2021-2022学年吉林省长春市谢家中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年吉林省长春市谢家中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（）A． B． C． D．0参考答案：A【考点】向量在几何中的应用；直线和圆的方程的应用．【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得?的值．【解答】解：取AB的中点C，连接OC，，则AC=，OA=1∴sin=sin∠AOC==所以：∠AOB=120°则?=1×1×cos120°=．故选A．2.已知长方形ABCD，抛物线以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P.则下列结论正确的是（

）A.不论边长如何变化，P为定值

B.若的值越大，P越大C.当且仅当时，P最大

D.当且仅当时，P最小参考答案：A略3.的值为

(

)A． B． C． D．参考答案：B4.已知集合，若，则实数的取值范围为（）A、

B、

C、

D、参考答案：B5.若函数f(x)＝则f(f(-1))等于（▲）A．2

B．1

C．3 D．4参考答案：B略6.不等式ex﹣x＞ax的解集为P，且[0，2]?P，则实数a的取值范围是(

) A．（﹣∞，e﹣1） B．（e﹣1，+∞） C．（﹣∞，e+1） D．（e+1，+∞）参考答案：A考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式ex﹣x＞ax的解集为P，且[0，2]?P?，x∈[0，2]，利用导数求出即可．解答： 解：①当x=0时，不等式e0﹣0＞0对任意实数x恒成立；②当x＞0时，不等式ex﹣x＞ax可变形为，由不等式ex﹣x＞ax的解集为P，且[0，2]?P?，x∈[0，2]．设，x∈（0，2]．g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x≤2时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．由此可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值，也即最小值，且f（1）=e．∴1+a＜e，∴a＜e﹣1．故选A．点评：把问题正确等价转化并熟练掌握利用导数研究函数的极值是解题的关键．7.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A．B．64－4πC．64－6πD．64－8π参考答案：C8.x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1参考答案：D【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．9.已知实数满足约束条件，则的最大值等于A.9 B.12 C.27 D.36

参考答案：B本题主要考查线性规划问题.作出约束条件所表示的可行域如图，由图可知，目标函数在点A处取到最大值，解得故选B。

10.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=

（

）A.33 B.72 C.84 D.189参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列中，，则的值为

参考答案：略12.已知

参考答案：1.13.已知是递增的等差数列，，为其前项和，若成等比数列，则▲

.参考答案：14.二项式的展开式中的系数为60，则实数m等于__________.参考答案：15.（5分）（2011?石景山区一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，则角A的大小为．参考答案：60°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：直接运用余弦定理，将条件代入公式求出角A的余弦值，再在三角形中求出角A即可．解答：解：∵b2+c2=a2+bc∴b2+c2﹣a2=bc∴cosA=即A=60°，故答案为60°点评：本题主要考查了余弦定理的直接应用，余弦定理是解决有关斜三角形的重要定理，本题属于基础题．16.如图．网络纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为______．参考答案：【分析】根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，结合图中数据即可求出体积．【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为．故答案为：．【点睛】本题以三视图为载体考查几何体体积，解题的关键是对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后结合相应的公式求解．17.在数列{an}中，a1=2，a2=10，且，则a4=

，数列{an}的前2016项和为

．参考答案：﹣2，0．【考点】数列的求和．【分析】a1=2，a2=10，且，可得a3=a2﹣a1=10﹣2=8，同理可得：a4=﹣2，a5=﹣10，a6=﹣8，a7=2，an+6=an．即可得出．【解答】解：∵a1=2，a2=10，且，∴a3=a2﹣a1=10﹣2=8，同理可得：a4=8﹣10=﹣2，a5=﹣10，a6=﹣8，a7=2，a8=10，…．∴an+6=an．则a4=﹣2，数列{an}的前2016项和=（a1+a2+…+a6）×336=（2+10+8﹣2﹣10﹣8）=0．故答案为：﹣2，0．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝120°，AD＝AB＝1，AC交BD于O点．

(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)求三棱锥D－ABP和三棱锥B－PCD的体积之比．参考答案：略19.已知函数（其中）（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.参考答案：（1）当时，函数，则不等式为，①当时，原不等式为，解得：；②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；③当时，原不等式为，解得：，原不等式的解集为.方法二：当时，函数，画出函数的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为.（2）不等式即为，即关于的不等式恒成立.而，所以，解得或，解得或.所以的取值范围是.20.已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.参考答案：解：(Ⅰ)由得，∴，即，∴，∴．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，令，则∴的最小值为4，故实数的取值范围是．略21.已知等差数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由已知得

……2分即所以解得

……4分所以．

……6