比较：比如4月21日17时，T=76.07米，T=80.22米，a=0.0224，R=121.75p00

米，r=l・75米，R0r=120米，n=8, 45,d=0.12米，T1.2米。将上述数据代入公式（6），得：1e0.022412076.07 (80.22 76.07) 77.5089米,0.0224 12077.5089米及其他数值代入公式（8），得：83.0786米b2tg(22.5)121.75 - ln-8012276.0783.0786米0.0224 77.5089-76.07各参量的比值分别为：-83凹86T77.5089各参量的比值分别为：-83凹86T77.50891.07186，0.120.00154877.50891.20.01548，代入下面的公式77.5089I T■sin277.5089I T■sin2 sin2 T: 2T 2T8T2T得：2.72将以上得到的已知变量代入公式10），得出辐射井的出水量为：得：2.72将以上得到的已知变量代入公式10），得出辐射井的出水量为：54.873m54.873m3/h2.72Q8 0.10805 1202.72n这个时间抽水试验实测到的辐射井出水量为52.50m3/h。模拟结果与实际测得的数据比较接近，误差为4.52%。5、模型评价与改造5.1、模型评价优点：（1）根据辐射管尺寸、管的数量分布等因素将模型简化为对一扇形域水量的，大大减少了数据处理的工作量。（2）将公式（9）的函数按参变量匕，d和丄计算出相应的函数值，列TTT入表1-4中，以供查找使用，方便了计算。（3）按照降落曲线的计算公式，采用定积分法，求出沿管全程的平均高度t,进而求出平均汇流强度和流量，避免了由于q是随着x变化的一个变量，欲求辐x射管的流量Q，需将q沿辐射管全程累计起来的计算麻烦。x不足之处：（1）简化模型时，忽略了集水井井壁、辐射管端点外侧流进水量，对所测算的总水量造成误差。(2)理论计算公式结构形式复杂，实际运用不变。(3)本文中的很多数据是在EXCLE中进行，且文中没有给出具体的操作步骤,对于计算知识不熟悉的人，很难运用所得的结论和方法求解问题。5.2、模型改进类比本问题中的模型建立和数据处理方法，可根据不同地区的特点，探讨该地区辐射井作用下地下水运动的规律，得出计算降落曲线的试验公式和出水量计算公式。6、参考文献1】车树成、张荣伟，煤矿地质学，徐州：中国矿业大学出版社，1996年【2】肖华勇，基于MATLAB和LINGO的数学实验，西安：西北工业大学出版社,2009年3】翟兴业，黄土地辐射井出水量计算方法初步探讨/grid2008/index.htm,2011年7月23日7、附录附件一Z竖井*b流线方向1■辐HOrXt3t2t1集水地面Z竖井*b流线方向1■辐HOrXt3t2t1集水地面时间不透水层辐射井的地下水的降落曲线...1L_一筒井的地下水降落曲线图1(辐射井工作状况纵剖面图)

（注：图2中OA,OB射线为两根相邻辐射管的角平分线，实质上也是两根相邻辐射管之间的水流分界线。）数据1：抽水过程中主要观测孔（井）水位变换表时间（月•日.时）距离井底的水位高（m）流量备注井位水高观测孔N1观测孔观测孔N3观测井4观测孔N5m3/时4.4.582.4882.5882.8083.1784.4386.21抽水前4.19.781.3481.4681.2382.2484.0386.05开始抽水4.19.1378.4879.8881.2183.2083.9986.0387.674.19.1777.9078.9680.6782.0283.8886.044.19.2177.5678.4380.4181.9286.0670.674.20.376.7777.8380.0081.7686.0664.004.20.973.3477.4479.1481.5683.7386.0658.934.20.1776.1578.4979.5781.5683.3286.0646.90976.9279.2981.4683.8886.0660.18第次降深4.21.976.0076.8579.1081.4083.8986.0459.624.21.1776.0776.9179.0881.3683.9486.0(52.50376.8178.9781.3183.9386.0(76.1576.8178.9181.2683.9185.99776.0476.7078.8581.2483.9885.9639.6876.6978.8181.2183.9385.9739.674.23.576.0776.6478.7781.1883.9385.9636.97

