厦门大学高等代数 考研模拟五套卷与答案解析

目录

Ⅰ模拟五套卷.............................................................................................................................

2

厦门大学2021年招收攻读硕士学位研究生入学考试模拟试卷一.....................................2

厦门大学2021年招收攻读硕士学位研究生入学考试模拟试卷二.....................................4

厦门大学2021年招收攻读硕士学位研究生入学考试模拟试卷三.....................................6

厦门大学2021年招收攻读硕士学位研究生入学考试模拟试卷四.....................................9

厦门大学2021年招收攻读硕士学位研究生入学考试模拟试卷五...................................11

Ⅱ答案解析与思路点拨.........................................................................................................13

模拟卷一答案解析与思路点拨.............................................................................................13

模拟卷二答案解析与思路点拨.............................................................................................20

模拟卷三答案解析与思路点拨.............................................................................................29

模拟卷四答案解析与思路点拨.............................................................................................37

模拟卷五答案解析与思路点拨.............................................................................................44

《2021厦大高等代数考研模拟五套卷与答案解析》

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Ⅰ模拟五套卷

厦门大学2021年招收攻读硕士学位研究生入学考试模拟试卷一

科目代码：825

科目名称：高等代数

招生专业：数学科学学院：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹

学与控制论、计算科学

考生须知：答案必须使用墨（蓝）色墨水（圆珠）笔；不得在试卷（草稿）纸上作答；

凡未按规定作答均不予评阅、判分。

一、填空题（共48分，8题，每题6分）

2

1

|

1.行列式Dn=0

|⋮

0

0

1

2

1

⋮

0

0

0

1

2

⋮

0

0

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

0

0

0

⋮

2

1

0

0

0|=______。

⋮|

1

2

2.f(x),g(x)在有理数域上互素，在复数域上______（一定或不一定）互素。

3.实对称矩阵A正定，则A的主对角线上的元素______（全，不全）为正；A的主对

角线上的元素全为正，则实对称矩阵A______（一定，不一定）正定。

4.设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|=2,|B|=3，则分块矩阵

[OA]的伴随矩阵为______。

BO

5.设1=2+3+⋯+r,2=1+3+⋯+r,⋯,r1=1+⋯+r2+r,r=

1+⋯+r1,则1,⋯,r之秩s与1,⋯,r之秩t的关系式是______。

6.反对称实数矩阵的特征值是______。

131616

7.[576]的行列式因子是______。

687

8.两个矩阵是否相似与数域的大小______，两特征矩阵等价与数域大小______；

（填"有关"或"无关"）

。

二、15分）

（

设T为R3R3的线性变换，已知：

T1,0,01,0,1,T0,1,02,1,1，T0,0,11,1,2

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（1）用矩阵A表示此变换T(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)A；

（2）设T(R3)=U，求U的一个基底；

（3）求出使满足Tx=0(xR3)的点的全体。

三、（15分）

设n为正整数，f1(x)，f2(x)，⋯，fn(x)都是多项式，并且xn+xn1+⋯+x2+x+

1|f1(xn+1)+xf2(xn+1)+⋯+xn1fn(xn+1)，证明：(x1)n|f1(x)f2(x)⋯fn(x)。

四、（15分）

设Aaij

nn

的秩为n，求其次线性方程组Bx0的一个基础解系。其中

Baij,rn。

rn

五、15分）

（

设f(x),g(x)为数域上的互素多项式，C为数域P上的n级方阵，A=f(c),B=g(c)，证

明：方程组ABx0的每个解x均可唯一的表示为xyz的形式，其中y,z分别为方程

组By0与Az0的解。

六、12分）

（

设A,B为是对称矩阵，C为是反对称矩阵，且A2B2C2，证明：A=B=C=0。

七、15分）

（

n级实对称矩阵A的秩为rrn，当且仅当A可以写成ACBC，其中B为r级可

逆矩阵，C为nr的列满秩矩阵。

八、15分）

（

设1,2,

,n是n维线性空间V的一组基，是V上的线性变换。

证明：可逆当且仅当1,2,

,n也是V的基。

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厦门大学2021年招收攻读硕士学位研究生入学考试模拟试卷二

科目代码：825

科目名称：高等代数

招生专业：数学科学学院：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹

学与控制论、计算科学

考生须知：答案必须使用墨（蓝）色墨水（圆珠）笔；不得在试卷（草稿）纸上作答；

凡未按规定作答均不予评阅、判分。

一、填空题（共48分，8题，每题6分）

4

1|，则A+A+A+A=______。

2

11

21

31

41

2

2.给定三维向量：1=(3,1,1);2=(1,1,2);3=(1,3,3);4=(4,0,5)；则

1,2,3,4线性______，1,2,4线性______。

1

1.D=|3

4

1

2

4

1

4

3

3

3

3

3．A为实矩阵，若对任意实矩阵M，有tr(AM)=0，则A=______。

4.设矩阵A=[11]，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|=______。

2

2

5.若二次型f=2x12+x22+4x32+2x1x2+2tx2x3正定，则t的取值范围是______。

6.设A是数域P上一个n×n矩阵,则A与AT______（相似或不相似）

。

1

2

0

7.[0

2

0]的若当标准形是______。

221

8.欧氏空间中不同基的度量矩阵是______（合同，相似，等价）。

二、20分）

（

0111

1011

设A110

，求一正交矩阵T使TAT成对角形。

1

1110

三、15分）

（

如果f1(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，

则它们线性无关。

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四、15分）

（

设APmn,r1,

,nr是线性方程组Ax0的基础解系，B1,

,nr。

证明：如果AC0，那么存在唯一的矩阵D，s.tCBD，其中CPnt。

五、15分）

（

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：

（1）P[x]中一定有次数不超过n2的多项式f(x)，s.tf()=0。

（2）如果f()=g()=0，那么d()=0，其中d(x)=(f(x),g(x))。

（3）可逆的充要条件是，有一常数项不为零的多项式f(x)使得f

0。

六、15分）

（

如果1,2,

,s是线性空间V的s个两两不同的线性变换，

那么在V中存在向量，

s.t1,2,

七、