数据2：试验井观测孔Ni观测孔观测孔N3观测井4观测孔N5涌水量m3/时单位涌水量m3/时第一次降深（米）6.415.944.031.990.500.2538.996.09观测孔（井）距离（米）50110130259.5400（注：观测孔N1,N2,N3,N5在同一条直线上，与X轴正向的夹角为18。，观测井4与X轴正向的夹角为100）附件二表1（时间）TpT1T2R-R21T-T2 pT-T1 pa4.19.1777.978.9680.67602.771.060.016009644.19.2177.5678.4380.41602.850.870.0197763514.20.376.7777.8380603.231.060.018570976.9279.29603.20.830.022491344.21.97676.8579.1603.10.850.0215653514.21.1776.0776.9179.08603.010.840.02127155376.8178.97602.840.680.0238244424.22.976.1576.8178.91602.760.660.0238457694.22.1776.0476.778.85602.810.660.02414499876.6978.81602.730.610.0249766324.23.576.0776.6478.77602.70.570.025922845表2

表3r=1.7510.0030.00R=50i70.0090.00110.00121.75（R-x）0120.00111.7591.7571.7551.7531.7511.750.00a（R0—x）2.692.502.061.611.160.710.260.00ea（Ro-x）14.7012.227.814.993.192.041.301.00^T—Tl-欣Rox）0 p0.250.290.460.721.131.772.773.61T（计算）x77.8177.8578.0278.2878.6979.3380.3381.17T（实测）x—一一78.43一一一80.41日期N2N3T04.19.1381.2183.282.2054.19.1780.6782.0281.3454.19.2180.4181.9281.1654.20.38081.7680.884.20.979.1481.5680.354.20.1779.5781.5680.56981.4680.3754.21.979.181.4779.0881.3678.9781.378.9181.2680.0854.22.1778.8581.2480.04181.2180.014.23.578.7781.1879.975模拟所用程序：a=[1.7510.030.050.070.090.0110.0121.75];Tx=[77.8177.8578.0278.2878.6979.3380.3381.17];b=[50.0,110];y=[78.43,80.41];plot(a',Tx',b',y','*')xlabel(x);ylabel('Tx');附件三：Xf（丄,d,工）函数表=0.05 表1\t\2.03.04.05.06.07.08.09.010.011.012.013.014.015.00.0101.571.601.671.741.831.922.032.452.572.702.830.0111.551.581.651.721.811.901.912.432.562.682.810.0121.541.571.641.711.801.891.982.092.202.302.422.542.672.800.0131.531.561.631.701.791.881.972.082.192.292.412.532.662.790.0141.521.551.621.691.781.871.962.072.182.282.402.522.652.780.0151.511.541.611.681.771.861.952.062.172.272.392.512.642.770.0161.501.531.601.671.761.851.942.052.162.262.382.502.632.760.0171.491.521.591.661.751.841.932.072.492.622.750.0181.481.511.581.651.741.831.922.062.482.612.740.0191.471.501.571.641.731.821.912.052.472.602.730.0201.461.491.561.631.721.811.902.042.462.592.720.0251.431.401.531.601.691.781.871.982.092.192.312.432.562.690.0301.401.431.501.571.661.761.841.952.062.152.282.402.532.66ATT0.10表2Vd\t\2.03.04.05.06.07.08.09.010.011.012.013.014.015.00.0101.491.501.571.641.731.821.912.052.472.602.730.0111.451.481.551.621.711.801.812.332.452.582.710.0121.441.471.541.611.701.791.881.922.442.572.700.0131.431.461.531.601.691.781.871.982.092.192.312.432.562.690.0141.421.451.521.591.681.771.861.972.082.182.302.422.552.680.0151.411.441.511.581.671.761.851.962.072.172.292.412.542.670.0161.401.431.501.571.661.751.841.952.062.162.282.402.532.660.0171.391.421.491.561.651.741.831.942.052.152.272.392.522.650.0181.381.411.481.551.641.731.821.932.042.142.262.382.512.640.0191.371.401.471.541.631.721.811.92